Составить параметрические уравнения общего перпендикуляра к двум данным прямым

@Alex7676 · Регистрация: 11.10.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Всем привет! Вот такая задача:

Составить параметрические уравнения общего перпендикуляра к двум данным прямым.

Система уравнений 1:
x+2y-3z+13=0
2x+y+z-5=0
Система уравнений 2:
3x+4y-5z-5=0
2x+3y-4z-3=0

Я нашел координаты направляющего вектора первой и второй системы. Они получились (5, -7, -3) и (-1, 2, 1) соотвественно. Затем нашел скалярное произведение этих векторов. Оно получилось равно (-1, -2, 3). Далее я хотел по системе Гаусса найти общую точку для систем уравнений, но система оказались несовместна.

Как поступить дальше?

Спасибо.

@palva · 12.12.2013, 01:00

Нашли направляющие вектора - это хорошо. Дальше нужно найти по одной точке на каждой прямой и составить их параметрические уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{l_1}(t_1)$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{l_2}(t_2)$ . Потом искать такие значения параметров, чтобы вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{l_2}(t_2)-\vec{l_1}(t_1)$ был перпендикулярен направляющим векторам (два линейных уравнения - две переменных). При этих значениях параметров точки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{l_1}(t_1),\quad\vec{l_2}(t_2)$ будут лежать на искомой прямой. Дальше дело техники.

@Alex7676 · 12.12.2013, 01:10 **[ТС]**

Да, сейчас сидел и сам до этого додумался (до взятия по одной разной точке в каждом уравнении). Все хорошо, все решил, НО когда уже записывать ответ хотел, увидел, что ведь координаты точек разные я брал (это очевидно) и в итоговом параметрическом уравнении в числителе вместо Х нулевого, У нулевого, Z нулевого что подставлять?

@palva · 12.12.2013, 01:14

Сообщение от Alex7676

в числителе вместо Х нулевого, У нулевого, Z нулевого что подставлять?

Координаты одной из точек. А в знаменателе координаты вектора, соединяющего эти точки.

@Alex7676 · 12.12.2013, 01:17 **[ТС]**

То есть любые координаты одной из точек в числителе можно взять? Не важно, что из первого параметрич уравнения или из второго?

А в знаменатель я поставил координаты, которые получились при пересечении двух плоскостей при нахождении определителя. Это верно?

@palva · 12.12.2013, 01:24

Сообщение от Alex7676

Не важно, что из первого параметрич уравнения или из второго?

Сюда вообще любая точка прямой подойдет. Но мы нашли только две.

Сообщение от Alex7676

А в знаменатель я поставил координаты, которые получились при пересечении двух плоскостей при нахождении определителя. Это верно?

Если этот вектор

Сообщение от Alex7676

Оно получилось равно (-1, -2, 3)

то верно. Но я думал вы его не будете вычислять. Все же проще взять разность точек, чем вычислять векторное произведение. Вектора, конечно, получатся разные, но параллельные.

@Alex7676 · 12.12.2013, 01:40 **[ТС]**

Вот мое решение:

http://pastexen.com/i/eV6eb4wALD.jpg

Составить параметрические уравнения общего перпендикуляра к двум данным прямым

Комментарий модератора

Запрещено размещать решения в виде картинок и других файлов с их текстом.
Редактор формул использовать необходимо.

Добавлено через 12 минут
Я в знаменатель подставил координаты (1, 2, -3)

@palva · 12.12.2013, 02:08

Ну это вы по-другому делаете. Непонятно, откуда вы взяли точку (6,-8,1). Она не удовлетворяет уравнениям плоскостей (второму, первое не проверял).

@Alex7676 · 12.12.2013, 02:15 **[ТС]**

Она первому удовлетворяет, а второму уравнению другая точка удовлетворяет. Это ошибка у меня, да?

Добавлено через 1 минуту

Сообщение от palva

Дальше нужно найти по одной точке на каждой прямой и составить их параметрические уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{l_1}(t_1)$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{l_2}(t_2)$ .

Вот по какому принципу я делал.

Добавлено через 2 минуты
Или вы имеете ввиду, почему я в самом последнем каноническом уравнении подставил точку (6,-8,1)?

@palva · 12.12.2013, 02:23

Не вижу параметрических уравнений. Вы делали по-своему. Объяснений вы не даете, но насколько я разобрался, делаете правильно. Только точка (6,-8,1) неправильная. Где вы ее получили?

@Alex7676 · 12.12.2013, 02:25 **[ТС]**

Я её получил способом подстановки в первую систему уравнений. Оба уравнения этой системы обращаются в ноль и поэтому я беру эту точку. Аналогично с точкой (3, -1, 0)

@palva · 12.12.2013, 02:30

А, теперь увидел. Это произвольная точка принадлежащая первой прямой. И тогда что за уравнение прямой вы получили? Это же не ответ. И зачем вы вычисляли уравнения плоскостей через определители?

@Alex7676 · 12.12.2013, 02:34 **[ТС]**

Вот именно в этом мой вопрос и заключался, про постановку Х нулевого, У нулевого, Z нулевого в числитель уравнения прямой.

Про уравнение плоскостей через определитель, что первое пришло на ум, так и вычислил. Так ведь тоже можно их находить, это не ошибка.

@palva · 12.12.2013, 02:40

Это не ошибка, но я спросил, зачем. Мой совет был такой, потому что я думал, что вы решаете по моему способу. Но у вас совсем другой метод. Вы не составляли параметрических уравнений и не находили нужные значения параметров. Вы можете объяснить смысл своих формул?

@Alex7676 · 12.12.2013, 02:45 **[ТС]**

Да, конечно

Первое я нахожу координаты точек, которые подходят для каждого уравнения системы.
Далее, я нахожу векторное произведение направляющих векторов по определителю третьего порядка.
Далее я могу составить канонические уравнения (что я и делаю).
Далее я вычисляю уравнения плоскостей через определитель.
Затем я нахожу по определителю координаты направляющего вектора для искомого уравнения.
Затем пишу уравнение в каноническом виде и далее в параметрическом.

@palva · 12.12.2013, 02:55

Сообщение от Alex7676

Затем я нахожу по определителю координаты направляющего вектора для искомого уравнения.

То есть вы находите эти плоскости только для того, чтобы найти направляющий вектор искомой прямой?
Но ведь его можно было найти векторным произведением направляющих векторов исходных прямых. Зачем вычислять плоскости?

Сообщение от Alex7676

Затем пишу уравнение в каноническом виде и далее в параметрическом.

Уравнение чего? Вы утверждаете, что это ответ? Направляющий вектор вы знаете, но вы не нашли пока ни одной точки, которая принадлежала бы этой прямой.

@Alex7676 · 12.12.2013, 02:58 **[ТС]**

Давайте забудем про плоскости

Как я понял, моя ошибка заключается в самом последнем пункте, где надо написать требуемое уравнение. Я не знаю как это сделать.

@palva · 12.12.2013, 03:08

Я тоже не знаю, потому что не понимаю идеи вашего решения. Сначала я что-то нафантазировал, но потом понял, что вы руководствовались какими-то другими соображениями, которые вы не хотите раскрывать.

@Alex7676 · 12.12.2013, 03:08 **[ТС]**

Вот по такому принципу необходимо делать?
заголовок "Как найти уравнение прямой, содержащей общий перпендикуляр?"

http://mathprofi.ru/zadachi_s_... nstve.html

@palva · 12.12.2013, 03:20

Сообщение от Alex7676

Вот по такому принципу необходимо делать?

Почему необходимо? Там изложен именно тот способ, который я вам предложил. Но вы по нему делать не стали.
Я не настаиваю. Делать можно разными способами.

@palva 4240 / 2937 / 687 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,817 Записей в блоге: 4
	12.12.2013, 02:55	16
	Сообщение от Alex7676 Затем я нахожу по определителю координаты направляющего вектора для искомого уравнения. То есть вы находите эти плоскости только для того, чтобы найти направляющий вектор искомой прямой? Но ведь его можно было найти векторным произведением направляющих векторов исходных прямых. Зачем вычислять плоскости? Сообщение от Alex7676 Затем пишу уравнение в каноническом виде и далее в параметрическом. Уравнение чего? Вы утверждаете, что это ответ? Направляющий вектор вы знаете, но вы не нашли пока ни одной точки, которая принадлежала бы этой прямой. 0

@palva 4240 / 2937 / 687 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,817 Записей в блоге: 4
	12.12.2013, 03:08	18
	Я тоже не знаю, потому что не понимаю идеи вашего решения. Сначала я что-то нафантазировал, но потом понял, что вы руководствовались какими-то другими соображениями, которые вы не хотите раскрывать. 0

@Alex7676 5 / 5 / 1 Регистрация: 11.10.2013 Сообщений: 416
	12.12.2013, 03:08 [ТС]	19
	Вот по такому принципу необходимо делать? заголовок "Как найти уравнение прямой, содержащей общий перпендикуляр?" http://mathprofi.ru/zadachi_s_... nstve.html 0

@palva 4240 / 2937 / 687 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,817 Записей в блоге: 4
	12.12.2013, 01:00	2
	Нашли направляющие вектора - это хорошо. Дальше нужно найти по одной точке на каждой прямой и составить их параметрические уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{l_1}(t_1)$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{l_2}(t_2)$ . Потом искать такие значения параметров, чтобы вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{l_2}(t_2)-\vec{l_1}(t_1)$ был перпендикулярен направляющим векторам (два линейных уравнения - две переменных). При этих значениях параметров точки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{l_1}(t_1),\quad\vec{l_2}(t_2)$ будут лежать на искомой прямой. Дальше дело техники. 1

@Alex7676 5 / 5 / 1 Регистрация: 11.10.2013 Сообщений: 416
	12.12.2013, 01:10 [ТС]	3
	Да, сейчас сидел и сам до этого додумался (до взятия по одной разной точке в каждом уравнении). Все хорошо, все решил, НО когда уже записывать ответ хотел, увидел, что ведь координаты точек разные я брал (это очевидно) и в итоговом параметрическом уравнении в числителе вместо Х нулевого, У нулевого, Z нулевого что подставлять? 0

@palva 4240 / 2937 / 687 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,817 Записей в блоге: 4
	12.12.2013, 01:14	4
	Сообщение от Alex7676 в числителе вместо Х нулевого, У нулевого, Z нулевого что подставлять? Координаты одной из точек. А в знаменателе координаты вектора, соединяющего эти точки. 1

@Alex7676 5 / 5 / 1 Регистрация: 11.10.2013 Сообщений: 416
	12.12.2013, 01:17 [ТС]	5
	То есть любые координаты одной из точек в числителе можно взять? Не важно, что из первого параметрич уравнения или из второго? А в знаменатель я поставил координаты, которые получились при пересечении двух плоскостей при нахождении определителя. Это верно? 0

@palva 4240 / 2937 / 687 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,817 Записей в блоге: 4
	12.12.2013, 01:24	6
	Сообщение от Alex7676 Не важно, что из первого параметрич уравнения или из второго? Сюда вообще любая точка прямой подойдет. Но мы нашли только две. Сообщение от Alex7676 А в знаменатель я поставил координаты, которые получились при пересечении двух плоскостей при нахождении определителя. Это верно? Если этот вектор Сообщение от Alex7676 Оно получилось равно (-1, -2, 3) то верно. Но я думал вы его не будете вычислять. Все же проще взять разность точек, чем вычислять векторное произведение. Вектора, конечно, получатся разные, но параллельные. 1

@palva 4240 / 2937 / 687 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,817 Записей в блоге: 4
	12.12.2013, 02:08	8
	Ну это вы по-другому делаете. Непонятно, откуда вы взяли точку (6,-8,1). Она не удовлетворяет уравнениям плоскостей (второму, первое не проверял). 0

@Alex7676 5 / 5 / 1 Регистрация: 11.10.2013 Сообщений: 416
	12.12.2013, 02:15 [ТС]	9
	Она первому удовлетворяет, а второму уравнению другая точка удовлетворяет. Это ошибка у меня, да? Добавлено через 1 минуту Сообщение от palva Дальше нужно найти по одной точке на каждой прямой и составить их параметрические уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{l_1}(t_1)$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{l_2}(t_2)$ . Вот по какому принципу я делал. Добавлено через 2 минуты Или вы имеете ввиду, почему я в самом последнем каноническом уравнении подставил точку (6,-8,1)? 0

@palva 4240 / 2937 / 687 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,817 Записей в блоге: 4
	12.12.2013, 02:23	10
	Не вижу параметрических уравнений. Вы делали по-своему. Объяснений вы не даете, но насколько я разобрался, делаете правильно. Только точка (6,-8,1) неправильная. Где вы ее получили? 0

@Alex7676 5 / 5 / 1 Регистрация: 11.10.2013 Сообщений: 416
	12.12.2013, 02:25 [ТС]	11
	Я её получил способом подстановки в первую систему уравнений. Оба уравнения этой системы обращаются в ноль и поэтому я беру эту точку. Аналогично с точкой (3, -1, 0) 0

@palva 4240 / 2937 / 687 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,817 Записей в блоге: 4
	12.12.2013, 02:30	12
	А, теперь увидел. Это произвольная точка принадлежащая первой прямой. И тогда что за уравнение прямой вы получили? Это же не ответ. И зачем вы вычисляли уравнения плоскостей через определители? 0

	12.12.2013, 03:20

@Alex7676 5 / 5 / 1 Регистрация: 11.10.2013 Сообщений: 416
	12.12.2013, 02:34 [ТС]	13
	Вот именно в этом мой вопрос и заключался, про постановку Х нулевого, У нулевого, Z нулевого в числитель уравнения прямой. Про уравнение плоскостей через определитель, что первое пришло на ум, так и вычислил. Так ведь тоже можно их находить, это не ошибка. 0

@palva 4240 / 2937 / 687 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,817 Записей в блоге: 4
	12.12.2013, 02:40	14
	Это не ошибка, но я спросил, зачем. Мой совет был такой, потому что я думал, что вы решаете по моему способу. Но у вас совсем другой метод. Вы не составляли параметрических уравнений и не находили нужные значения параметров. Вы можете объяснить смысл своих формул? 0

@Alex7676 5 / 5 / 1 Регистрация: 11.10.2013 Сообщений: 416
	12.12.2013, 02:45 [ТС]	15
	Да, конечно Первое я нахожу координаты точек, которые подходят для каждого уравнения системы. Далее, я нахожу векторное произведение направляющих векторов по определителю третьего порядка. Далее я могу составить канонические уравнения (что я и делаю). Далее я вычисляю уравнения плоскостей через определитель. Затем я нахожу по определителю координаты направляющего вектора для искомого уравнения. Затем пишу уравнение в каноническом виде и далее в параметрическом. 0

@Alex7676 5 / 5 / 1 Регистрация: 11.10.2013 Сообщений: 416
	12.12.2013, 02:58 [ТС]	17
	Давайте забудем про плоскости Как я понял, моя ошибка заключается в самом последнем пункте, где надо написать требуемое уравнение. Я не знаю как это сделать. 0

@palva 4240 / 2937 / 687 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,817 Записей в блоге: 4
	12.12.2013, 03:20	20
	Сообщение от Alex7676 Вот по такому принципу необходимо делать? Почему необходимо? Там изложен именно тот способ, который я вам предложил. Но вы по нему делать не стали. Я не настаиваю. Делать можно разными способами. 1