Уравнение параболы

@vasil132 · Регистрация: 06.02.2014

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте
Подскажите можно ли составить уравнение параболы зная только её директрису. Т.е. без координат фокуса.

например 2x+4=0 - уравнение директрисы
Во всех задачах встречал только примеры "директриса + фокус"

Добавлено через 41 минуту
кажется понял сам.
т.к. х=-2/р
то р=4
тогда ур. будет х²=-8у

@kabenyuk · 07.02.2014, 06:52

Уж не знаю, что вы поняли, но директрисы не достаточно для однозначного определения параболы, а значит и ее уравнения. Скажем для любого p парабола y^2=2px имеет в качестве директрисы ось y-ов.
В вашем случае уравнение y^2=2p(x+2) задает все параболы с директрисой x+2=0.

iifat · 07.02.2014, 07:27

Сообщение от kabenyuk

Скажем для любого p парабола y^2=2px имеет в качестве директрисы ось y-ов

То ли я забыл, что есть директриса, то ли благородный дон пишет странное. Ось $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?OY$ — никогда не директриса упомянутой параболы, поскольку директриса ей перпендикулярна; вершины парабол с фиксированной директрисой вовсе не находятся в одной точке.
Хотя вывод, конечно правильный: по одной директрисе и без дополнительной информации строить параболу — всё равно что искать середину отрезка, если задан всего один конец.
Либо ошибка, либо в задаче приведена ещё какая-то информация. Скажем, если известно, что парабола $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2=2py$ , то нам известны координаты вершины — (0, 0), а стало быть, полюс (2, 0) и мы можем строить вполне себе конкретную параболу.

@kabenyuk · 07.02.2014, 07:38

Да вы правы. Надо так - имеет в качестве директрисы произвольную прямую, параллельную оси x-ов.

@vasil132 · 07.02.2014, 08:47 **[ТС]**

Спс за ответы, разбираюсь. В примере так и сказано - записать уравнение параболы, если известна её директриса.

iifat · 07.02.2014, 09:22

Возможно, имеется в виду класс парабол. Таки если задана директриса, не всякая парабола подходит. Например, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=x^2$ не подходит.

@jogano · 07.02.2014, 11:25

В общем виде для параболы с горизонтальной осью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=a\left(y-y_0 \right)^2+b$ директриса имеет уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=b-\frac{1}{4a}$ , а фокус будет в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(b+\frac{1}{4a};\; y_0 \right)$ . Даже если известно, что фокус лежит на ОХ (т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_0=0$ ), то только по директрисе вы не найдете оба коэффициента a и b. А значит, не найдете и фокус. Должно быть еще что-то известно.

@vasil132 · 07.02.2014, 14:48 **[ТС]**

Сообщение от jogano

В общем виде для параболы с горизонтальной осью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=a\left(y-y_0 \right)^2+b$ директриса имеет уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=b-\frac{1}{4a}$ , а фокус будет в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(b+\frac{1}{4a};\; y_0 \right)$ . Даже если известно, что фокус лежит на ОХ (т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_0=0$ ), то только по директрисе вы не найдете оба коэффициента a и b. А значит, не найдете и фокус. Должно быть еще что-то известно.

Очень интересно. А где можно почитать про все эти нюансы? У нас в учебнике только общее представление. Мб есть какой-нибудь справочник по ангему?

@jogano · 07.02.2014, 16:48

Сообщение от vasil132

Очень интересно. А где можно почитать про все эти нюансы? У нас в учебнике только общее представление. Мб есть какой-нибудь справочник по ангему?

Данную формулу я выводил сам (5-10 минут дела), задав координаты фокуса и уравнение вертикальной директрисы и, зная то свойство параболы, что любая ее точка равноудалена от фокуса и директрисы. Получилось уравнение параболы через фокус и дир., и уже из этого выразил наоборот фокус и дир. через коэффициенты параболы. Это свойство параболы (по сути определение) написано в той же Википедии. Да в любом учебнике по аналитической геометрии - хотя бы в Александров П.С. "Лекции по аналитической геометрии" (классика жанра).

@vasil132 0 / 0 / 0 Регистрация: 06.02.2014 Сообщений: 33
		1
	Уравнение параболы 06.02.2014, 18:33. Показов 1533. Ответов 8 Метки нет (Все метки) Здравствуйте Подскажите можно ли составить уравнение параболы зная только её директрису. Т.е. без координат фокуса. например 2x+4=0 - уравнение директрисы Во всех задачах встречал только примеры "директриса + фокус" Добавлено через 41 минуту кажется понял сам. т.к. х=-2/р то р=4 тогда ур. будет х²=-8у 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	07.02.2014, 06:52	2
	Уж не знаю, что вы поняли, но директрисы не достаточно для однозначного определения параболы, а значит и ее уравнения. Скажем для любого p парабола y^2=2px имеет в качестве директрисы ось y-ов. В вашем случае уравнение y^2=2p(x+2) задает все параболы с директрисой x+2=0. 0

iifat 2719 / 1773 / 187 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,132
	07.02.2014, 07:27	3
	Сообщение от kabenyuk Скажем для любого p парабола y^2=2px имеет в качестве директрисы ось y-ов То ли я забыл, что есть директриса, то ли благородный дон пишет странное. Ось $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?OY$ — никогда не директриса упомянутой параболы, поскольку директриса ей перпендикулярна; вершины парабол с фиксированной директрисой вовсе не находятся в одной точке. Хотя вывод, конечно правильный: по одной директрисе и без дополнительной информации строить параболу — всё равно что искать середину отрезка, если задан всего один конец. Либо ошибка, либо в задаче приведена ещё какая-то информация. Скажем, если известно, что парабола $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2=2py$ , то нам известны координаты вершины — (0, 0), а стало быть, полюс (2, 0) и мы можем строить вполне себе конкретную параболу. 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	07.02.2014, 07:38	4
	Да вы правы. Надо так - имеет в качестве директрисы произвольную прямую, параллельную оси x-ов. 0

@vasil132 0 / 0 / 0 Регистрация: 06.02.2014 Сообщений: 33
	07.02.2014, 08:47 [ТС]	5
	Спс за ответы, разбираюсь. В примере так и сказано - записать уравнение параболы, если известна её директриса. 0

iifat 2719 / 1773 / 187 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,132
	07.02.2014, 09:22	6
	Возможно, имеется в виду класс парабол. Таки если задана директриса, не всякая парабола подходит. Например, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=x^2$ не подходит. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	07.02.2014, 11:25	7
	В общем виде для параболы с горизонтальной осью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=a\left(y-y_0 \right)^2+b$ директриса имеет уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=b-\frac{1}{4a}$ , а фокус будет в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(b+\frac{1}{4a};\; y_0 \right)$ . Даже если известно, что фокус лежит на ОХ (т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_0=0$ ), то только по директрисе вы не найдете оба коэффициента a и b. А значит, не найдете и фокус. Должно быть еще что-то известно. 0

@vasil132 0 / 0 / 0 Регистрация: 06.02.2014 Сообщений: 33
	07.02.2014, 14:48 [ТС]	8
	Сообщение от jogano В общем виде для параболы с горизонтальной осью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=a\left(y-y_0 \right)^2+b$ директриса имеет уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=b-\frac{1}{4a}$ , а фокус будет в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(b+\frac{1}{4a};\; y_0 \right)$ . Даже если известно, что фокус лежит на ОХ (т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_0=0$ ), то только по директрисе вы не найдете оба коэффициента a и b. А значит, не найдете и фокус. Должно быть еще что-то известно. Очень интересно. А где можно почитать про все эти нюансы? У нас в учебнике только общее представление. Мб есть какой-нибудь справочник по ангему? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	07.02.2014, 16:48	9
	Сообщение от vasil132 Очень интересно. А где можно почитать про все эти нюансы? У нас в учебнике только общее представление. Мб есть какой-нибудь справочник по ангему? Данную формулу я выводил сам (5-10 минут дела), задав координаты фокуса и уравнение вертикальной директрисы и, зная то свойство параболы, что любая ее точка равноудалена от фокуса и директрисы. Получилось уравнение параболы через фокус и дир., и уже из этого выразил наоборот фокус и дир. через коэффициенты параболы. Это свойство параболы (по сути определение) написано в той же Википедии. Да в любом учебнике по аналитической геометрии - хотя бы в Александров П.С. "Лекции по аналитической геометрии" (классика жанра). 1