@gehh

При решении одной задачи мне пришлось заняться
доказательством одного свойства треугольников.
Поскольку я нигде ничего подобного не изучал, то решил
сформулировать это утверждение в виде теоремы,
назвав ее своим именем (имею право)

Великая теорема gehh:
Доказать, что существует треугольник, обладающий
следующим свойством:
Для любой точки вне треугольника, сумма расстояний
от этой точки до вершин треугольника будет больше
Суммы расстояний до тех же вершин от точки, лежащей
внутри этого треугольника.
Доказательство:
1) Рассмотрим произвольный треугольник и точку внутри
него. Совершенно очевидно, что если эту точку поместить
в вершину треугольника, которая лежит против наименьшей
стороны, то сумма расстояний будет наибольшей и равной
сумме двух наибольших сторон треугольника.
2) Теперь рассмотрим точку, лежащую вне треугольника.
Для определения минимальной суммы расстояний,
поместим и эту точку в вершину треугольника, но в другую.
Эта вершина будет лежать против наибольшей стороны.
Тогда минимальная сумма расстояний будет равна
сумме двух наименьших сторон треугольника.
3) Если мы теперь перейдем от произвольного треугольника
к равностороннему, то получим, что максимальная сумма
расстояний (точка внутри треугольника) и минимальная
сумма расстояний (точка вне треугольника) одна и та же,
(При условии, что эти точки размещаются в вершинах
треугольника). Отсюда следует, что такой треугольник
существует. Можно сказать и иначе.
Для равностороннего треугольника верно свойство:
Сумма расстояний от любой точки внутри треугольника
до его вершин меньше, чем аналогичная сумма расстояний
от точки вне этого треугольника.
Этим логическим рассуждением теорема gehh доказана.
Успехов вам всем!
P.S. Пифагор этого не знал??

0

@angor6

gehh, думаю, что сформулированное Вами утверждение ложно. Информация к размышлению - задача № 8 из учебника по планиметрии Ж. Адамара: "Если соединить точку, взятую в плоскости треугольника, с тремя вершинами, то сумма полученных отрезков больше полупериметра треугольника; если точка взята внутри треугольника, то она меньше его периметра".

0

@gehh

Я привёл логическое доказательство.
Если оно неверно, то укажите где нарушена логическая связь.
А ссылка на что-либо не всегда может служить доказательством.
С глубоким уважением к Вам
gehh

0

@angor6

gehh, внутри треугольника существует точка Ферма (за исключением одного случая), но как найти точку, для которой сумма расстояний до трёх вершин максимальна?

Добавлено через 41 минуту
gehh, как я понимаю, равносторонний треугольник и только он обладает указанным Вами свойством. Но в Вашем доказательстве "не смотрится" такое: "1) Рассмотрим произвольный треугольник и точку внутри него. Совершенно очевидно, что если эту точку поместить в вершину треугольника, которая лежит против наименьшей стороны, то сумма расстояний будет наибольшей и равной сумме двух наибольших сторон треугольника". Ведь вершина треугольника не является его внутренней точкой...

1

@Somebody

Возьмём 2 точки на сторонах треугольника с разной суммой расстояний до вершин. Для точки с меньшей суммой возьмём очень близкую точку снаружи, для точки с большей суммой - очень близкую точку внутри. Сумма для точки снаружи будет меньше. И даже в равностороннем.

2

@gehh

Спасибо вам! Вы правы. Я бы не сумел лучше возразить.
Я признаю свою ошибку. Она в том, что я не проверил весь
периметр треугольника. Это Лучший Ответ!!
Ещё раз большое вам Спасибо!!

0