Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
Геометрия
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Рейтинг 4.92/13: Рейтинг темы: голосов - 13, средняя оценка - 4.92
gehh
Заблокирован
1

Признак выпуклого четырехугольника

10.05.2014, 09:06. Просмотров 2466. Ответов 9
Метки нет (Все метки)

Задан четырехугольник координатами своих вершин.
Я предлагаю ещё один признак выпуклого четырехугольника удобного
именно для координатного способа его задания.
Определение:
Четырехугольник, построенный на этих точках, будет выпуклым тогда и
только тогда, когда любая точка этого четырехугольника будет лежать
Вне треугольника, построенного на остальных трёх точках.
В противном случае это будет невыпуклый четырехугольник.
Здесь возникает вопрос: а как определить лежит данная точка в
треугольнике или вне его?? Это довольно просто (смотрите рисунок)
Если точка D лежит внутри треугольника, то для каждой его вершины
должно выполняться равенство (пример для вершины B)
BD+DE=BE. Это равенство проверяется для всех трёх вершин. В противном
случае (контрпример F лежит вне треугольника) тоже выполняется равенство
BF+FG=BG
Успехов вам!
0
Миниатюры
Признак выпуклого четырехугольника  
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
10.05.2014, 09:06
Ответы с готовыми решениями:

Еще один признак выпуклого четырехугольника
Рассматривая простые четырёхугольники, я обратил внимание на то, что периметр...

Укрощение выпуклого четырехугольника
Дано: четырехугольник, заданный координатами своих вершин Требуется найти...

Найти площадь выпуклого четырехугольника
KLMN. LK = LM, sin (KLM) = c, LN = d. S = ? p.s. фигура вписана в окружность

Признак четырехугольника вписанного в окружность
Дано: четырехугольник задан координатами своих вершин. Будем считать, что нам...

Докажите, что площадь четырехугольника MNKL равна 1/3 площади четырехугольника ABCD
На сторонах AB и CD четырехугольника ABCD взяты точки M,N,K,L так, что точки M...

9
angor6
492 / 267 / 45
Регистрация: 27.01.2014
Сообщений: 840
11.05.2014, 21:24 2
gehh, а какому определению выпуклого четырёхугольника Вы хотите противопоставить своё и зачем?
1
gehh
Заблокирован
12.05.2014, 08:22  [ТС] 3
Противопоставить??
Зачем противопоставить? Приведу параллельный пример.
В своё время было много попыток доказать пятую аксиому Эвклида
Но все доказательства свелись к тому, что было найдено много
других высказываний, которые могли заменить эту аксиому.
И геометрия обогатилась знаниями этих эквивалентов. Что касается
четырехугольника, то несомненно я знаю общепринятое определение
выпуклого многоугольника:
Многоугольник является выпуклым, если он расположен по одну сторону
от любой своей стороны (продолженной сколь угодно долго).
Эти знания принесут радость каждому истинному любителю математики
А нет!! Значит он математику не любит. Это не его дорога!
Успехов вам!
0
angor6
492 / 267 / 45
Регистрация: 27.01.2014
Сообщений: 840
12.05.2014, 09:56 4
gehn, я думаю, что при "координатном способе задания" четырёхугольника и классическое, и предложенное Вами определения (правильное, спорить не буду, но не имеющее преимуществ перед классическим, на мой взгляд), имеют описательный характер. Как аналитически определить выпуклость четырёхугольника по известным координатам его вершин - в этом ведь вопрос.
1
gehh
Заблокирован
12.05.2014, 11:28  [ТС] 5
Решить аналитически можно. Это определение как раз и
было применено мной для составления программы на Бейсике.
Откровенно говоря, задача и была поставлена затем, чтобы
разобраться с четырехугольником. На форуме QBasic просили
например, найти площадь четырехугольника, заданного своими
вершинами. Причём было неизвестно какой это четырехугольник
(Форма) и существует ли он вообще. Вот я и занялся им вплотную.
Справедливости ради оба способа требуют решения систем
двух линейных уравнений с двумя неизвестными. А коэффициенты
таковы, что вполне может быть переполнение или деление на 0.
Ещё раз спасибо вам за ваше участие!!
Удачи вам!
1
angor6
492 / 267 / 45
Регистрация: 27.01.2014
Сообщений: 840
12.05.2014, 12:46 6
gehn, понятно. Если Вы хотите ввести сформулированное Вами предложение как определение выпуклого четырёхугольника, то должны доказать, что оно эквивалентно имеющемуся определению. Рисунок не является доказательством.
1
gehh
Заблокирован
15.05.2014, 13:36  [ТС] 7
Здесь я хочу привести очень простое доказательство
эквивалентности моего определения выпуклого четырехугольника
и общепринятого в мире. (смотрите рисунок)
MN - это продолжение стороны DC
A - вершина выпуклого четырехугольника ABCD, расположенная внешне
по отношению к треугольнику BCD. Само доказательство эквивалентности
происходит по отношению к стороне CD ибо все стороны выпуклого
четырехугольника в отношении выпуклости равноценны. Итак ещё раз
Сам четырехугольник находится по одну сторону от своей стороны CD
и ее продолжения MN. Легко видеть, что если вершина A в своём движении
пересечёт MN, то сторона CD превратится в из стороны в диагональ (!!)
То есть ее перемещение ограничено голубыми линиями и четырехугольник
как был выпуклым, так им и останется. И в тоже время согласно моему
определения, точка A будет внешней для треугольника BCD. Но ведь и обратное
верно. Вершина A будет по одну сторону, где и треугольник ибо она не может
выйти за продолжения сторон BC и CD. Что и требовалось доказать.
А теперь ещё раз о практической применимости этого определения.
Особенно это важно для программирования. Пусть задан четырехугольник
координатами своих вершин (координаты произвольны). И требуется
определить вид этого четырехугольника (выпуклый или нет). Вот здесь мы
и используем новое определение. (смотрите другой рисунок). Вместо того, чтобы
решать системы линейных уравнений, а это ещё перебор разных вариантов
расположения четырехугольника (ведь помимо того, что четырехугольник
может быть невыпуклым, он может иметь вертикальное расположение некоторых
сторон). Избежать всего этого позволит универсальный способ специально
мной для этого разработанный (возможно я не первый это придумал, возможно,
но мне это неизвестно и по сей день). Что мы делаем? Вычисляем площади
Треугольников S1, S2, S3, S4. Очевидно, что S1 + S2 = S3 + S4 (!!)
Это верно только для выпуклого четырехугольника. Формула вычисления
Треугольников очень проста. Если координаты трёх вершин обозначить как
(x1;y1) (x2;y2) (x3;y3), то площадь S будет равна
S = 0,5*|(x2 - x1)(y3 - y1) - (x3 - x1)(y2 - y1)|. Все. Никаких делений. Никаких проблем!!
Успеха вам всем!
0
Миниатюры
Признак выпуклого четырехугольника   Признак выпуклого четырехугольника  
kabenyuk
1775 / 1343 / 320
Регистрация: 19.11.2012
Сообщений: 2,622
15.05.2014, 15:27 8
Цитата Сообщение от gehh Посмотреть сообщение
Задан четырехугольник координатами своих вершин.
Вы забыли дать определение четырехугольника, поэтому понять ваши выкладки невозможно.
Например, вы пишите, что
Цитата Сообщение от gehh Посмотреть сообщение
Очевидно, что S1 + S2 = S3 + S4 (!!)
Но как вы получили нумерацию треугольников? Об этом ни слова.
Ну и наконец есть тривиальный общеизвестный алгоритм, устанавливающий является ли выпуклая оболочка четырех точек на плоскости выпуклым четырехугольником или нет. Он тоже не требует делений и даже вычисления площадей.
1
gehh
Заблокирован
15.05.2014, 17:15  [ТС] 9
Определение четырехугольника?? Хорошая шутка!
Я полагал, что никто, кроме вас в этом не нуждается и не ошибся.
Что касается нумерации треугольников, то в этом нет необходимости
Не все ли равно как они пронумерованы. Мне интересно другое.
Вы упомянули какой-то алгоритм. Не могли бы вы озвучить его в
этой теме. Я был бы вам крайне благодарен за это. Алгоритмы - это
то, что я более всего люблю в этом мире. Ещё раз спасибо вам за внимание,
которое вы проявили к этой теме, потратив своё драгоценное время.
Спасибо вам!
0
kabenyuk
1775 / 1343 / 320
Регистрация: 19.11.2012
Сообщений: 2,622
17.05.2014, 14:06 10
Цитата Сообщение от gehh Посмотреть сообщение
Вы упомянули какой-то алгоритм. Не могли бы вы озвучить его в
этой теме.
Поищите "выпуклая оболочка построение". Что до алгоритма для четырех точек, то годится, например, такой. Для каждой из четырех точек А проверяем следующее свойство. Через точку А и каждую из трех оставшихся точек проводим прямую. Если две другие точки лежат по разные стороны от этих прямых, то А лежит внутри треугольника, вершины которого три точки, отличные от А.
1
17.05.2014, 14:06
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
17.05.2014, 14:06

Разрезание выпуклого многоугольника
Здравствуйте программисты! Мне необходимо написать программу, которая бы...

Центр тяжести выпуклого многоугольника
Вечер добрый. Если через центр тяжести выпуклого многоугольника провести...

Найти стороны выпуклого четырёхугольника
Не получается решить следующую задачу: Дано: выпуклый четырёхугольник,...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
10
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru