Пересечение прямых

@Saren · Регистрация: 20.02.2014

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Через точку пересечения прямых х + у – 6 = 0 и 2х + у– 13= 0 проведите прямую, отсекающую на координатных осях равные отрезки и напишите её уравнение.

Пожалуйста можно подробно полностью пошаговое решение очень прошу.
Спасибо огромное.

@taras atavin · 25.09.2014, 19:21

1. Составить систему из заданных уравнений прямых.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{x+y-6=0\\2x+y+13=0$
2. Решить её.
2.1. Из первого уравнения:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=6-y$ ,
2.2. подставляем во второе:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2*$6-y$+y+13=0$ .
2.3. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?12-2y+y+13=0$
2.4. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?25-y=0$
2.5. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=-25$
2.6. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=6-y=6+25=31$
3. Составить уравнение прямой, проходящей через эту точку и пересекающую обе оси, то есть и y=0, и x=0 должны удовлетворять уравнению. Причём, модуль x при y=0 должен быть равен модулю y при x=0.

Добавлено через 12 минут
Обозначим коэффициент при x k_x, коэффициент при y будет k_x и свободный член s. Уравнение прямой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k_xx+k_yy+d=0$ . Это в общем виде. При x=0 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=-\frac{d}{k_y}$ . При y=0 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-\frac{d}{k_x}$ . Так как модули этих чисел равны, то равны и квадраты, дробей, а значит и квадраты знаменателей: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k_x^2=k_y^2$ . И уравнению должна удовлетворять найденная точка. Подставляем её: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?31k_x-25k_y+d=0$ . И того имеем недоопеределённую систему:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{k_x^2=k_y^2\\31k_x-25k_y+d=0$ . Решений у неё бесконечно много, надо найти хотя бы одно и подставить в $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k_xx+k_yy+d=0$ .

@Saren · 25.09.2014, 19:29 **[ТС]**

А график чертить нужно или нет?
А Ответ: x=31; y= -25? такое решение.

@taras atavin · 25.09.2014, 19:36

Нет. Тебе надо через эту точку найти линию.

@Saren · 25.09.2014, 19:40 **[ТС]**

А как найти точку можешь подсказать я не понимаю извините пожалуйста.

Добавлено через 45 секунд
А линия прямая?

@taras atavin · 25.09.2014, 19:41

А в задании какая?

@Saren · 25.09.2014, 19:50 **[ТС]**

Вот полностью задание:

Через точку пересечения прямых х + у – 6 = 0 и 2х + у– 13= 0 проведите прямую, отсекающую на координатных осях равные отрезки и напишите её уравнение.

Добавлено через 7 минут
- вот такой график получается?

@taras atavin · 25.09.2014, 19:56

Нет. На оси ординат ты отсёк 25 единиц, а на оси абсцисс 31. А надо то поровну. И через точку x=31, y=-25 прямая у тебя не прошла, а должна пройти.

@Nacuott · 25.09.2014, 23:28

Если под отрезком понимать не только его длину, но и числа, которые он содержит, то получим одну прямую.
Если под отрезком понимать его длину, то можно провести две прямые.
На картинке изображен первый случай.
См.картинку.

@Saren · 25.09.2014, 23:39 **[ТС]**

Это полно решение на изображение (Отрезок.JPG)?

Добавлено через 2 минуты
А как получили x=7; y=-1?

Добавлено через 20 секунд
Спасибо большое за ответ

@Nacuott · 25.09.2014, 23:50

Решить систему двух линейных уравнений, задающих прямые.
По поводу полного решения -читайте мой предыдущий пост.Зависит от того, что понимается под отрезком.

@Black Fregat · 26.09.2014, 00:09

taras atavin, Вы для начала неверно составили систему, а затем неверно её решили

Для исходной системы получается точка (7, -1)

Сообщение от Nacuott

можно провести две прямые.

И их уравнения

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x+y = x_0+y_0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-y = x_0-y_0$

Добавлено через 3 минуты
Если нужен какой-то формальный вывод этих формул, то проще всего через уравнение прямой в отрезках
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x/a+y/b=1$

@Black Fregat · 26.09.2014, 00:12

Кстати, одна из этих прямых уже есть в условии, так что, вероятно, как раз другая

@Saren · 26.09.2014, 00:12 **[ТС]**

Пожалуйста покажите полное решение с рисунком то есть чертежом. Очень прошу.

@Saren · 26.09.2014, 00:13 **[ТС]**

Можите по пунктам расписать как что получается пожалуйста.

@Nacuott · 26.09.2014, 00:19

Сообщение от Black Fregat

Кстати, одна из этих прямых уже есть в условии, так что, вероятно, как раз другая

А я не обращал внимание на заданные прямые

Тогда отрезки, вообще говоря, не будут равны т.к. содержат различные точки-на ОХ -положительные -на ОУ -отрицательные.

@jogano · 26.09.2014, 03:47

Saren, полное решение (если собрать то, что написали другие участники):
Ищем точку пересечения данных прямых, решая линейную систему 2 на 2:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}x+y=6\\2x+y=13\end{matrix}\right.$
Решаем хотя бы методом подстановки, получаем решение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x;y \right)=\left(7;-1 \right)$

Нужно провести прямые через эту точку, отсекающие равные по длине отрезки от осей координат. Уравнения всех прямых (кроме вертикальной), проходящих через найденную точку, имеют вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=k\left(x-7 \right)-1$ . Прямая в таком виде пересекает ось ОY в точке, которая ищется подстановкой вместо х значения 0: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y\left(0 \right)=-7k-1$ , т.е. прямая проходит через точку $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(0; -7k-1\right)$ и отсекает от оси OY отрезок длиной $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left| -7k-1\right|=\left|7k+1 \right|$
Та же прямая пересекает ось ОХ в точке, которая ищется подстановкой в уравнение прямой значения y=0, т.е. из равенства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0=k\left(x-7 \right)-1 \Leftrightarrow x=7+\frac{1}{k}$ . Отрезок, отсекаемый на оси ОХ, имеет длину $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left| 7+\frac{1}{k}\right|$
(поскольку отрезки равны, то можно избежать таких длинных выкладок, а проверить сразу прямые с угловыми коэффициентами, равными $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pm 1$ , т.е. прямые $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x-7 \right)\pm \left(y+1 \right)=0$ , но если этого не видно, нужно подробно....).

Да, так поскольку отрезки на осях равны, то нужные угловые коэффициенты ищутся из равенства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left|7k+1 \right|=\left|7+\frac{1}{k} \right|$
Это равенство приводит к совокупности уравнений
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\[\begin{matrix}7k+1=7+\frac{1}{k}\\7k+1=-7-\frac{1}{k} \end{matrix}\right.$
Домножая оба уравнения на k, получаем два квадратных уравнения
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\[\begin{matrix}7k^2-6k-1=0\\7k^2+8k+1=0 \end{matrix}\right.$
Корни первого уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k \in \left{1;-\frac{1}{7} \right}$ , второго уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k \in \left{-1;-\frac{1}{7} \right}$
При значении $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k =-\frac{1}{7}$ получаем прямую, которая проходит через начало координат. Формально она отсекает равные отрезки на обеих осях (равные по 0), но это вырожденный случай.
При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k =-1$ получаем прямую $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=-\left(x-7 \right)-1 \Leftrightarrow x+y-6=0$ , т.е. одну из данных прямых. При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=1$ получаем прямую $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\left(x-7 \right)-1 \Leftrightarrow x-y-8=0$ .
Последняя прямая пересекает ось ОХ в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(8;0 \right)$ и ось OY в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(0;-8 \right)$ .

Ответ: данная прямая $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x+y-6=0$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-y-8=0$

P.S. Повторюсь, всё это делается гораздо быстрее, если видеть, что искомые прямые наклонены к оси ОХ под углами $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pm 45^0$
Рисунок - нельзя по техническим причинам. Выше обе прямые уже нарисовали другие отвечающие.

@Saren 0 / 0 / 0 Регистрация: 20.02.2014 Сообщений: 85
	25.09.2014, 23:39 [ТС]	10
	Это полно решение на изображение (Отрезок.JPG)? Добавлено через 2 минуты А как получили x=7; y=-1? Добавлено через 20 секунд Спасибо большое за ответ 0

@Nacuott 1806 / 1001 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,922 Записей в блоге: 12
	25.09.2014, 23:50	11
	Решить систему двух линейных уравнений, задающих прямые. По поводу полного решения -читайте мой предыдущий пост.Зависит от того, что понимается под отрезком. 0

@Saren 0 / 0 / 0 Регистрация: 20.02.2014 Сообщений: 85
	26.09.2014, 00:13 [ТС]	15
	Можите по пунктам расписать как что получается пожалуйста. 0

@Nacuott 1806 / 1001 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,922 Записей в блоге: 12
	26.09.2014, 00:19	16
	Сообщение от Black Fregat Кстати, одна из этих прямых уже есть в условии, так что, вероятно, как раз другая А я не обращал внимание на заданные прямые Тогда отрезки, вообще говоря, не будут равны т.к. содержат различные точки-на ОХ -положительные -на ОУ -отрицательные. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	26.09.2014, 03:47	17
	Saren, полное решение (если собрать то, что написали другие участники): Ищем точку пересечения данных прямых, решая линейную систему 2 на 2: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}x+y=6\\2x+y=13\end{matrix}\right.$ Решаем хотя бы методом подстановки, получаем решение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x;y \right)=\left(7;-1 \right)$ Нужно провести прямые через эту точку, отсекающие равные по длине отрезки от осей координат. Уравнения всех прямых (кроме вертикальной), проходящих через найденную точку, имеют вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=k\left(x-7 \right)-1$ . Прямая в таком виде пересекает ось ОY в точке, которая ищется подстановкой вместо х значения 0: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y\left(0 \right)=-7k-1$ , т.е. прямая проходит через точку $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(0; -7k-1\right)$ и отсекает от оси OY отрезок длиной $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\| -7k-1\right\|=\left\|7k+1 \right\|$ Та же прямая пересекает ось ОХ в точке, которая ищется подстановкой в уравнение прямой значения y=0, т.е. из равенства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0=k\left(x-7 \right)-1 \Leftrightarrow x=7+\frac{1}{k}$ . Отрезок, отсекаемый на оси ОХ, имеет длину $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\| 7+\frac{1}{k}\right\|$ (поскольку отрезки равны, то можно избежать таких длинных выкладок, а проверить сразу прямые с угловыми коэффициентами, равными $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pm 1$ , т.е. прямые $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x-7 \right)\pm \left(y+1 \right)=0$ , но если этого не видно, нужно подробно....). Да, так поскольку отрезки на осях равны, то нужные угловые коэффициенты ищутся из равенства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\|7k+1 \right\|=\left\|7+\frac{1}{k} \right\|$ Это равенство приводит к совокупности уравнений $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\[\begin{matrix}7k+1=7+\frac{1}{k}\\7k+1=-7-\frac{1}{k} \end{matrix}\right.$ Домножая оба уравнения на k, получаем два квадратных уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\[\begin{matrix}7k^2-6k-1=0\\7k^2+8k+1=0 \end{matrix}\right.$ Корни первого уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k \in \left{1;-\frac{1}{7} \right}$ , второго уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k \in \left{-1;-\frac{1}{7} \right}$ При значении $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k =-\frac{1}{7}$ получаем прямую, которая проходит через начало координат. Формально она отсекает равные отрезки на обеих осях (равные по 0), но это вырожденный случай. При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k =-1$ получаем прямую $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=-\left(x-7 \right)-1 \Leftrightarrow x+y-6=0$ , т.е. одну из данных прямых. При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=1$ получаем прямую $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\left(x-7 \right)-1 \Leftrightarrow x-y-8=0$ . Последняя прямая пересекает ось ОХ в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(8;0 \right)$ и ось OY в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(0;-8 \right)$ . Ответ: данная прямая $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x+y-6=0$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-y-8=0$ P.S. Повторюсь, всё это делается гораздо быстрее, если видеть, что искомые прямые наклонены к оси ОХ под углами $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pm 45^0$ Рисунок - нельзя по техническим причинам. Выше обе прямые уже нарисовали другие отвечающие. 1

@Saren 0 / 0 / 0 Регистрация: 20.02.2014 Сообщений: 85
		1
	Пересечение прямых 25.09.2014, 18:45. Показов 9233. Ответов 16 Метки нет (Все метки) Через точку пересечения прямых х + у – 6 = 0 и 2х + у– 13= 0 проведите прямую, отсекающую на координатных осях равные отрезки и напишите её уравнение. Пожалуйста можно подробно полностью пошаговое решение очень прошу. Спасибо огромное. 0

@taras atavin 4226 / 1795 / 211 Регистрация: 24.11.2009 Сообщений: 27,562
	25.09.2014, 19:21	2
	1. Составить систему из заданных уравнений прямых. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{x+y-6=0\\2x+y+13=0$ 2. Решить её. 2.1. Из первого уравнения: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=6-y$ , 2.2. подставляем во второе: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\(6-y\)+y+13=0$ . 2.3. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?12-2y+y+13=0$ 2.4. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?25-y=0$ 2.5. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=-25$ 2.6. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=6-y=6+25=31$ 3. Составить уравнение прямой, проходящей через эту точку и пересекающую обе оси, то есть и y=0, и x=0 должны удовлетворять уравнению. Причём, модуль x при y=0 должен быть равен модулю y при x=0. Добавлено через 12 минут* Обозначим коэффициент при x k_x, коэффициент при y будет k_x и свободный член s. Уравнение прямой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k_xx+k_yy+d=0$ . Это в общем виде. При x=0 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=-\frac{d}{k_y}$ . При y=0 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-\frac{d}{k_x}$ . Так как модули этих чисел равны, то равны и квадраты, дробей, а значит и квадраты знаменателей: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k_x^2=k_y^2$ . И уравнению должна удовлетворять найденная точка. Подставляем её: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?31k_x-25k_y+d=0$ . И того имеем недоопеределённую систему: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{k_x^2=k_y^2\\31k_x-25k_y+d=0$ . Решений у неё бесконечно много, надо найти хотя бы одно и подставить в $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k_xx+k_yy+d=0$ . 1

@Saren 0 / 0 / 0 Регистрация: 20.02.2014 Сообщений: 85
	25.09.2014, 19:29 [ТС]	3
	А график чертить нужно или нет? А Ответ: x=31; y= -25? такое решение. 0

@taras atavin 4226 / 1795 / 211 Регистрация: 24.11.2009 Сообщений: 27,562
	25.09.2014, 19:36	4
	Нет. Тебе надо через эту точку найти линию. 0

@Saren 0 / 0 / 0 Регистрация: 20.02.2014 Сообщений: 85
	25.09.2014, 19:40 [ТС]	5
	А как найти точку можешь подсказать я не понимаю извините пожалуйста. Добавлено через 45 секунд А линия прямая? 0

@taras atavin 4226 / 1795 / 211 Регистрация: 24.11.2009 Сообщений: 27,562
	25.09.2014, 19:41	6
	А в задании какая? 0

@Saren 0 / 0 / 0 Регистрация: 20.02.2014 Сообщений: 85
	25.09.2014, 19:50 [ТС]	7
	Вот полностью задание: Через точку пересечения прямых х + у – 6 = 0 и 2х + у– 13= 0 проведите прямую, отсекающую на координатных осях равные отрезки и напишите её уравнение. Добавлено через 7 минут - вот такой график получается? Миниатюры 0

@taras atavin 4226 / 1795 / 211 Регистрация: 24.11.2009 Сообщений: 27,562
	25.09.2014, 19:56	8
	Нет. На оси ординат ты отсёк 25 единиц, а на оси абсцисс 31. А надо то поровну. И через точку x=31, y=-25 прямая у тебя не прошла, а должна пройти. 1

@Nacuott 1806 / 1001 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,922 Записей в блоге: 12
	25.09.2014, 23:28	9
	Если под отрезком понимать не только его длину, но и числа, которые он содержит, то получим одну прямую. Если под отрезком понимать его длину, то можно провести две прямые. На картинке изображен первый случай. См.картинку. Миниатюры 1

@Black Fregat Фрилансер 3705 / 2077 / 567 Регистрация: 31.05.2009 Сообщений: 6,683
	26.09.2014, 00:09	12
	taras atavin, Вы для начала неверно составили систему, а затем неверно её решили Для исходной системы получается точка (7, -1) Сообщение от Nacuott можно провести две прямые. И их уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x+y = x_0+y_0$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-y = x_0-y_0$ Добавлено через 3 минуты Если нужен какой-то формальный вывод этих формул, то проще всего через уравнение прямой в отрезках $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x/a+y/b=1$ 1

@Black Fregat Фрилансер 3705 / 2077 / 567 Регистрация: 31.05.2009 Сообщений: 6,683
	26.09.2014, 00:12	13
	Кстати, одна из этих прямых уже есть в условии, так что, вероятно, как раз другая 0

@Saren 0 / 0 / 0 Регистрация: 20.02.2014 Сообщений: 85
	26.09.2014, 00:12 [ТС]	14
	Пожалуйста покажите полное решение с рисунком то есть чертежом. Очень прошу. 0