Проекция вершины на грань в тетраэдре

@hovan · Регистрация: 27.01.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Можно ли утверждать, что в тетраэдре всегда есть вершина (минимум одна), проекция которой на противоположную грань тетраэдра, находиться в периметре этой грани? Тетраэдре имеет произвольную длину сторон.

Если утверждение верно, то как найти эту вершину? Не находиться ли эта вершина напротив грани тетраэдра с большим периметром?

@kabenyuk · 28.01.2015, 10:34

Похоже, что не всегда. Возьмите тетраэдр, у которого есть пара противоположных ребер со следующим свойством. Двугранные углы при этих ребрах больше 90^о. Вроде бы ни одна из четырех вершин такого тетраэдра не проектируется на внутренность грани.

@mathmichel · 28.01.2015, 11:01

Такой тетраэдр просто построить, если сначала вырезать ромб, потом его слегка перегнуть вдоль одной диагонали и соединить приподнятые вершины ребром, проекция которого совпадает с другой диагональю. Двугранные углы при этих скрещивающихся ребрах будут немного меньше 180 градусов. Ортогональные проекции вершин (этих скрещивающихся ребер) не попадают на грани тетраэдра.

@hovan · 28.01.2015, 12:54 **[ТС]**

kabenyuk, mathidiot, можете изобразить эти фигуры? не могу представить.

@mathmichel · 28.01.2015, 13:18

Сообщение от hovan

можете изобразить эти фигуры? не могу представить

Представьте себе ромб с диагоналями (двумя скрещивающимися ребрами). Одну из диагоналей приподнимаете над плоскостью, тогда треугольники с общей стороной (диагональю) образуют две грани. Под этими треугольниками по-прежнему лежит ромб, который перегибаем по другой диагонали. (Ну просто нарисуйте ромб с перпендикулярными диагоналями и постарайтесь увидеть тетраэдр, в котором два скрещивающихся ребра образуют прямой угол!)

@hovan · 28.01.2015, 17:47 **[ТС]**

все, представил, спасибо!

@hovan 0 / 0 / 0 Регистрация: 27.01.2015 Сообщений: 3
		1
	Проекция вершины на грань в тетраэдре 28.01.2015, 01:01. Показов 3553. Ответов 5 Метки нет (Все метки) Можно ли утверждать, что в тетраэдре всегда есть вершина (минимум одна), проекция которой на противоположную грань тетраэдра, находиться в периметре этой грани? Тетраэдре имеет произвольную длину сторон. Если утверждение верно, то как найти эту вершину? Не находиться ли эта вершина напротив грани тетраэдра с большим периметром? 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	28.01.2015, 10:34	2
	Похоже, что не всегда. Возьмите тетраэдр, у которого есть пара противоположных ребер со следующим свойством. Двугранные углы при этих ребрах больше 90^о. Вроде бы ни одна из четырех вершин такого тетраэдра не проектируется на внутренность грани. 2

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10437 / 6922 / 3766 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,906
	28.01.2015, 11:01	3
	Такой тетраэдр просто построить, если сначала вырезать ромб, потом его слегка перегнуть вдоль одной диагонали и соединить приподнятые вершины ребром, проекция которого совпадает с другой диагональю. Двугранные углы при этих скрещивающихся ребрах будут немного меньше 180 градусов. Ортогональные проекции вершин (этих скрещивающихся ребер) не попадают на грани тетраэдра. 1

@hovan 0 / 0 / 0 Регистрация: 27.01.2015 Сообщений: 3
	28.01.2015, 12:54 [ТС]	4
	kabenyuk, mathidiot, можете изобразить эти фигуры? не могу представить. 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10437 / 6922 / 3766 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,906
	28.01.2015, 13:18	5
	Сообщение было отмечено hovan как решение Решение Сообщение от hovan можете изобразить эти фигуры? не могу представить Представьте себе ромб с диагоналями (двумя скрещивающимися ребрами). Одну из диагоналей приподнимаете над плоскостью, тогда треугольники с общей стороной (диагональю) образуют две грани. Под этими треугольниками по-прежнему лежит ромб, который перегибаем по другой диагонали. (Ну просто нарисуйте ромб с перпендикулярными диагоналями и постарайтесь увидеть тетраэдр, в котором два скрещивающихся ребра образуют прямой угол!) 1

@hovan 0 / 0 / 0 Регистрация: 27.01.2015 Сообщений: 3
	28.01.2015, 17:47 [ТС]	6
	все, представил, спасибо! 0

Проекция вершины на грань в тетраэдре

Решение