Найти радиус окружности, вписанной в трапецию

@Рогнвп · Регистрация: 09.11.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

в прямоугольную трапецию вписана окружность. Найти ее радиус, если основания равны 2 и 3.

@meraxujiep · 12.11.2015, 21:42

Предлагаю два пути:
1. (Ни факт что сработает) Используем теорему, что отрезок касательной равен произведению отрезка секущей на ее внешнюю часть. Выглядит это так $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(3-r)}^{2}=(z+2r)z$ , отсюда нужно выразить z через r. Затем рассматриваем треугольник прямоугольный, в котором $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(3-r)}^{2}+{r}^{2}={(z+r)}^{2}$ , отсюда находим r.

2. x - боковая наклонная сторона. Рассматриваем треугольник прямоугольник, у которого гипотенуза это боковая сторона, а также используем свойство четырехугольника, в который вписана окружность.
На основании чего составляем систему:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \ x+2r=5 \\ & \ {(2r)}^{2}+{1}^{2}={x}^{2} \end{cases}$

@qwey · 12.11.2015, 22:03

Есть такое свойство: в выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность при условии равенства суммы противоположных его сторон AB+CD=BC+AD [1].
Пусть у нас BC=2, a AD=3. (внизу основание AD, вверху BC, наименования вершин по часовой, начиная с левой нижней)
Раз трапеция прямоугольная, то AB - высота трапеции, она же будет равна диаметру окружности. Значит, найдя стороны трапеции, найдём и радиус вписанной окружности. Если обозначим высоту (AB) за h, то CD найдём как sqrt(h²+ (AD-BC)²) = sqrt(h²+1) [2]. Подставляем [2] в [1] и получаем уравнение h + sqrt(h² + 1) = 2+3 = 5
Решим уравнение
h²+1 = (5-h)² = 25 - 10*h + h²
10*h = 25-1 = 24
Отсюда h = 2.4, отсюда радиус равен половине высоты, т.е. 1.2

Вроде так

Найти радиус окружности, вписанной в трапецию

Решение

Решение

@Рогнвп 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.11.2015 Сообщений: 7
		1
	Найти радиус окружности, вписанной в трапецию 12.11.2015, 20:13. Показов 2383. Ответов 2 Метки нет (Все метки) в прямоугольную трапецию вписана окружность. Найти ее радиус, если основания равны 2 и 3. 0

@meraxujiep 43 / 44 / 4 Регистрация: 31.01.2013 Сообщений: 193
	12.11.2015, 21:42	2
	Сообщение было отмечено Рогнвп как решение Решение Предлагаю два пути: 1. (Ни факт что сработает) Используем теорему, что отрезок касательной равен произведению отрезка секущей на ее внешнюю часть. Выглядит это так $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(3-r)}^{2}=(z+2r)z$ , отсюда нужно выразить z через r. Затем рассматриваем треугольник прямоугольный, в котором $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(3-r)}^{2}+{r}^{2}={(z+r)}^{2}$ , отсюда находим r. 2. x - боковая наклонная сторона. Рассматриваем треугольник прямоугольник, у которого гипотенуза это боковая сторона, а также используем свойство четырехугольника, в который вписана окружность. На основании чего составляем систему: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \ x+2r=5 \\ & \ {(2r)}^{2}+{1}^{2}={x}^{2} \end{cases}$ Миниатюры 1

@qwey 1 / 1 / 1 Регистрация: 25.10.2014 Сообщений: 14
	12.11.2015, 22:03	3
	Сообщение было отмечено Рогнвп как решение Решение Есть такое свойство: в выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность при условии равенства суммы противоположных его сторон AB+CD=BC+AD [1]. Пусть у нас BC=2, a AD=3. (внизу основание AD, вверху BC, наименования вершин по часовой, начиная с левой нижней) Раз трапеция прямоугольная, то AB - высота трапеции, она же будет равна диаметру окружности. Значит, найдя стороны трапеции, найдём и радиус вписанной окружности. Если обозначим высоту (AB) за h, то CD найдём как sqrt(h²+ (AD-BC)²) = sqrt(h²+1) [2]. Подставляем [2] в [1] и получаем уравнение h + sqrt(h² + 1) = 2+3 = 5 Решим уравнение h²+1 = (5-h)² = 25 - 10h + h² 10h = 25-1 = 24 Отсюда h = 2.4, отсюда радиус равен половине высоты, т.е. 1.2 Вроде так 1