Составить уравнение кривой, проходящей через начало координат

@Lexa_23 · Регистрация: 17.12.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Составить уравнение кривой, проходящей через начало координат,зная, что середина отрезка ее нормали от любой точки кривой до оси Ox находится на параболе $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}^{2}=ax$

@ProgJ · 23.12.2015, 16:37

нормаль до оси Ox, это до точки пересечения с осью?

если так, берём уравнение нормали искомой функции f(x), построенное в точке (x₀,f(x₀))
y=f(x₀)-(x-x₀)/f`(x₀)
находим точку (x₁,y₁) пересечения с осью Ox:
y₁=0, значит
x₁=x₀+f(x₀)f`(x₀)
находим середину (x₂,y₂) отрезка
y₂=f(x₀)/2
x₂=x₀+f(x₀)f`(x₀)/2
Т.к. эта середина лежит на заданной параболе, то получаем дифференциальное уравнение относительно f
f(x)f(x)/4=ax+af(x)f`(x)/2
решаем через промежуточную замену g(x)=f(x)f(x)
получаем
f(x)f(x)=ax+a+C₁e^x
Вспоминаем, что эта кривая должна проходить через начало координат, получаем
C₁=-a
и ответ
y²=ax+a-ae^x

@Lexa_23 1 / 1 / 0 Регистрация: 17.12.2015 Сообщений: 28
		1
	Составить уравнение кривой, проходящей через начало координат 22.12.2015, 22:40. Показов 3807. Ответов 1 Метки нет (Все метки) Составить уравнение кривой, проходящей через начало координат,зная, что середина отрезка ее нормали от любой точки кривой до оси Ox находится на параболе $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}^{2}=ax$ 0

@ProgJ 90 / 87 / 11 Регистрация: 20.11.2008 Сообщений: 724
	23.12.2015, 16:37	2
	нормаль до оси Ox, это до точки пересечения с осью? если так, берём уравнение нормали искомой функции f(x), построенное в точке (x₀,f(x₀)) y=f(x₀)-(x-x₀)/f`(x₀) находим точку (x₁,y₁) пересечения с осью Ox: y₁=0, значит x₁=x₀+f(x₀)f`(x₀) находим середину (x₂,y₂) отрезка y₂=f(x₀)/2 x₂=x₀+f(x₀)f`(x₀)/2 Т.к. эта середина лежит на заданной параболе, то получаем дифференциальное уравнение относительно f f(x)f(x)/4=ax+af(x)f`(x)/2 решаем через промежуточную замену g(x)=f(x)f(x) получаем f(x)f(x)=ax+a+C₁e^x Вспоминаем, что эта кривая должна проходить через начало координат, получаем C₁=-a и ответ y²=ax+a-ae^x 0