Найти координаты вершин треугольника

@No_na · Регистрация: 09.12.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Господа, вот такая вот задачка у меня. Прошу вас, знатоки, в решение данного таска. Вложение 625905

@Том Ардер · 26.12.2015, 22:16

Комментарий модератора

5.18. Запрещено размещать задания и решения в виде картинок и других файлов с их текстом.

Задания и решения набирать ручками. Один вопрос - одна тема. Для формул есть редактор.

Рекомендации по созданию темы

@No_na · 26.12.2015, 22:48 **[ТС]**

В прямоугольном треугольнике ABC с вершиной прямого угла в точке B проведена высота BD, которая задана уравнениями $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \text 5x+2y-5z+33=0 \\ & \text 8x+8y-11z+30=0\end{cases}$
Вершина А(-11;11;5) треугольника является одним из концов гипотинузы и такова, что катет AB имеет длину 15.
Найти координаты точек треугольника С, B, если известно, что в плоскости треугольника АВС вершина В расположена по одну сторону от гипотинузы с точкой Q(-1;3;2)

@painzcupcake · 28.12.2015, 23:32

Как вариант идейно не сложного решения "в лоб"

1) Нам дано уравнение прямой BD, содержащей высоту. Нам дана точка A и расстояние от A до B, равное 15. Это значит, что "поместив" сферу с центром в точке A и радиусом 15, на прямой она высечет две точки, одна из которых - это точка B. Формально это можно записать как систему уравнений:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & 5x+2y-5z+33=0 \\ & 8x+8y-11z+30 \\ & (x+11)^2 + (y-11)^2 + (z-5)^2 = 15^2 \end{cases}$

Мы найдем 2 варианта расположения точки B

2) Опустим перпендикуляр из точки B на высоту треугольника (еще система уравнений). Получим координаты точки D.

3) Треугольник ABC и ADB подобны. Т.е. чтобы получить точку C, надо будет к точке A прибавить вектор AD, умноженный на какой-то коэффициент...

@No_na · 28.12.2015, 23:54 **[ТС]**

Жаль, что так мало предложений, но все равно спасибо, сейчас попробую порешать этим способом. Надежды на ее решение у меня просто нет(

@painzcupcake · 29.12.2015, 00:12

А что не получается? Мы подскажем

@No_na · 29.12.2015, 00:55 **[ТС]**

Короче, я решаю иным способом я нахожу направляющий вектор BD.
Дальше составляю параметрическое уравнение прямой. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \text{X=Xe+6t} \\ & \text{Y=Ye+5t} \\ & \text{Z=Ze+8t} \end{cases}$ . Где Xe, Ye, Ze -координаты точки, лежащей на прямой BD.
Эти координаты беруться из решения системы, задающей BD. Но корни там просто жесть - это первая проблема.
Параметр t я беру отсюда 225=(Xa-Xe-6t)^2 + (Ya-Ye-5t)^2 +(Za-Ze-8t)^2 решать мягко говоря данную систему как-то не очень, так как получаются ужасные дроби и прочие, я просто представить не могу, как это решить. Ладно остановимся на точке А. Нужно найти направляющий вектор АС, но опять же таки как?

@painzcupcake · 29.12.2015, 01:17

Если известны координаты точек A, B, D, то точку C можно найти как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{C}=\vec{A}+\vec{AC}=\vec{A}+\vec{AD}\cdot \frac{|AB|^2}{|AD||AD|}=\vec{A}+\vec{AD}\cdot \frac{|AB|^2}{|AD|^2}$

(это получается из подобия треугольников: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AB}$ )

@No_na · 29.12.2015, 01:18 **[ТС]**

Мне известно только А. На

@painzcupcake · 29.12.2015, 01:19

У вас получилось найти координаты каких-нибудь точек вашим способом?

@No_na · 29.12.2015, 01:21 **[ТС]**

Найти Б просто не понимаю, как пролезать через эти дебри дробей, другой способ со сферой более или менее осуществим, можно попробовать, но все же решение такой системы тоже не очень приятное занятие. Я уверен, что есть способ найти точку B каким-то иным путем и более простым, а если найдем B то там уже легче будет искать С

Добавлено через 31 секунду
Нет не получилось найти

@painzcupcake · 29.12.2015, 01:35

Система не так сложна, как кажется. Простыми подстановками и решением одного квадратного уравнения можно получить два решения: B(-13; 1; -6) или B(7/5; 13; 66/5)

Дальше найдем направляющий вектор прямой BD. Она задана пересечением двух плоскостей, это хорошо. Нормальные векторы плоскостей n₁(5, 2, -5) и n₂(8, 8, -11). В качестве искомого направляющего вектора прямой можно взять векторное произведение нормальных векторов, т.е. [n₁ x n₂] = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{bmatrix}i & j & k \\ 5 & 2 & -5\\ 8 & 8 & -11\end{bmatrix}$ = (18; 15; 24)

Мы возьмем a = (6; 5; 8) - направляющий вектор

Добавлено через 4 минуты
Дальше, чтобы найти проекцию точки A на прямую BD, выписываем плоскость, которая имеет нормаль a и проходит через точку A. Уравнение плоскости будет 6x + 5y + 8z + D = 0;
Подставляем точку A(-11;11;5), получаем D = -29

@No_na · 29.12.2015, 01:37 **[ТС]**

Это какую систему уравнений решали, через сферу или же через параметрическое уравнение прямой BD?

@painzcupcake · 29.12.2015, 01:43

Сообщение от No_na

Это какую систему уравнений решали

Через сферу

Ну и в конце находим решение системы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & 5x+2y-5z+33 = 0 \\ & 8x+8y-11z+30=0 \\ & 6x+5y+8z-29=0 \end{cases}$ , получаем (-29/5; 7; 18/5) - координаты точки D

Система задает пересечение 3х плоскостей - двух, задающих прямую, и нашу, вдоль которой берем проекцию

Добавлено через 3 минуты
Теперь мы знаем A, D и две точки B. Осталось найти, какая из точек B подходит и найти точку C

@No_na · 29.12.2015, 01:49 **[ТС]**

Проекция точки А. Получается плоскость разрезающая плоскость треугольника, а место разреза прямая BD. Хм, достаточно интересно, я вам очень благодарен за помощь в решение данной задачи, видимо, я просто глуп решать подобные задачки. Так, теперь возникает вопрос по поиску точки С вашим способом через подобие треугольников, можно чуточку поподробнее, 2 часа ночи я плохо соображаю в это время.

Добавлено через 2 минуты
Проверить точку B мы можем с помощью Q, то есть подставив поочередно координаты в плоскость, разрезающую плоскость треугольника (которую вы нашли) и проверить знаки, верно излагаю?

@painzcupcake · 29.12.2015, 02:03

Ну хорошо, пусть
А(-11;11;5),
B(-13; 1; -6),
D(-29/5; 7; 18/5)

Тогда AB(-2; -10; -11), AD(-29/5+11; 7-11;18/5 - 5)

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-11\\ 11\\ 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-29/5 + 11\\ 7-11\\ 18/5 - 5\end{pmatrix}\cdot \frac{(-2)^2+(-10)^2+(-11)^2}{(-29/5+11)^2 + (-4)^2 + (18/5 - 5)^2}$

Но я мог ошибиться в вычислениях! главное - идея

Добавлено через 1 минуту

Сообщение от No_na

Проверить точку B мы можем с помощью Q, то есть подставив поочередно координаты в плоскость, разрезающую плоскость треугольника

Да, это должно сработать

@No_na · 30.12.2015, 00:56 **[ТС]**

Огромное вам спасибо за помощь в решение задачки, осталось убедится правильно решена или нет. В среду я отпишу о результате.

Добавлено через 20 часов 35 минут
Еще раз, здравствуйте вы уверены, что систему вы решили верно? У меня просто ответ только с корнями выходит

Добавлено через 1 час 59 минут
Виноват, решил

@Nacuott · 30.12.2015, 13:32

Можно так.См.картинку.

@No_na · 31.12.2015, 03:36 **[ТС]**

Господа, задачку решил всем спасибо и с праздником вас! Тему можно закрыть

@painzcupcake 12 / 12 / 5 Регистрация: 11.07.2015 Сообщений: 46
	29.12.2015, 01:43	14
	Сообщение от No_na Это какую систему уравнений решали Через сферу Ну и в конце находим решение системы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & 5x+2y-5z+33 = 0 \\ & 8x+8y-11z+30=0 \\ & 6x+5y+8z-29=0 \end{cases}$ , получаем (-29/5; 7; 18/5) - координаты точки D Система задает пересечение 3х плоскостей - двух, задающих прямую, и нашу, вдоль которой берем проекцию Добавлено через 3 минуты Теперь мы знаем A, D и две точки B. Осталось найти, какая из точек B подходит и найти точку C 0

Найти координаты вершин треугольника

Решение

Решение

Решение

@No_na 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.12.2015 Сообщений: 12
		1
	Найти координаты вершин треугольника 26.12.2015, 22:13. Показов 8759. Ответов 18 Метки нет (Все метки) Господа, вот такая вот задачка у меня. Прошу вас, знатоки, в решение данного таска. Вложение 625905 0

@No_na 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.12.2015 Сообщений: 12
	26.12.2015, 22:48 [ТС]	3
	В прямоугольном треугольнике ABC с вершиной прямого угла в точке B проведена высота BD, которая задана уравнениями $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \text 5x+2y-5z+33=0 \\ & \text 8x+8y-11z+30=0\end{cases}$ Вершина А(-11;11;5) треугольника является одним из концов гипотинузы и такова, что катет AB имеет длину 15. Найти координаты точек треугольника С, B, если известно, что в плоскости треугольника АВС вершина В расположена по одну сторону от гипотинузы с точкой Q(-1;3;2) 0

@painzcupcake 12 / 12 / 5 Регистрация: 11.07.2015 Сообщений: 46
	28.12.2015, 23:32	4
	Как вариант идейно не сложного решения "в лоб" 1) Нам дано уравнение прямой BD, содержащей высоту. Нам дана точка A и расстояние от A до B, равное 15. Это значит, что "поместив" сферу с центром в точке A и радиусом 15, на прямой она высечет две точки, одна из которых - это точка B. Формально это можно записать как систему уравнений: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & 5x+2y-5z+33=0 \\ & 8x+8y-11z+30 \\ & (x+11)^2 + (y-11)^2 + (z-5)^2 = 15^2 \end{cases}$ Мы найдем 2 варианта расположения точки B 2) Опустим перпендикуляр из точки B на высоту треугольника (еще система уравнений). Получим координаты точки D. 3) Треугольник ABC и ADB подобны. Т.е. чтобы получить точку C, надо будет к точке A прибавить вектор AD, умноженный на какой-то коэффициент... Изображения 0

@No_na 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.12.2015 Сообщений: 12
	28.12.2015, 23:54 [ТС]	5
	Жаль, что так мало предложений, но все равно спасибо, сейчас попробую порешать этим способом. Надежды на ее решение у меня просто нет( 0

@painzcupcake 12 / 12 / 5 Регистрация: 11.07.2015 Сообщений: 46
	29.12.2015, 00:12	6
	А что не получается? Мы подскажем 0

@No_na 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.12.2015 Сообщений: 12
	29.12.2015, 00:55 [ТС]	7
	Короче, я решаю иным способом я нахожу направляющий вектор BD. Дальше составляю параметрическое уравнение прямой. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \text{X=Xe+6t} \\ & \text{Y=Ye+5t} \\ & \text{Z=Ze+8t} \end{cases}$ . Где Xe, Ye, Ze -координаты точки, лежащей на прямой BD. Эти координаты беруться из решения системы, задающей BD. Но корни там просто жесть - это первая проблема. Параметр t я беру отсюда 225=(Xa-Xe-6t)^2 + (Ya-Ye-5t)^2 +(Za-Ze-8t)^2 решать мягко говоря данную систему как-то не очень, так как получаются ужасные дроби и прочие, я просто представить не могу, как это решить. Ладно остановимся на точке А. Нужно найти направляющий вектор АС, но опять же таки как? 0

@painzcupcake 12 / 12 / 5 Регистрация: 11.07.2015 Сообщений: 46
	29.12.2015, 01:17	8
	Сообщение было отмечено No_na как решение Решение Если известны координаты точек A, B, D, то точку C можно найти как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{C}=\vec{A}+\vec{AC}=\vec{A}+\vec{AD}\cdot \frac{\|AB\|^2}{\|AD\|\|AD\|}=\vec{A}+\vec{AD}\cdot \frac{\|AB\|^2}{\|AD\|^2}$ (это получается из подобия треугольников: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AB}$ ) 1

@No_na 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.12.2015 Сообщений: 12
	29.12.2015, 01:18 [ТС]	9
	Мне известно только А. На 0

@painzcupcake 12 / 12 / 5 Регистрация: 11.07.2015 Сообщений: 46
	29.12.2015, 01:19	10
	У вас получилось найти координаты каких-нибудь точек вашим способом? 0

@No_na 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.12.2015 Сообщений: 12
	29.12.2015, 01:21 [ТС]	11
	Найти Б просто не понимаю, как пролезать через эти дебри дробей, другой способ со сферой более или менее осуществим, можно попробовать, но все же решение такой системы тоже не очень приятное занятие. Я уверен, что есть способ найти точку B каким-то иным путем и более простым, а если найдем B то там уже легче будет искать С Добавлено через 31 секунду Нет не получилось найти 0

@Nacuott 1805 / 1000 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,921 Записей в блоге: 12
	30.12.2015, 13:32	18
	Можно так.См.картинку. Миниатюры 0

	31.12.2015, 03:36

Опции темы

@painzcupcake 12 / 12 / 5 Регистрация: 11.07.2015 Сообщений: 46
	29.12.2015, 01:35	12
	Сообщение было отмечено No_na как решение Решение Система не так сложна, как кажется. Простыми подстановками и решением одного квадратного уравнения можно получить два решения: B(-13; 1; -6) или B(7/5; 13; 66/5) Дальше найдем направляющий вектор прямой BD. Она задана пересечением двух плоскостей, это хорошо. Нормальные векторы плоскостей n₁(5, 2, -5) и n₂(8, 8, -11). В качестве искомого направляющего вектора прямой можно взять векторное произведение нормальных векторов, т.е. [n₁ x n₂] = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{bmatrix}i & j & k \\ 5 & 2 & -5\\ 8 & 8 & -11\end{bmatrix}$ = (18; 15; 24) Мы возьмем a = (6; 5; 8) - направляющий вектор Добавлено через 4 минуты Дальше, чтобы найти проекцию точки A на прямую BD, выписываем плоскость, которая имеет нормаль a и проходит через точку A. Уравнение плоскости будет 6x + 5y + 8z + D = 0; Подставляем точку A(-11;11;5), получаем D = -29 1

@No_na 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.12.2015 Сообщений: 12
	29.12.2015, 01:37 [ТС]	13
	Это какую систему уравнений решали, через сферу или же через параметрическое уравнение прямой BD? 0

@No_na 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.12.2015 Сообщений: 12
	29.12.2015, 01:49 [ТС]	15
	Проекция точки А. Получается плоскость разрезающая плоскость треугольника, а место разреза прямая BD. Хм, достаточно интересно, я вам очень благодарен за помощь в решение данной задачи, видимо, я просто глуп решать подобные задачки. Так, теперь возникает вопрос по поиску точки С вашим способом через подобие треугольников, можно чуточку поподробнее, 2 часа ночи я плохо соображаю в это время. Добавлено через 2 минуты Проверить точку B мы можем с помощью Q, то есть подставив поочередно координаты в плоскость, разрезающую плоскость треугольника (которую вы нашли) и проверить знаки, верно излагаю? 0

@painzcupcake 12 / 12 / 5 Регистрация: 11.07.2015 Сообщений: 46
	29.12.2015, 02:03	16
	Сообщение было отмечено No_na как решение Решение Ну хорошо, пусть А(-11;11;5), B(-13; 1; -6), D(-29/5; 7; 18/5) Тогда AB(-2; -10; -11), AD(-29/5+11; 7-11;18/5 - 5) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-11\\ 11\\ 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-29/5 + 11\\ 7-11\\ 18/5 - 5\end{pmatrix}\cdot \frac{(-2)^2+(-10)^2+(-11)^2}{(-29/5+11)^2 + (-4)^2 + (18/5 - 5)^2}$ Но я мог ошибиться в вычислениях! главное - идея Добавлено через 1 минуту Сообщение от No_na Проверить точку B мы можем с помощью Q, то есть подставив поочередно координаты в плоскость, разрезающую плоскость треугольника Да, это должно сработать 1

@No_na 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.12.2015 Сообщений: 12
	30.12.2015, 00:56 [ТС]	17
	Огромное вам спасибо за помощь в решение задачки, осталось убедится правильно решена или нет. В среду я отпишу о результате. Добавлено через 20 часов 35 минут Еще раз, здравствуйте вы уверены, что систему вы решили верно? У меня просто ответ только с корнями выходит Добавлено через 1 час 59 минут Виноват, решил 0

@No_na 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.12.2015 Сообщений: 12
	31.12.2015, 03:36 [ТС]	19
	Господа, задачку решил всем спасибо и с праздником вас! Тему можно закрыть 0