Желающим размять мозги и самоутвердиться

@кот Бегемот · Регистрация: 28.10.2009

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Мне совершенно не нужно решение этой задачи. Я её давным-давно (лет 30 назад) решил. Это, на мой взгляд, хорошая проверка знаний математики в пределах 1 курса ВУЗа и умение применить эти знания. Желающим размять мозги и самоутвердиться:
По правой ветви гиперболы у=1/х катится окружность радиуса 1. Будет ли линия, описываемая центром этой окружности, ветвью какой-либо гиперболы?
А вам слабо?

@snake32 · 19.04.2016, 00:30

у = 1/(х+1) + 1?

@кот Бегемот · 19.04.2016, 09:09 **[ТС]**

Сообщение от snake32

у = 1/(х+1) + 1

Нет, конечно.
Во-первых, таких решений не бывает на Московской городской олимпиаде студентов ВУЗов.
А во вторых, смещение центра круга от гиперболы идёт по перпендикуляру к касательной, а не по линии, параллельной оси координат.

@kabenyuk · 19.04.2016, 14:55

Сообщение от кот Бегемот

Мне совершенно не нужно решение этой задачи.

Мне тоже.

Если та кривая была бы ветвью гиперболы, то прямые х=1 и у=1 были ее асимптотами. Тогда уравнение гиперболы имело бы вид (х-1)(у-1) =1/2. Но легко посчитать, например, что расстояние от точки М=(2;0.5) до новой гиперболы меньше 1. Расстояние меряем, естественно, по ортогоналу к касательной в точке М.

@mathmichel · 19.04.2016, 17:06

Хотя кота Бегемота решение задачи не интересует, но на всякий случай привожу параметрическое решение: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}x(t)=t+\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\\ y(t)=\frac{1}{t}+\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\end{matrix}\right.$

@кот Бегемот · 19.04.2016, 18:24 **[ТС]**

Сообщение от kabenyuk

Если та кривая была бы ветвью гиперболы, то прямые х=1 и у=1 были ее асимптотами.

Кто это Вам сказал?
а почему не х=1,000001 или х=0,99999? Или вообще другое число. Вы же 1 отмеряете по перпендикуляру к касательной...

Добавлено через 1 минуту

Сообщение от mathidiot

привожу параметрическое решение: https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}x(t)=t+\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\\ y(t)=\frac{1}{t}+\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\end{matrix}\right.

Это не решение, это какие-то формулы, невесть откуда взявшиеся. С тем же успехом можно выдумать и другие формулы.

@mathmichel · 19.04.2016, 20:26

Сообщение от кот Бегемот

Это не решение, это какие-то формулы, невесть откуда взявшиеся. С тем же успехом можно выдумать и другие формулы

Эти формулы - результат точного решения задачи.

@mathmichel · 19.04.2016, 21:35

Проверил аналитическое решение, там под корнями стоят четвертые степени: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}x(t)=t+\frac{1}{\sqrt{1+t^4}}\\ y(t)=\frac{1}{t}+\frac{t^2}{\sqrt{1+t^4}}\end{matrix}\right.$ . Проверка на Mathcad внизу по трем точкам х=2,3,4

@Nacuott · 19.04.2016, 21:42

Картинка сделана по точным формулам.
Эквидистата гиперболы не есть гипербола.

@mathmichel · 19.04.2016, 21:49

Красиво! Спасибо! Я формулы выводил только для правой ветви эквидистанты гиперболы!

@Nacuott · 19.04.2016, 21:59

mathidiot , Вы формулы исправили, иначе было плохое совпадение кривых.
Сейчас кривые совпадают точно.

@кот Бегемот · 19.04.2016, 22:11 **[ТС]**

Сообщение от Nacuott

Эквидистанта гиперболы не есть гипербола

Вы абсолютно правы

@кот Бегемот Платежеспособный зверь 8926 / 4354 / 1642 Регистрация: 28.10.2009 Сообщений: 11,568
	19.04.2016, 22:11 [ТС]	12
	Сообщение от Nacuott Эквидистанта гиперболы не есть гипербола Вы абсолютно правы 0

@snake32 3420 / 1607 / 236 Регистрация: 26.02.2009 Сообщений: 7,856 Записей в блоге: 5
	19.04.2016, 00:30	2
	у = 1/(х+1) + 1? 0

@кот Бегемот Платежеспособный зверь 8926 / 4354 / 1642 Регистрация: 28.10.2009 Сообщений: 11,568
	19.04.2016, 09:09 [ТС]	3
	Сообщение от snake32 у = 1/(х+1) + 1 Нет, конечно. Во-первых, таких решений не бывает на Московской городской олимпиаде студентов ВУЗов. А во вторых, смещение центра круга от гиперболы идёт по перпендикуляру к касательной, а не по линии, параллельной оси координат. 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	19.04.2016, 14:55	4
	Сообщение от кот Бегемот Мне совершенно не нужно решение этой задачи. Мне тоже. Если та кривая была бы ветвью гиперболы, то прямые х=1 и у=1 были ее асимптотами. Тогда уравнение гиперболы имело бы вид (х-1)(у-1) =1/2. Но легко посчитать, например, что расстояние от точки М=(2;0.5) до новой гиперболы меньше 1. Расстояние меряем, естественно, по ортогоналу к касательной в точке М. 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10442 / 6926 / 3769 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,912
	19.04.2016, 17:06	5
	Хотя кота Бегемота решение задачи не интересует, но на всякий случай привожу параметрическое решение: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}x(t)=t+\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\\ y(t)=\frac{1}{t}+\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\end{matrix}\right.$ 0

@кот Бегемот Платежеспособный зверь 8926 / 4354 / 1642 Регистрация: 28.10.2009 Сообщений: 11,568
	19.04.2016, 18:24 [ТС]	6
	Сообщение от kabenyuk Если та кривая была бы ветвью гиперболы, то прямые х=1 и у=1 были ее асимптотами. Кто это Вам сказал? а почему не х=1,000001 или х=0,99999? Или вообще другое число. Вы же 1 отмеряете по перпендикуляру к касательной... Добавлено через 1 минуту Сообщение от mathidiot привожу параметрическое решение: https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}x(t)=t+\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\\ y(t)=\frac{1}{t}+\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\end{matrix}\right. Это не решение, это какие-то формулы, невесть откуда взявшиеся. С тем же успехом можно выдумать и другие формулы. 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10442 / 6926 / 3769 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,912
	19.04.2016, 20:26	7
	Сообщение от кот Бегемот Это не решение, это какие-то формулы, невесть откуда взявшиеся. С тем же успехом можно выдумать и другие формулы Эти формулы - результат точного решения задачи. 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10442 / 6926 / 3769 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,912
	19.04.2016, 21:35	8
	Проверил аналитическое решение, там под корнями стоят четвертые степени: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}x(t)=t+\frac{1}{\sqrt{1+t^4}}\\ y(t)=\frac{1}{t}+\frac{t^2}{\sqrt{1+t^4}}\end{matrix}\right.$ . Проверка на Mathcad внизу по трем точкам х=2,3,4 Миниатюры 1

@Nacuott 1806 / 1001 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,922 Записей в блоге: 12
	19.04.2016, 21:42	9
	Картинка сделана по точным формулам. Эквидистата гиперболы не есть гипербола. Миниатюры 2

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10442 / 6926 / 3769 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,912
	19.04.2016, 21:49	10
	Красиво! Спасибо! Я формулы выводил только для правой ветви эквидистанты гиперболы! 0

@Nacuott 1806 / 1001 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,922 Записей в блоге: 12
	19.04.2016, 21:59	11
	mathidiot , Вы формулы исправили, иначе было плохое совпадение кривых. Сейчас кривые совпадают точно. 0