Окружность вписана в трапецию

@born-2b-free · Регистрация: 01.11.2016

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Дана равнобедренная трапеция, её площадь равна 125. В трапецию вписана окружность так, что расстояние между точками касания её боковых сторон равно 8. Найдите площадь окружности.

@Symon · 02.11.2016, 10:05

Сообщение от born-2b-free

Найдите площадь окружности.

Площадь любой окружности = 0. Имели в виду площадь круга?
Тады $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{\pi 25}{\sqrt[3]{4}}$

@slava_psk · 02.11.2016, 10:59

Название: 777.JPG
Просмотров: 31

Размер: 8.8 Кб

Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то есть свойство: AB+CD=BC+AD. Пользуясь этим свойством, ведем обозначение a=BP, AM=x. Тогда основания и боковые стороны трапеции разделятся, как показано на рисунке. Треугольники ABC и AMF подобны, поэтому: 2a/(a+x)=4/x. Это уравнение (1) системы. Высота такой трапеции, опять же из ее свойства, есть среднее геометрическое ее оснований, h=2*(a*x)^0.5 Уравнение (2) системы будет (a+x)*2*(a*x)^0.5=125
Решая эту систему найдем a=2.5 x=10; h=10=D - диаметр окружности. Площадь S=pi*R^2=pi*25.

@born-2b-free · 02.11.2016, 18:30 **[ТС]**

slava_psk, а можете пояснить:
1) почему треугольники AMF и ABC подобны? Угол MAF у них общий, а как дальше? Если опираетесь на параллельность прямых BC и MN, то как можно доказать их параллельность?
2) Почему BP=PC? AQ=QD?
3) Диагональ AC и хорда MN пересекаются в точке F, почему MF=FN?

@slava_psk · 03.11.2016, 09:43

1. Параллельность хорды MN основанию трапеции.
Из свойств отрезков - касательных к окружности и симметрии (равнобедренная трапеция), следует: PC=CN=BP=MB=a ; AM=AQ=DQ=DN=x. BM/AM=CN/CD - это означает параллельность MN и AD. Следствие - треугольники AMF и ABC подобны по двум углам.
2. Из подобия треугольников AMF ; ABC и симметричным им BCD; FND и учитывая равновеликость отрезков(симметрия) легко показать, что MF=FN.

@born-2b-free 0 / 0 / 0 Регистрация: 01.11.2016 Сообщений: 11
		1
	Окружность вписана в трапецию 01.11.2016, 21:45. Показов 3056. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Дана равнобедренная трапеция, её площадь равна 125. В трапецию вписана окружность так, что расстояние между точками касания её боковых сторон равно 8. Найдите площадь окружности. 0

@Symon $Эксперт по математике/физике$ 2615 / 2229 / 684 Регистрация: 29.09.2012 Сообщений: 4,578 Записей в блоге: 13
	02.11.2016, 10:05	2
	Сообщение от born-2b-free Найдите площадь окружности. Площадь любой окружности = 0. Имели в виду площадь круга? Тады $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{\pi 25}{\sqrt[3]{4}}$ 0

@slava_psk 642 / 444 / 224 Регистрация: 10.06.2016 Сообщений: 2,039
	02.11.2016, 10:59	3
	Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то есть свойство: AB+CD=BC+AD. Пользуясь этим свойством, ведем обозначение a=BP, AM=x. Тогда основания и боковые стороны трапеции разделятся, как показано на рисунке. Треугольники ABC и AMF подобны, поэтому: 2a/(a+x)=4/x. Это уравнение (1) системы. Высота такой трапеции, опять же из ее свойства, есть среднее геометрическое ее оснований, h=2(ax)^0.5 Уравнение (2) системы будет (a+x)2(ax)^0.5=125 Решая эту систему найдем a=2.5 x=10; h=10=D - диаметр окружности. Площадь S=piR^2=pi*25. Изображения 1

@born-2b-free 0 / 0 / 0 Регистрация: 01.11.2016 Сообщений: 11
	02.11.2016, 18:30 [ТС]	4
	slava_psk, а можете пояснить: 1) почему треугольники AMF и ABC подобны? Угол MAF у них общий, а как дальше? Если опираетесь на параллельность прямых BC и MN, то как можно доказать их параллельность? 2) Почему BP=PC? AQ=QD? 3) Диагональ AC и хорда MN пересекаются в точке F, почему MF=FN? 0

@slava_psk 642 / 444 / 224 Регистрация: 10.06.2016 Сообщений: 2,039
	03.11.2016, 09:43	5
	1. Параллельность хорды MN основанию трапеции. Из свойств отрезков - касательных к окружности и симметрии (равнобедренная трапеция), следует: PC=CN=BP=MB=a ; AM=AQ=DQ=DN=x. BM/AM=CN/CD - это означает параллельность MN и AD. Следствие - треугольники AMF и ABC подобны по двум углам. 2. Из подобия треугольников AMF ; ABC и симметричным им BCD; FND и учитывая равновеликость отрезков(симметрия) легко показать, что MF=FN. 1

Опции темы