Найти вектор

@S A · Регистрация: 02.10.2016

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Добрый день. Прошу помочь в решении задачи:
Даны три некомпланарных вектора $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\stackrel{\longrightarrow}{OA}=\bf a$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\stackrel{\longrightarrow}{OB}=\bf b$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\stackrel{\longrightarrow}{OC}=\bf c$ . Пусть S - центр сферы, проходящей через точки O, A, B, C. Найти вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\stackrel{\longrightarrow}{OS}$ .

@Nacuott · 16.10.2017, 15:26

Можно так. См.картинку.

@S A · 16.10.2017, 16:10 **[ТС]**

А не имея числовых значений?

@jogano · 16.10.2017, 16:20

Чёрный ящик "Given...Find" это, конечно, универсальный ответ

S A, небольшое уточнение: у вас даны 4 точки или 3 вектора? Вышеприведённое решение и нижеприведённое тоже - для первого случая.
Если писать так, чтобы это можно было использовать где-то ещё, кроме Маткада, то
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{OS}^T=0,5 \cdot \left(\begin{matrix}\bar{OA} \\ \bar{OB} \\ \bar{OC}\end{matrix} \right)^{-1}\cdot \begin{pmatrix}\left|\bar{A} \right|^2-\left|\bar{O} \right|^2\\ \left|\bar{B} \right|^2-\left|\bar{O} \right|^2\\ \left|\bar{C} \right|^2-\left|\bar{O} \right|^2\end{pmatrix}-O^T$
В матрице 3*3 векторы ОА, ОВ, ОС - это строки матрицы. Справа от матрицы вектор-столбец из разностей квадратов длин радиус-векторов данных 4-х точек. Вектор O^T - вектор-столбец координат точки О. Результат - вектор-столбец.
Для вышеприведённого числового примера
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{OS}^T=0,5 \cdot \left(\begin{matrix}2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & -2 \\ 2 & 2 & -1\end{matrix} \right)^{-1}\cdot \begin{pmatrix}14-3\\ 21-3\\ 18-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}=0,5 \cdot \left(\begin{matrix}0,3 & 0,2 & -0,1 \\ -0,1 & -0,4 & 0,7 \\ 0,4 & -0,4 & 0,2\end{matrix} \right)\cdot \begin{pmatrix}11\\ 18\\ 15\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}=0,5 \cdot \begin{pmatrix}5,4\\ 2,2\\ 0,2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1,7\\ 0,1\\ -0,9\end{pmatrix}$

Добавлено через 3 минуты

Сообщение от S A

А не имея числовых значений?

Здесь Маткад бессилен

@S A · 16.10.2017, 16:36 **[ТС]**

Сообщение от jogano

у вас даны 4 точки или 3 вектора?

Три вектора. Надо найти четвертый.

@jogano · 16.10.2017, 16:42

Тогда формула упрощается:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{S}^T=0,5 \cdot \left(\begin{matrix}\bar{a} \\ \bar{b} \\ \bar{c}\end{matrix} \right)^{-1}\cdot \begin{pmatrix}\left|\bar{a} \right|^2\\ \left|\bar{b} \right|^2\\ \left|\bar{c} \right|^2\end{pmatrix}$
Все векторы имеют начало в начале координат (0;0;0).

@Excalibur921 · 16.10.2017, 16:58

S A, Какое смысловое содержание названия темы?
jogano, Может переименовать? “Найти центр сферы зная 4 точки поверхности”
Похоже когда то решал так:
Найти центр сферы по 4 точкам на ее поверхности

@S A · 16.10.2017, 17:07 **[ТС]**

Причем здесь 4 точки поверхности? Три вектора даны, прочитайте условие, пожалуйста.

@Nacuott · 16.10.2017, 17:14

Ну, вот шесть букв и шесть чисел.
Плохо видно, но размеры? И вы этим бы пользовались?

@jogano · 16.10.2017, 17:40

Excalibur921, три страницы по ссылке... Это если в лоб делать, решая три квадратных уравнения, то

А можно же не в лоб. А по лбу

Приведу вывод формулы выше. Идея: цент описанной сферы равноудалён от концов каждого ребра данного тетраедра, т.е. он лежит на серединно-перпендикулярной плоскости каждого ребра тетраедра. Достаточно взять три ребра тетраедра, например, AB, AC, AD. Искомая точка Х. Уравнение этой плоскости для отрезка АВ такое: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\bar{X}- \frac{\bar{A}+\bar{B}}{2},\bar{AB} \right)=0$ . Скалярное произведение. Первый вектор лежит в этой плоскости, так как соединяет серединный перпендикуляр и искомую точку. Второй вектор - нормаль плоскости. Нужно решить систему из трёх таких уравнений:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}\left(\bar{X}- \frac{\bar{A}+\bar{B}}{2},\bar{AB} \right)=0\\ \left(\bar{X}- \frac{\bar{A}+\bar{C}}{2},\bar{AC} \right)=0\\ \left(\bar{X}- \frac{\bar{A}+\bar{D}}{2},\bar{AD} \right)=0 \end{cases}$
Пользуясь свойством линейности скалярного произведения, раскрываем их:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}\left(\bar{X},\bar{AB} \right)=0,5\left(\bar{A}+\bar{B},\bar{B}-\bar{A} \right)=0,5\left(\left|\bar{B} \right|^2-\left| \bar{A} \right|^2 \right)\\ \left(\bar{X},\bar{AC} \right)=0,5\left(\bar{A}+\bar{C},\bar{C}-\bar{A} \right)=0,5\left(\left|\bar{C} \right|^2-\left| \bar{A} \right|^2 \right)\\ \left(\bar{X},\bar{AD} \right)=0,5\left(\bar{A}+\bar{D},\bar{D}-\bar{A} \right)=0,5\left(\left|\bar{D} \right|^2-\left| \bar{A} \right|^2 \right) \end{cases}$
Переходим к матричной форме записи:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}\bar{AB}\\ \bar{AC}\\ \bar{AD}\end{pmatrix}\bar{X}^T=0,5 \begin{pmatrix}\left|\bar{B} \right|^2-\left| \bar{A} \right|^2\\ \left|\bar{C} \right|^2-\left| \bar{A} \right|^2\\ \left|\bar{D} \right|^2-\left| \bar{A} \right|^2\end{pmatrix}$
Это линейная система 3*3. Ну и умножили на обратную матрицу слева обе части равенства. Всё.

@Excalibur921 · 16.10.2017, 17:40

Сообщение от S A

Причем здесь 4 точки поверхности?

Так O это вектор из которого получаем 3 других.
Итого 4 вектора(точки).

Сообщение от Nacuott

вы этим бы пользовались?

Если найти центр нужно несколько раз то почему нет?
Вот если кусок оптимизации на этом то да…
Еще тут Найти центр сферы по 4 точкам на ее поверхности

@S A · 16.10.2017, 18:07 **[ТС]**

jogano, есть ли формула не в матричной форме? интересно просто

@jogano · 16.10.2017, 18:17

S A, а что мешает раскрыть, если возиться охота и получить в результате километровую формулу?
И зачем сводить всё к 4-м арифметическим операциям, если взятие обратной матрицы и умножение матрицы на вектор - стандартные операции? В Матлабе, например, функция по поиску центра и радиуса выглядит так:

Matlab M

function [ X0, R ] = CentroKajRadiusoDeSfero(X1,X2,X3,X4)
% программа для поиска центра и радиуса сферы по  координатам 4-х точек на
% её поверхности - X1, X2, X3, X4 (это вектора-строки в пространстве)
X0=0.5*inv([X2-X1;X3-X1;X4-X1])*[(norm(X2))^2-(norm(X1))^2;(norm(X3))^2-(norm(X1))^2;(norm(X4))^2-(norm(X1))^2];
X0=X0';
R=norm(X0-X1);

inv(...) - вычисление обратной матрицы. norm(...) - длина вектора
В числах это можно сделать и руками, особенно если исходные координаты целочисленные.

@S A · 16.10.2017, 18:25 **[ТС]**

jogano, благодарю, и последний момент

Сообщение от jogano

Все векторы имеют начало в начале координат (0;0;0)

Точка O - начало всех векторов - может же находиться и не в начале координат?

@jogano · 16.10.2017, 18:35

Тогда "опять двадцать пять" - дано 4 точки или 3 вектора?
По формуле поста #6 получается центр сферы, которая проходит через начало координат (не центр сферы в начале координат, а начало координат лежит на поверхности сферы). Если 4 точки, то пользуетесь формулой поста #4. Объяснение вывода её - пост #10.

Добавлено через 5 минут
Сфера - фиксированный в пространстве объект, векторы плавающие - важно их направление и длина (ну или в координатной форме - разница между концом и началом). Если вам даны 3 вектора с началом в определённой точке О пространства, значит, вам даны 4 точки - это начало и три конца.

@Nacuott · 16.10.2017, 18:44

S A , вообще говоря, в такой постановке как вы дали, задача не имеет смысла.
Сфера проводится через точки, а не через векторы.Вы этого не понимаете.
Вот например, заданы три числа - это вектор или точка?
Один и тот же вектор можно приложить к разным точкам пространства, но при решении задач, где участвуют векторы,
они считаются приложенными к началу координат.Если они не приложены к началу, то один из них мы переносим, так чтобы он был приложен к началу координат и все точки, (начала и концы векторов) также сообразно переносятся.
Решив задачу, мы возвращаем объект на старое место.

@Iglen · 15.10.2018, 21:38

Сообщение от jogano

цент описанной сферы равноудалён от концов каждого ребра данного тетраедра

а почему именно тетраэдра? три некомпланарных вектора могут задавать только его?

@S A 10 / 9 / 4 Регистрация: 02.10.2016 Сообщений: 62
	16.10.2017, 18:07 [ТС]	12
	jogano, есть ли формула не в матричной форме? интересно просто 0

Найти вектор

Решение

Решение

@S A 10 / 9 / 4 Регистрация: 02.10.2016 Сообщений: 62
		1
	Найти вектор 16.10.2017, 14:01. Показов 2762. Ответов 16 Метки нет (Все метки) Добрый день. Прошу помочь в решении задачи: Даны три некомпланарных вектора $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\stackrel{\longrightarrow}{OA}=\bf a$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\stackrel{\longrightarrow}{OB}=\bf b$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\stackrel{\longrightarrow}{OC}=\bf c$ . Пусть S - центр сферы, проходящей через точки O, A, B, C. Найти вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\stackrel{\longrightarrow}{OS}$ . 0

@Nacuott 1806 / 1001 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,922 Записей в блоге: 12
	16.10.2017, 15:26	2
	Можно так. См.картинку. Миниатюры 1

@S A 10 / 9 / 4 Регистрация: 02.10.2016 Сообщений: 62
	16.10.2017, 16:10 [ТС]	3
	А не имея числовых значений? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	16.10.2017, 16:20	4
	Сообщение было отмечено S A как решение Решение Чёрный ящик "Given...Find" это, конечно, универсальный ответ S A, небольшое уточнение: у вас даны 4 точки или 3 вектора? Вышеприведённое решение и нижеприведённое тоже - для первого случая. Если писать так, чтобы это можно было использовать где-то ещё, кроме Маткада, то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{OS}^T=0,5 \cdot \left(\begin{matrix}\bar{OA} \\ \bar{OB} \\ \bar{OC}\end{matrix} \right)^{-1}\cdot \begin{pmatrix}\left\|\bar{A} \right\|^2-\left\|\bar{O} \right\|^2\\ \left\|\bar{B} \right\|^2-\left\|\bar{O} \right\|^2\\ \left\|\bar{C} \right\|^2-\left\|\bar{O} \right\|^2\end{pmatrix}-O^T$ В матрице 33 векторы ОА, ОВ, ОС - это строки матрицы. Справа от матрицы вектор-столбец из разностей квадратов длин радиус-векторов данных 4-х точек. Вектор O^T - вектор-столбец координат точки О. Результат - вектор-столбец. Для вышеприведённого числового примера $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{OS}^T=0,5 \cdot \left(\begin{matrix}2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & -2 \\ 2 & 2 & -1\end{matrix} \right)^{-1}\cdot \begin{pmatrix}14-3\\ 21-3\\ 18-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}=0,5 \cdot \left(\begin{matrix}0,3 & 0,2 & -0,1 \\ -0,1 & -0,4 & 0,7 \\ 0,4 & -0,4 & 0,2\end{matrix} \right)\cdot \begin{pmatrix}11\\ 18\\ 15\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}=0,5 \cdot \begin{pmatrix}5,4\\ 2,2\\ 0,2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1,7\\ 0,1\\ -0,9\end{pmatrix}$ Добавлено через 3 минуты* Сообщение от S A А не имея числовых значений? Здесь Маткад бессилен 1

@S A 10 / 9 / 4 Регистрация: 02.10.2016 Сообщений: 62
	16.10.2017, 16:36 [ТС]	5
	Сообщение от jogano у вас даны 4 точки или 3 вектора? Три вектора. Надо найти четвертый. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	16.10.2017, 16:42	6
	Сообщение было отмечено S A как решение Решение Тогда формула упрощается: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{S}^T=0,5 \cdot \left(\begin{matrix}\bar{a} \\ \bar{b} \\ \bar{c}\end{matrix} \right)^{-1}\cdot \begin{pmatrix}\left\|\bar{a} \right\|^2\\ \left\|\bar{b} \right\|^2\\ \left\|\bar{c} \right\|^2\end{pmatrix}$ Все векторы имеют начало в начале координат (0;0;0). 0

@Excalibur921 1471 / 826 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456
	16.10.2017, 16:58	7
	S A, Какое смысловое содержание названия темы? jogano, Может переименовать? “Найти центр сферы зная 4 точки поверхности” Похоже когда то решал так: Найти центр сферы по 4 точкам на ее поверхности 0

@S A 10 / 9 / 4 Регистрация: 02.10.2016 Сообщений: 62
	16.10.2017, 17:07 [ТС]	8
	Причем здесь 4 точки поверхности? Три вектора даны, прочитайте условие, пожалуйста. 0

@Nacuott 1806 / 1001 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,922 Записей в блоге: 12
	16.10.2017, 17:14	9
	Ну, вот шесть букв и шесть чисел. Плохо видно, но размеры? И вы этим бы пользовались? Миниатюры 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	16.10.2017, 17:40	10
	Excalibur921, три страницы по ссылке... Это если в лоб делать, решая три квадратных уравнения, то А можно же не в лоб. А по лбу Приведу вывод формулы выше. Идея: цент описанной сферы равноудалён от концов каждого ребра данного тетраедра, т.е. он лежит на серединно-перпендикулярной плоскости каждого ребра тетраедра. Достаточно взять три ребра тетраедра, например, AB, AC, AD. Искомая точка Х. Уравнение этой плоскости для отрезка АВ такое: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\bar{X}- \frac{\bar{A}+\bar{B}}{2},\bar{AB} \right)=0$ . Скалярное произведение. Первый вектор лежит в этой плоскости, так как соединяет серединный перпендикуляр и искомую точку. Второй вектор - нормаль плоскости. Нужно решить систему из трёх таких уравнений: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}\left(\bar{X}- \frac{\bar{A}+\bar{B}}{2},\bar{AB} \right)=0\\ \left(\bar{X}- \frac{\bar{A}+\bar{C}}{2},\bar{AC} \right)=0\\ \left(\bar{X}- \frac{\bar{A}+\bar{D}}{2},\bar{AD} \right)=0 \end{cases}$ Пользуясь свойством линейности скалярного произведения, раскрываем их: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}\left(\bar{X},\bar{AB} \right)=0,5\left(\bar{A}+\bar{B},\bar{B}-\bar{A} \right)=0,5\left(\left\|\bar{B} \right\|^2-\left\| \bar{A} \right\|^2 \right)\\ \left(\bar{X},\bar{AC} \right)=0,5\left(\bar{A}+\bar{C},\bar{C}-\bar{A} \right)=0,5\left(\left\|\bar{C} \right\|^2-\left\| \bar{A} \right\|^2 \right)\\ \left(\bar{X},\bar{AD} \right)=0,5\left(\bar{A}+\bar{D},\bar{D}-\bar{A} \right)=0,5\left(\left\|\bar{D} \right\|^2-\left\| \bar{A} \right\|^2 \right) \end{cases}$ Переходим к матричной форме записи: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}\bar{AB}\\ \bar{AC}\\ \bar{AD}\end{pmatrix}\bar{X}^T=0,5 \begin{pmatrix}\left\|\bar{B} \right\|^2-\left\| \bar{A} \right\|^2\\ \left\|\bar{C} \right\|^2-\left\| \bar{A} \right\|^2\\ \left\|\bar{D} \right\|^2-\left\| \bar{A} \right\|^2\end{pmatrix}$ Это линейная система 3*3. Ну и умножили на обратную матрицу слева обе части равенства. Всё. 0

	15.10.2018, 21:38

@Excalibur921 1471 / 826 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456
	16.10.2017, 17:40	11
	Сообщение от S A Причем здесь 4 точки поверхности? Так O это вектор из которого получаем 3 других. Итого 4 вектора(точки). Сообщение от Nacuott вы этим бы пользовались? Если найти центр нужно несколько раз то почему нет? Вот если кусок оптимизации на этом то да… Еще тут Найти центр сферы по 4 точкам на ее поверхности 0

@S A 10 / 9 / 4 Регистрация: 02.10.2016 Сообщений: 62
	16.10.2017, 18:25 [ТС]	14
	jogano, благодарю, и последний момент Сообщение от jogano Все векторы имеют начало в начале координат (0;0;0) Точка O - начало всех векторов - может же находиться и не в начале координат? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	16.10.2017, 18:35	15
	Тогда "опять двадцать пять" - дано 4 точки или 3 вектора? По формуле поста #6 получается центр сферы, которая проходит через начало координат (не центр сферы в начале координат, а начало координат лежит на поверхности сферы). Если 4 точки, то пользуетесь формулой поста #4. Объяснение вывода её - пост #10. Добавлено через 5 минут Сфера - фиксированный в пространстве объект, векторы плавающие - важно их направление и длина (ну или в координатной форме - разница между концом и началом). Если вам даны 3 вектора с началом в определённой точке О пространства, значит, вам даны 4 точки - это начало и три конца. 0

@Nacuott 1806 / 1001 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,922 Записей в блоге: 12
	16.10.2017, 18:44	16
	S A , вообще говоря, в такой постановке как вы дали, задача не имеет смысла. Сфера проводится через точки, а не через векторы.Вы этого не понимаете. Вот например, заданы три числа - это вектор или точка? Один и тот же вектор можно приложить к разным точкам пространства, но при решении задач, где участвуют векторы, они считаются приложенными к началу координат.Если они не приложены к началу, то один из них мы переносим, так чтобы он был приложен к началу координат и все точки, (начала и концы векторов) также сообразно переносятся. Решив задачу, мы возвращаем объект на старое место. 0

@Iglen 0 / 0 / 0 Регистрация: 23.09.2015 Сообщений: 2
	15.10.2018, 21:38	17
	Сообщение от jogano цент описанной сферы равноудалён от концов каждого ребра данного тетраедра а почему именно тетраэдра? три некомпланарных вектора могут задавать только его? 0