@V1lgor

Добрый день! Помогите, пожалуйста, доказать согласованность операций сложения и умножения с отношением конгруэнтности на множестве связанных векторов:
Операция называется согласованной с отношением эквивалентности на множестве , если

0

@palva

Вопрос непонятный, поскольку мы не знаем в рамках какой теории вы находитесь. В разных учебниках даются разные аксиомы, определения, цепочки рассуждений. Мусхелишвили, например, опирается на интуитивные школьные знания и рассуждает здесь довольно нестрого. Постников (Лекции по геометрии) вообще начинает с линейной алгебры и этот вопрос у него вообще не встает. Если даже вы назовете учебник, по которому вы занимаетесь (если такой есть), отвечающий вдряд ли возьмется прочитать его с самого начала до места, где дана эадача, чтобы понять, на что можно опираться при доказательстве и какие используются определения. Вот вы можете, например, дать ваше определение конгруэнтности? Мы даже не знаем, есть ли в вашей геометрии длина, то есть ваше пространство аффинное или евклидово.

0

@V1lgor

Да, вы правы, мой вопрос слишком абстрактный. К сожалению, я не могу назвать учебник, из которого можно было бы взять эту теорию, поскольку мой лектор ведёт лекции по своим записям. Но у меня есть определения, записанные на лекциях:

Связанным вектором в евклидовом пространстве называется упорядоченная пара точек, первая из которых называется началом вектора, вторая называется концом вектора.

Связанный вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором.

Длиной (или модулем) связанного вектора называется расстояние между его началом и концом.

Ненулевые векторы и называются конгруэнтными, если их длины и направления совпадают.

Отношение конгруэнтности на множестве связанных векторов евклидова пространства является отношением эквивалентности.

Свободным вектором называется класс отношения конгруэнтности связанных векторов (т.е. множество векторов, конгруэнтных данному вектору).

Каждый связанный вектор, принадлежащий свободному вектору, называется его представителем.

Я пытался решить данную задачу для сложения геометрически, путем доказательства равенства треугольников, образуемых векторами , и и векторами , и по двум сторонам и углу между ними.
Для операции умножения я, как понимаю, должен использовать определение векторного произведения двух векторов.

0

@palva

То есть у вас обычная школьная геометрия. Тогда можно соединить попарно начала и концы векторов a и a'. Получится параллелограмм. Отрезки соединения будут одинаковой длины и параллельны. Потом то же самое для векторов b и b'. Начала и концы суммы будут, таким образом, тоже соединены параллельными отрезками одинаковой длины. Но это рассуждение проходит для общего случая. Что будет если a и a', к примеру, лежат на одной прямой - непонятно. Но и у вас непонятное определение. Что значит отрезки одинакового направления, если они лежат на одной прямой. Можно здесь как-то уточнить определение, но это потребует дополнительных рассуждений и разборов получающихся случаев.
Книгу Атанасян Базылев вы знаете?

Добавлено через 5 минут
У Постникова есть старя книга семидесятых годов Аналитическая геометрия. Там переход от школьной геометрии к векторам довольно строго изложен. Определение: связанные векторы AB и A'B' равны (эквиполлентны), если середины отрезков A'B и AB' совпадают. Определение позволяет обойтись без понятия длины.

Добавлено через 4 минуты
Постникова, правда, переиздали http://techliter.ru/load/ucheb... 73-1-0-632

0