Определение из топологии

@Reska · Регистрация: 13.12.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Есть вопрос, что это значит?
В …-мерном евклидовом пространстве число топологических типов замкнутых выпуклых множеств ___?

@eropegov · 22.01.2018, 23:48

Множества имеют один топологический тип, если они гомеоморфны.

Если бы вместо "замкнутых" было написано "компактных", я бы предположил навскидку, что в пространстве размерности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n$ имеется $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n+1$ топологический тип компактных выпуклых (а именно - типы шаров размерности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0,1, \ldots, n$ ). Но если просто замкнутых - это ж надо добавлять и подпространства, и полупространства... А вдруг ещё чего забыл.

@Mysterious Light · 23.01.2018, 17:43

Сообщение от eropegov

Множества имеют один топологический тип, если они гомеоморфны.

Впервые вижу понятие топологического типа. Можно ссылку на определение?

@eropegov · 23.01.2018, 21:58

Сообщение от Mysterious Light

Впервые вижу понятие топологического типа. Можно ссылку на определение?

Легко ищется в Яндексе. Но это же ясно и из общего смысла и традиции употребления слов: топологическое свойство - то, которое сохраняется при гомеоморфизмах и т. п.

@Mysterious Light · 23.01.2018, 23:05

Сообщение от eropegov

Легко ищется в Яндексе.

Беглый поиск ничего внятного не выдал. Правда, я не в Яндексе искал. Но и он тоже на определение ссылку не даёт, по крайней мере в начале выдачи.

Сообщение от Reska

число топологических типов замкнутых выпуклых множеств

То есть это получается, нужно найти количество классов эквивалентности замкнутых выпуклых множеств относительно гомеоморфности?
Тогда Ваш первый ответ понятен.

@eropegov · 23.01.2018, 23:46

1. Определение. Два топологических пространства называются топологически эквивалентными или имеющими один топологический тип, если существует гомеоморфизм одного пространства на другое. (тюк)

2. Гомеоморфные пространства топологически неразличимы, поэтому о них говорят, что они имеют один топологический тип. (тюк)

Но интереснее то, что в некоторых учебных пособиях (например, "Введение в топологию" Федорчука или "Элементарная топология" Виро, Нецветаева и др.) даже и определения этому термину не дают, а просто им пользуются - его вполне очевидно определяет контекст.

Добавлено через 54 секунды

Сообщение от Mysterious Light

То есть это получается, нужно найти количество классов эквивалентности замкнутых выпуклых множеств относительно гомеоморфности?

Да, конечно.

@Reska · 26.01.2018, 20:26 **[ТС]**

Сообщение от eropegov

Да, конечно.

так n+1?

@Mysterious Light · 26.01.2018, 21:16

Сообщение от Reska

так n+1?

Увы, нет.
Например, для 1-мерного пр-ва (прямая) всего будет 4 типа:
0(?) пустое множество (не знаю, следует ли его учитывать)
1. точка
2. отрезок
3. полупрямая
4. вся прямая

@Reska · 27.01.2018, 01:01 **[ТС]**

а для n мерностей допустим до 5

Это все еще актуально потому что я не понял на примерах с 2-3-4-5 мерностями

@kabenyuk · 06.02.2018, 18:54

Например для n=2, кроме перечисленных Mysterious Light, есть еще только квадрат, полуплоскость, плоскость.

@Mysterious Light · 06.02.2018, 19:27

Сообщение от kabenyuk

есть еще только квадрат, полуплоскость, плоскость.

а треугольник, один конец которого устремляем в бесконечность?
Скажем, фигура между графиками y=1/|x| и y=0.

@kabenyuk · 07.02.2018, 07:24

Сообщение от Mysterious Light

а треугольник, один конец которого

Такой треугольник не выпуклая фигура. А вот список в самом деле надо пополнить еще и бесконечной полосой конечной ширины. Итак вот, по-моему, полный список: квадрат, полоса, полуплоскость, плоскость. ( Ну и одномерные и нульмерная фигуры.)

Тот факт, что все четыре попарно не гомеоморфны легко следует из свойств гомеоморфизмов, а вот почему других выпуклых замкнутых фигур нет - это посложнее.

@eropegov · 07.02.2018, 08:15

Сообщение от kabenyuk

вот, по-моему, полный список: квадрат, полоса, полуплоскость, плоскость

О, а я, кажется, догадался: всё это - декартовы произведения одномерных выпуклых замкнутых. Причём если брать одномерные разных типов, то декартовы произведения могут получиться одного типа (например, луч на луч - это всё равно что луч на прямую).

@Reska · 07.02.2018, 10:06 **[ТС]**

тогда для n=3 еще добавить трехмерный симплекс?

@kabenyuk · 07.02.2018, 11:44

Сообщение от Reska

для n=3 еще добавить трехмерный симплекс?

похоже так.

@eropegov · 07.02.2018, 17:41

Сообщение от Reska

для n=3 еще добавить трехмерный симплекс?

И всякие пространства-полупространства-полосы.

@Reska · 08.02.2018, 04:20 **[ТС]**

Сообщение от eropegov

И всякие пространства-полупространства-полосы.

ну как всякие, мне бы точное количество, далее опять же для четырехмерного только и приходит на ум 4 мерный симплекс добавить к общему количеству

@kabenyuk · 08.02.2018, 08:27

Сообщение от Reska

мне бы точное количество

Для n=3 немного уточню. Конечно, не толко симплекс. Вот полный (на мой взгляд) список: куб, бесконечный брусок (или цилиндр), бесконечная пластина конечной толщины, полупросранство, все пространство (так что новых здесь 5 штук).
Для n=4 берите декартово произведение этих на отрезок и добавляйте полупростанство и все пространство, но незабудте выбросить гомеоморфные.
Гипотеза: для n=6 их будет 8.

@Reska 0 / 0 / 2 Регистрация: 13.12.2015 Сообщений: 261
	07.02.2018, 10:06 [ТС]	14
	тогда для n=3 еще добавить трехмерный симплекс? 0

@Reska 0 / 0 / 2 Регистрация: 13.12.2015 Сообщений: 261
		1
	Определение из топологии 20.01.2018, 17:03. Показов 733. Ответов 17 Метки нет (Все метки) Есть вопрос, что это значит? В …-мерном евклидовом пространстве число топологических типов замкнутых выпуклых множеств ___? 0

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	22.01.2018, 23:48	2
	Множества имеют один топологический тип, если они гомеоморфны. Если бы вместо "замкнутых" было написано "компактных", я бы предположил навскидку, что в пространстве размерности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n$ имеется $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n+1$ топологический тип компактных выпуклых (а именно - типы шаров размерности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0,1, \ldots, n$ ). Но если просто замкнутых - это ж надо добавлять и подпространства, и полупространства... А вдруг ещё чего забыл. 1

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4300 / 2091 / 431 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,162 Записей в блоге: 24
	23.01.2018, 17:43	3
	Сообщение от eropegov Множества имеют один топологический тип, если они гомеоморфны. Впервые вижу понятие топологического типа. Можно ссылку на определение? 0

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	23.01.2018, 21:58	4
	Сообщение от Mysterious Light Впервые вижу понятие топологического типа. Можно ссылку на определение? Легко ищется в Яндексе. Но это же ясно и из общего смысла и традиции употребления слов: топологическое свойство - то, которое сохраняется при гомеоморфизмах и т. п. 0

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4300 / 2091 / 431 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,162 Записей в блоге: 24
	23.01.2018, 23:05	5
	Сообщение от eropegov Легко ищется в Яндексе. Беглый поиск ничего внятного не выдал. Правда, я не в Яндексе искал. Но и он тоже на определение ссылку не даёт, по крайней мере в начале выдачи. Сообщение от Reska число топологических типов замкнутых выпуклых множеств То есть это получается, нужно найти количество классов эквивалентности замкнутых выпуклых множеств относительно гомеоморфности? Тогда Ваш первый ответ понятен. 0

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	23.01.2018, 23:46	6
	1. Определение. Два топологических пространства называются топологически эквивалентными или имеющими один топологический тип, если существует гомеоморфизм одного пространства на другое. (тюк) 2. Гомеоморфные пространства топологически неразличимы, поэтому о них говорят, что они имеют один топологический тип. (тюк) Но интереснее то, что в некоторых учебных пособиях (например, "Введение в топологию" Федорчука или "Элементарная топология" Виро, Нецветаева и др.) даже и определения этому термину не дают, а просто им пользуются - его вполне очевидно определяет контекст. Добавлено через 54 секунды Сообщение от Mysterious Light То есть это получается, нужно найти количество классов эквивалентности замкнутых выпуклых множеств относительно гомеоморфности? Да, конечно. 1

@Reska 0 / 0 / 2 Регистрация: 13.12.2015 Сообщений: 261
	26.01.2018, 20:26 [ТС]	7
	Сообщение от eropegov Да, конечно. так n+1? 0

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4300 / 2091 / 431 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,162 Записей в блоге: 24
	26.01.2018, 21:16	8
	Сообщение от Reska так n+1? Увы, нет. Например, для 1-мерного пр-ва (прямая) всего будет 4 типа: 0(?) пустое множество (не знаю, следует ли его учитывать) 1. точка 2. отрезок 3. полупрямая 4. вся прямая 0

@Reska 0 / 0 / 2 Регистрация: 13.12.2015 Сообщений: 261
	27.01.2018, 01:01 [ТС]	9
	а для n мерностей допустим до 5 Это все еще актуально потому что я не понял на примерах с 2-3-4-5 мерностями 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	06.02.2018, 18:54	10
	Например для n=2, кроме перечисленных Mysterious Light, есть еще только квадрат, полуплоскость, плоскость. 0

	08.02.2018, 08:27

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4300 / 2091 / 431 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,162 Записей в блоге: 24
	06.02.2018, 19:27	11
	Сообщение от kabenyuk есть еще только квадрат, полуплоскость, плоскость. а треугольник, один конец которого устремляем в бесконечность? Скажем, фигура между графиками y=1/\|x\| и y=0. 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	07.02.2018, 07:24	12
	Сообщение от Mysterious Light а треугольник, один конец которого Такой треугольник не выпуклая фигура. А вот список в самом деле надо пополнить еще и бесконечной полосой конечной ширины. Итак вот, по-моему, полный список: квадрат, полоса, полуплоскость, плоскость. ( Ну и одномерные и нульмерная фигуры.) Тот факт, что все четыре попарно не гомеоморфны легко следует из свойств гомеоморфизмов, а вот почему других выпуклых замкнутых фигур нет - это посложнее. 1

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	07.02.2018, 08:15	13
	Сообщение от kabenyuk вот, по-моему, полный список: квадрат, полоса, полуплоскость, плоскость О, а я, кажется, догадался: всё это - декартовы произведения одномерных выпуклых замкнутых. Причём если брать одномерные разных типов, то декартовы произведения могут получиться одного типа (например, луч на луч - это всё равно что луч на прямую). 1

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	07.02.2018, 11:44	15
	Сообщение от Reska для n=3 еще добавить трехмерный симплекс? похоже так. 0

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	07.02.2018, 17:41	16
	Сообщение от Reska для n=3 еще добавить трехмерный симплекс? И всякие пространства-полупространства-полосы. 0

@Reska 0 / 0 / 2 Регистрация: 13.12.2015 Сообщений: 261
	08.02.2018, 04:20 [ТС]	17
	Сообщение от eropegov И всякие пространства-полупространства-полосы. ну как всякие, мне бы точное количество, далее опять же для четырехмерного только и приходит на ум 4 мерный симплекс добавить к общему количеству 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	08.02.2018, 08:27	18
	Сообщение от Reska мне бы точное количество Для n=3 немного уточню. Конечно, не толко симплекс. Вот полный (на мой взгляд) список: куб, бесконечный брусок (или цилиндр), бесконечная пластина конечной толщины, полупросранство, все пространство (так что новых здесь 5 штук). Для n=4 берите декартово произведение этих на отрезок и добавляйте полупростанство и все пространство, но незабудте выбросить гомеоморфные. Гипотеза: для n=6 их будет 8. 0