Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
Геометрия
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
 
Рейтинг 4.80/5: Рейтинг темы: голосов - 5, средняя оценка - 4.80
ili1
Заблокирован
1

Верно ли следующее утверждение относительно треугольника?

15.02.2018, 12:52. Просмотров 878. Ответов 24
Метки нет (Все метки)

Задан треугольник со сторонами a, b, c. Причем a < b < c.
На основе этого треугольника строится треугольник со сторонами
a + z, b + z, c + z. (z > 0)
Верно ли, что угол A, расположенный против стороны а (первый треугольник)
будет меньше угла Az, расположенного против стороны a + z (второй треугольник)?
Логическое рассуждение
Если число z увеличивается, то отношение сторон второго треугольника всё меньше
отличается от единицы. То есть треугольник приближается по форме к равностороннему.
Это значит все углы будут стремиться к углу в 60°. А поскольку наименьший угол меньше
60°, то он должен увеличиваться. А значит Az > A.
Но как это доказать? Или опровергнуть?
Попытка использовать теорему косинусов не дала никаких результатов.
0
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
15.02.2018, 12:52
Ответы с готовыми решениями:

Верно ли утверждение относительно многоугольника?
Задается многоугольник всеми своими сторонами и обладающий наибольшей площадью...

Верно ли следующие утверждение ?
Тут поспорил с одним челом на предмет такого утверждения (известного на одном...

Определить положение точек относительно треугольника
Например есть две точки D1 и D2. Для точки D1 нужно определить, что она...

Верно ли следующее утверждение ИВ,доказать
верно ли следующее утверждение ИВ,доказать. A -&gt; B, A -&gt; C, A -&gt; -B |- A

Доказать следующее утверждение в теории множеств
Через (-B) обозначим дополнение U/B, где U - означает универсум. Доказать,...

24
eropegov
372 / 363 / 73
Регистрация: 30.01.2017
Сообщений: 1,011
16.02.2018, 09:08 2
Лучший ответ Сообщение было отмечено ili1 как решение

Решение

Вам нужна теорема синусов!
1
ili1
Заблокирован
16.02.2018, 09:33  [ТС] 3
Продолжение.
1. попытка опровергнуть выше высказанное утверждение не увенчалась
успехом. Была написана программа, которая проверила более двух миллионов
случайных треугольников...
2. аналитическое решение
2.1
Не уменьшая общности мы можем положить переменную z = 1.
В самом деле, учитывая что подобные треугольники должны иметь и
подобные решения (пример. два треугольника подобны и k - коэффициент
подобия, то подобное решение будет при z = kz)
2.2
если A < Az, то cos(A) > cos(Az) и применяя теорему косинусов, мы получим
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?cos(A)=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?cos(Az)=\frac{(b+1)^2+(c+1)^2-(a+1)^2}{2(b+1)(c+1)}

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}>\frac{(b+1)^2+(c+1)^2-(a+1)^2}{2(b+1)(c+1)}
итак, решение геометрической задачи сведено к решению алгебраического
неравенства при условии a < b < c
2.3
решение (имеем)

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}>\frac{(b+1)^2+(c+1)^2-(a+1)^2}{2(b+1)(c+1)}
преобразуем левую часть неравенства
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac12(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}-\frac{a^2}{bc})
пожалуй можно использовать неравенства
1) http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{b}{c}+\frac{c}{b} \;>\; 2, 2) http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{a^2}{bc}\;<\; 1
...
пока не ясно, как всё это использовать?
Может кто знает, как решить подобное неравенство?
0
eropegov
372 / 363 / 73
Регистрация: 30.01.2017
Сообщений: 1,011
16.02.2018, 09:36 4
Вам нужна теорема синусов!

Добавлено через 54 секунды
Цитата Сообщение от ili1 Посмотреть сообщение
Была написана программа, которая проверила более двух миллионов случайных треугольников...
Вот ещё один пример того, что иногда умение писать программы не идёт людям на пользу.
1
ili1
Заблокирован
16.02.2018, 09:41  [ТС] 5
eropegov,
спасибо. Теорема синусов?
Я это конечно понимаю, но надо как-то связать углы или их синусы
(треугольников то два, а не один). Можно конечно использовать
площади треугольников (например формулу Герона). Пока не ясно
как это решить...
0
eropegov
372 / 363 / 73
Регистрация: 30.01.2017
Сообщений: 1,011
16.02.2018, 09:43 6
Лучший ответ Сообщение было отмечено ili1 как решение

Решение

Не надо никаких площадей. У вас верные соображения в стартовом посте (там, где "всё менее отличается от единицы").
1
ili1
Заблокирован
16.02.2018, 10:24  [ТС] 7
Продолжение 2
1.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?s_1=\frac12 bc sin(A) (площадь треугольника 1)
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?s_2=\frac12 (b+1)(c+1)sin(Az) (площадь треугольника 2)
и
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sin(A)=\frac{2s_1}{bc}
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sin(Az)=\frac{2s_2}{(b+1)(c+1)}
кроме того
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?s_1=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
где http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=\frac{a+b+c}{2}

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?s_2=\sqrt{(p+1,5)(p-a+0,5)(p-b+0,5)(p-c+0,5)}
где http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=\frac{a+b+c}{2}
так как нам надо доказать, что A < Az, то это эквивалентно неравенству

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{2 \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{bc}<\frac{2 \sqrt{(p+1,5)(p-a+0,5)(p-b+0,5)(p-c+0,5)} }{(b+1)(c+1)}
или

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{ p(p-a)(p-b)(p-c)}{(bc)^2}<\frac{(p+1,5)(p-a+0,5)(p-b+0,5)(p-c+0,5)}{(b+1)^2(c+1)^2}
...
дааа... получилось еще неравенство... даже сложнее предыдущего
В общем следует подумать.

Добавлено через 8 минут
eropegov,
спасибо. Вы понимаете, стартовый пост не является доказательством.
То есть, если бы было так, то треугольник с углом в 60° должен был бы
сохранить этот угол при увеличении сторон. НО расчеты показали, что
этот угол ИЗМЕНЯЕТСЯ. Сначала немного уменьшается, а потом растёт.
(в бесконечности достигая своего изначального размера в 60°)
0
Байт
Эксперт C
18944 / 12160 / 2538
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 24,762
16.02.2018, 12:53 8
Лучший ответ Сообщение было отмечено ili1 как решение

Решение

ili1, Вообще-то теорема синусов в классической формулировке звучит так a = 2RsinA, R - радиус описанной окружности. Может быть это поможет?
1
SSC
Эксперт по математике/физике
2658 / 1397 / 406
Регистрация: 09.04.2015
Сообщений: 3,833
16.02.2018, 14:55 9
Лучший ответ Сообщение было отмечено ili1 как решение

Решение

Цитата Сообщение от ili1 Посмотреть сообщение
В общем следует подумать.
Возьмите за исходное другое уравнение
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sin(A/2)=\sqrt{\frac{(p-b)\cdot (p-c)}{b\cdot c}}
Сравните синусы между собой получив неравенство.
Корни отпросятся, z в 1 не превращайте.
Перенесите знаменатели, для исключения дроби.
Обратите внимание, что правая и левая части при z=0 равны (это заодно и промежуточная проверка преобразований)
Возьмите производную по z для левой и правой части.
Теперь если удаться доказать, что одна производная больше другой, то это и докажет правильность неравенства.
Сделайте замены b=a+t и с=a+kt, где k>1. В частности для упрощения 1-го прохода можно принять k=2.
Выполните преобразования и Вы увидите, что для a>0 одна производная больше другой.
1
ili1
Заблокирован
16.02.2018, 15:35  [ТС] 10
Ребята (Байт, SSC), спасибо!
Сейчас продолжу решение. Все они приводят к таким сложным,
громоздким неравенствам, что не ясно с какой стороны к этой
задаче подступиться...
0
jogano
Модератор
Эксперт по математике/физике
4279 / 2741 / 935
Регистрация: 09.10.2009
Сообщений: 4,858
Записей в блоге: 4
16.02.2018, 15:42 11
ili1, делал через теорему косинусов, только в неравенстве вашего поста #3, которое после "2.3 решение (имеем)" ставил прибавку z>0 вместо 1.
Если аккуратно перемножить крест-накрест (числители и знаменателя этих двух дробей положительные, знак неравенства не меняется) получаем равносильные сравнения:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha _z \vee \alpha \\z \vee -\frac{b^3-b^2c-b\left(a+c \right)+c^3-a^2c}{b^2+c^2-a^2-bc}
Знаменатель правой части положительный, так как равен
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b^2+c^2-a^2-bc=2bc \cos \alpha -bc=bc\left(2 \cos \alpha -1 \right)>0 - напротив меньшей стороны а лежит угол меньше 60о.
Числитель. Можно рассмотреть его (вместе со знаком "-" перед ним) как многочлен от b и исследовать его, т.е. исследовать функцию http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y\left(x \right)=-x^3+x^2c+x\left(a+c \right)^2-c^3+a^2c, \: x \in \left(c-a;c \right)
Попробуйте сами это сделать - писать сюда долго.
Вывод (после исследования):
в сравнении "http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z\vee ..." правая часть всегда положительна. Это означает, что для малых z сначала это сравнение выполняется как "z<...", а значит http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha _z<\alpha. Потом, с ростом z, это неравенство начинает выполняться как "z>..." и угол напротив a+z начинает увеличиваться, стремясь к 60о.
2
ili1
Заблокирован
16.02.2018, 15:58  [ТС] 12
jogano,
вы гений. А ведь это я должен был догадаться, что с ростом
z угол увеличивается до 60°. Я даже специально исследовал
этот случай. Но решили именно вы!!
...
А у меня нет кнопки "лучший ответ" - всё раздал... СПАСИБО!
0
jogano
Модератор
Эксперт по математике/физике
4279 / 2741 / 935
Регистрация: 09.10.2009
Сообщений: 4,858
Записей в блоге: 4
16.02.2018, 17:51 13
ili1, вот вы перехваливаете, однако эксперимент не подтверждает выводов: при сторонах 2, 3 и 4 угол напротив 2 растёт сразу, а не потом.
1
Байт
Эксперт C
18944 / 12160 / 2538
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 24,762
16.02.2018, 18:38 14
Вот такое любопытное наблюдение. Если треугольник остроугольный, то прибавление к его сторонам z не меняет его остроугольности
a + b > c (треугольник)
a2 + b2 > c2 (признак остроугольности)
(a+z)2 + (b+z)2 > (c+z)2 (легко выводится)
Вообще кажется, что исследование отношения (a2 + b2 )/c2 может что-то дать
2
ili1
Заблокирован
16.02.2018, 18:47  [ТС] 15
jogano,
речь шла о треугольнике с углов в 60°. Ну не может этот угол
оставаться постоянным. Вот он и уменьшился для начала...
Вы видимо что-то не так поняли...

Добавлено через 7 минут
Байт,
спасибо. Это интересная мысль. И я вот так сразу не могу
сказать что-то конкретное. Вообще мне нравятся треугольники
(и соответственно многоугольники). Разберемся. Тут еще много
нерешенных задач.
...
В школах изучают элементарные вещи. Стоит что-то добавить и...
такая задача годится только на олимпиаду.
0
kvkv
-6 / 10 / 0
Регистрация: 19.02.2015
Сообщений: 48
16.02.2018, 19:09 16
f(z) = [b^2 + c^2 - a^2 + 2(b+c-a)z + z^2]/[2bc + 2(b+c)z + 2z^2]
Докажите, что она возрастает после z=0 методами анализа, значит косинус растет, значит угол меньше
2
ili1
Заблокирован
16.02.2018, 20:14  [ТС] 17
kvkv
Начав вычислять производную, я сразу установил, что
в числителе будет многочлен второй степени. И коэффициент
при z^2 равен 2(2a - b - c) < 0. Вывод: возрастать НЕ БУДЕТ.
...
мне кажется вы что-то напутали... если косинус убывает, то
угол растет

Добавлено через 2 минуты
Байт, отключил я ее, чтобы никто не мешал...
0
Байт
Эксперт C
18944 / 12160 / 2538
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 24,762
16.02.2018, 20:39 18
Цитата Сообщение от kvkv Посмотреть сообщение
косинус растет, значит угол меньше
Цитата Сообщение от ili1 Посмотреть сообщение
если косинус убывает, то угол растет
Найдите разницу
0
kvkv
-6 / 10 / 0
Регистрация: 19.02.2015
Сообщений: 48
17.02.2018, 01:40 19
Нет, если в числителе и знаменателе квадраты, то в общем случае у производной в числителе будет куб, в знаменателе четвертая степень
1
ili1
Заблокирован
17.02.2018, 09:33  [ТС] 20
kvkv
В данном случае куб сокращается. Проверьте.
0
17.02.2018, 09:33
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
17.02.2018, 09:33

Верно ли утверждение
sin(x) ~ x , x-&gt;1 я считаю что нет ,это так ?

Верно ли утверждение?
Правда что в достаточно сложной базе данных acces способен чтото понять и...

Верно ли утверждение?
пхп программист это верстальщик(хтмл,джава скрпит,сss) +пхп?а верстальщик это...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
20
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru