Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
Геометрия
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
ili1
Заблокирован
#1

Треугольник внутри треугольника. Теорема

21.02.2018, 10:33. Просмотров 127. Ответов 0
Метки нет (Все метки)

Эту задачу я решил оформить в виде теоремы. Основной вопрос
состоит в том: Всё ли правильно я сделал? Нет ли где логических
и иных ошибок?

Теорема о вложенном треугольнике

Дано два треугольника ABC и A2B2C2
со сторонами a, b, c и a + z, b + z, c + z; причем верно неравенство a > b > c; z > 0
Доказать что треугольник ABC поместится внутрь треугольника A2B2C2
Решение (смотрите рисунок)
1. разместим треугольники так: угол C совпадает с углом C2
2. сторона CB лежит на стороне C2B2 (это самые длинные стороны в наших треугольниках)
3. По существу нам надо доказать, что точка A лежит внутри треугольника A2B2C2
4. поскольку сторона AB имеет длину c (то есть самая малая), угол C будет
меньше угла C2 (такое доказательство есть в одной моей теме)
5. И нам надо доказать, что точка A лежит СЛЕВА от прямой A2B2
6. Но мы докажем более сильное условие, а именно, что абсцисса точки A2 больше,
чем абсцисса точки A. Точнее, что абсцисса возрастает (ведь она зависит от переменной z)
7. Обозначим абсциссу точки A2 как XA2
8. применяя теорему косинусов к треугольнику A2B2C2 получим
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?cos(C_2)=\frac{(a+z)^2+(b+z)^2-(c+z)^2}{2(a+z)(b+z)} и
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X_{A2}=(b+z)cos(C_2)
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X_{A2}=\frac{(a+z)^2+(b+z)^2-(c+z)^2}{2(a+z)}
9. Теперь нам надо доказать, что последняя функция возрастает при возрастании z
10. То есть надо найти производную и доказать, что она положительна при z > 0
11. Знаменатель этой производной и так будет положителен (ведь он возводится в квадрат)
Поэтому найдем производную числителя. (число 2 в знаменателе игнорируем. Знак от этого не зависит)
12. Имеем (числитель (обозначен через y))
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=(2(a+z)+2(b+z)-2(c+z))(a+z)-((a+z)^2+(b+z)^2-(c+z)^2)
раскрываем скобки и приводим подобные
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=z^2+2az+(a^2+(b-c)((a-b)+(a-c)))
примечание: мы имеем квадратный трехчлен.
13. Нам надо доказать, что квадратный трехчлен положителен при z > 0
но он итак положителен в силу неравенства a > b > c
14. То есть мы доказали, что точка A лежит внутри треугольника
А значит и сам треугольник ABC расположен внутри A2B2C2
Что и требовалось доказать.
0
Миниатюры
Треугольник внутри треугольника. Теорема  
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
21.02.2018, 10:33
Ответы с готовыми решениями:

Внутри треугольника с помощью циркуля и линейки построить ​​точку, делящую треугольник на три равновеликие треугольника
Внутри треугольника с помощью циркуля и линейки построить такую ​​точку, чтобы...

Треугольник лежит внутри треугольника. Его периметр тоже меньше?
Дан произвольный треугольник со сторонами a, b, c и периметром равным 2p....

Теорема про треугольник
Как доказать следующую теорему? Любая сторона треугольника меньше суммы двух...

Задача на нахождение точки внутри треугольника
Помогите, пожалуйста. Правила, 5.18. Запрещено размещать задания в виде...

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник ок
Доказать обе формулы Нужно написать доказательство к формулам R=a:2 и r=P/2-a,...

0
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
21.02.2018, 10:33

Найти угол между медианой и стороной треугольника по координатам вершин треугольника
Даны вершины треугольника А0(2;5), А1(3;3),А2(-1;4) Найти: А)Уравнение...

Докажите, что площадь треугольника, составляет площади ортоцентрического треугольника
Докажите, что площадь треугольника, имеющего вершинами середины высот...

Докажите, что продолжение медианы BE треугольника ABC является высотой треугольника BMK
На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты АВМР и...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
1
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru