Найти радиус окружности.

@Bazaroff · Регистрация: 29.05.2011

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

По известным хорде и высоте дуги необходимо найти радиус окружности.
Как сие сделать?

Добавлено через 1 час 15 минут
Всем, пытавшимся помочь, большое спасибо! Додумали с дочей!

@Eugeniy · 16.07.2011, 02:04

Bazaroff, а что значит высота дуги? Вы имеете ввиду ее длина?

Просто если это все-таки длина дуги, причем в радианах тогда искомый радиус будет решением такого уравнения,
причем упростить его не реально, потому-что на лицо не линейная зависимость.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin (\frac{l}{4\pi R})=\frac{a}{2R}$

l - длина дуги в радианах
a - длина хорды.

Замечу, что если длина дуги дана в градусах, тогда то что под синусом известно и на лицо явная линейная зависимость.
В общем случае это уравнение будет иметь единственное решение на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[ 0;2\pi \right]$ , но мне представляется, что составители задания хотели нечто попроще. В принципе решить эту задачу графически тоже не составляет большого труда, так что определяйтесь

@Bazaroff · 16.07.2011, 02:11 **[ТС]**

Сообщение от Eugeniy

что значит высота дуги?

Я имел ввиду отрезок, соединяющий середину дуги и середину хорды.

@Eugeniy · 16.07.2011, 03:03

Bazaroff, тогда все не сложно, если только помнить про свойства вписанных и центральных углов.

Пускай у нас хорда AB. Центр окружности точка O, OD - радиус он же серединный перпендикуляр хорды AB,
и точка K - пересечение AB и OD.

Обозначим угол DOB $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha$ . Угол DОB очевидно равен углу DOA.

Угол DОB опирается на дугу DB и является центральным углом, к тому же угол DAB также опирается на эту дугу,
но он есть суть вписанный угол, по-этому угол DAB равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\alpha}{2}$

Зная DK и KA Вы легко сможете найти угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\alpha}{2}$ , а вместе с ним и угол AOB.
Отсюда радиус можно найти из той формулы, которую я написал в первом посте.

Добавлено через 21 минуту
Bazaroff, Вы также с дочуркой решали?

@Bazaroff · 16.07.2011, 18:01 **[ТС]**

Сообщение от Eugeniy

Bazaroff, Вы также с дочуркой решали?

Да! И решение было оччень громоздким! Прибегая к тригонометрии!(((
А на одном из форумов человек свел все к простому уравнению, не прибегая к ужасам. Буквально в одну строчку! Во молоток!

@Bazaroff · 16.07.2011, 18:07 **[ТС]**

https://www.cyberforum.ru/images/attach/jpg.gif

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOD. Его катет |AD| равен половине хорды |AB|. Катет |OD|=R-|CD| (известно из условия).
Уравнение: R^2=|AD|^2+(R-|OC|)^2. В процессе квадраты сокращаются и остается линейное уравнение!

@Eugeniy · 17.07.2011, 02:33

Bazaroff, математика вещь очень странная. Здесь все зависит от того с какого угла посмотреть на проблему.
Например верояст может долго и тупо может решать одну задачу, мимо пройдет его коллега, только что читавший курс топологии, взглянет на это дело и предложит гениальную идею о введении топологии в вероятностном пространстве
(так в принципе однажды и сделал известный, к сожалению ныне усопший, гениальный верояст Скороход).

Главное в математике - это идея, а идея формируется из правильной точки зрения.

Плюс не надо забывать об уровне математика. Есть целый класс задач, которые школьники могут решить за пять минут,
а талантливый математик может биться над ней час, потому что школьник решит ее тривиальным способом, а математик, на уровне своего полета, начнет перебирать все известные ему методы (потому что не годится ему начинать двигаться от простого) и не факт, что доберется до чего-то путного.

Именно по-этому так важно иногда спускаться с небес и решать школьные задачки, желательно конечно олимпиадные

Гибкость ума - вот что должно быть присуще математику!

@Bazaroff · 17.07.2011, 02:41 **[ТС]**

Eugeniy, не могу не согласиться.

Если интересно вот еще одна интересная формула: общими усилиями раскопали.

D=abc/4S

@Eugeniy · 17.07.2011, 03:29

Bazaroff, формула интересная, но не новая

Она выражает радиус описанной окружности, для любого треугольника, если известны стороны.

Мда, она действительно решает задачу за один присест, но Bazaroff, очень важно понимать,
что математика - это не набор формул, это нечто большее, на подобие учения Аристотеля - это набор идей.
Здесь не достаточно знать формулы, чтобы решить задачу, здесь надо знать идеи,
знать основные принципы - только это приведет Вас к успеху.

Вот я забыл эту формулу, но решил задачу. Почему?
Потому что я знаю как работает весь механизм и каждая шестеренка в частности.
На этой основе я и могу конструировать новые машины.
Формула - это только формализованный результат, набор символов - по-сути ничего!

А находить красивые решения - это конечно интересно, и даже эстетично,
только почему, мне интересно эта задача Вас так зацепила, что Вы из нее чуть не кандидатскую делаете?!

@Bazaroff · 17.07.2011, 03:48 **[ТС]**

Сообщение от Eugeniy

почему, мне интересно эта задача Вас так зацепила

Видите ли, натура такая. Понадобилось кое-какой девайс сделать, а по вине той самой натуры прежде обязательно нужно точный чертеж изваять. (Хотя вполне и без него обойтись можно, но -на то она и натура).
Вот и есть деталь с этой дугой. Почесал репу, и сразу на пару форумов вопрос закинул. Пока суть да дело, и сам стал до чего-то додумываться. Да тут и доча вовремя подвернулась. Напомнила и про центральные и вписанные углы и формулы треугольников предоставила.
А в то время и на форумах не дремали. Отсюда и масса решений.

Добавлено через 1 минуту
Только вот последняя формула покоя не дает (вот уж мне эта дотошность). Существует ли у нее доказательство? Дочь сказала, что им ее в школе просто как данность дали.(((

@Eugeniy · 17.07.2011, 04:12

Сообщение от Bazaroff

Существует ли у нее доказательство?

Bazaroff, у любой формулы существует доказательство - на то она и математика. Дочь правду говорит,
такое у нас сейчас мат.образование - априорное, бездоказательное!

Bazaroff, Вы будете удивлены, но я тряхнул стариной и за две минуты сварганил доказательство!

Вот что оно такое - мат.образование!

Хотя конечно это даже не соизмеримо с тем, чем я занимаюсь в реальной жизни

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?R = \frac{abc}{4S}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2R = \frac{abc}{2S}$

С другой стороны известно, что

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2R = \frac{a}{sin(\alpha )}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha$ - угол между b и c

Таким образом уравнение можно переписать

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{bc}{2S}=\frac{1}{sin(\alpha )}$

Это тоже самое, что и

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=\frac{1}{2}bc\sin(\alpha )$

А это есть известная формула. Таким образом идя с конца, мы получаем нужно нам доказательство.

А ведь понимаете какая штука, эти доказательства совершенно не сложные,
они следуют из вполне очевидных и логичных вещей, и они также многократно
улучшают понимание учеников о происходящем на доске.

Вопрос, почему в школах не объясняют такие очевидные и простые вещи!?
Школьнику просто дают формулку и говорят, мол на тебе, ешь ее с кашей! И всех делов! Обидно!

@Bazaroff · 17.07.2011, 13:12 **[ТС]**

Сообщение от Eugeniy

Вопрос, почему в школах не объясняют такие очевидные и простые вещи!?
Школьнику просто дают формулку и говорят, мол на тебе, ешь ее с кашей! И всех делов! Обидно!

Да! Абсолютно с вами согласен! Вообще питаю слабость к толковым дисциплинам!

@easybudda · 17.07.2011, 14:11

Вот такое ещё смелое решение появилось

Поправьте, пожалуйста, если ошибаюсь...

@Bazaroff · 17.07.2011, 20:12 **[ТС]**

easybudda, извините, что-то теряю мысль после последней строчки (2R)^2.

Как вы приходите к дроби?

@easybudda · 17.07.2011, 20:30

Bazaroff, по формуле сокращённого умножения (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
то есть раскрыл (2R - 2|CD|)^2
-8R|CD| перенёс налево, а (2R)^2 - направо, где оно и сократилось...
Получилось 8R|CD| = |AB|^2 + 4|CD|^2

@Bazaroff · 17.07.2011, 20:48 **[ТС]**

easybudda, да, увидел!
Действительно, все верно!

@Bazaroff 288 / 93 / 11 Регистрация: 29.05.2011 Сообщений: 2,399
	17.07.2011, 03:48 [ТС]	10
	Сообщение от Eugeniy почему, мне интересно эта задача Вас так зацепила Видите ли, натура такая. Понадобилось кое-какой девайс сделать, а по вине той самой натуры прежде обязательно нужно точный чертеж изваять. (Хотя вполне и без него обойтись можно, но -на то она и натура). Вот и есть деталь с этой дугой. Почесал репу, и сразу на пару форумов вопрос закинул. Пока суть да дело, и сам стал до чего-то додумываться. Да тут и доча вовремя подвернулась. Напомнила и про центральные и вписанные углы и формулы треугольников предоставила. А в то время и на форумах не дремали. Отсюда и масса решений. Добавлено через 1 минуту Только вот последняя формула покоя не дает (вот уж мне эта дотошность). Существует ли у нее доказательство? Дочь сказала, что им ее в школе просто как данность дали.((( 0

@Bazaroff 288 / 93 / 11 Регистрация: 29.05.2011 Сообщений: 2,399
		1
	Найти радиус окружности. 16.07.2011, 01:10. Показов 23838. Ответов 15 Метки нет (Все метки) По известным хорде и высоте дуги необходимо найти радиус окружности. Как сие сделать? Добавлено через 1 час 15 минут Всем, пытавшимся помочь, большое спасибо! Додумали с дочей! 0

@Eugeniy 3132 / 1325 / 156 Регистрация: 19.12.2009 Сообщений: 1,808
	16.07.2011, 02:04	2
	Bazaroff, а что значит высота дуги? Вы имеете ввиду ее длина? Просто если это все-таки длина дуги, причем в радианах тогда искомый радиус будет решением такого уравнения, причем упростить его не реально, потому-что на лицо не линейная зависимость. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin (\frac{l}{4\pi R})=\frac{a}{2R}$ l - длина дуги в радианах a - длина хорды. Замечу, что если длина дуги дана в градусах, тогда то что под синусом известно и на лицо явная линейная зависимость. В общем случае это уравнение будет иметь единственное решение на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[ 0;2\pi \right]$ , но мне представляется, что составители задания хотели нечто попроще. В принципе решить эту задачу графически тоже не составляет большого труда, так что определяйтесь 2

@Bazaroff 288 / 93 / 11 Регистрация: 29.05.2011 Сообщений: 2,399
	16.07.2011, 02:11 [ТС]	3
	Сообщение от Eugeniy что значит высота дуги? Я имел ввиду отрезок, соединяющий середину дуги и середину хорды. 0

@Eugeniy 3132 / 1325 / 156 Регистрация: 19.12.2009 Сообщений: 1,808
	16.07.2011, 03:03	4
	Сообщение было отмечено как решение Решение Bazaroff, тогда все не сложно, если только помнить про свойства вписанных и центральных углов. Пускай у нас хорда AB. Центр окружности точка O, OD - радиус он же серединный перпендикуляр хорды AB, и точка K - пересечение AB и OD. Обозначим угол DOB $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha$ . Угол DОB очевидно равен углу DOA. Угол DОB опирается на дугу DB и является центральным углом, к тому же угол DAB также опирается на эту дугу, но он есть суть вписанный угол, по-этому угол DAB равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\alpha}{2}$ Зная DK и KA Вы легко сможете найти угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\alpha}{2}$ , а вместе с ним и угол AOB. Отсюда радиус можно найти из той формулы, которую я написал в первом посте. Добавлено через 21 минуту Bazaroff, Вы также с дочуркой решали? 4

@Bazaroff 288 / 93 / 11 Регистрация: 29.05.2011 Сообщений: 2,399
	16.07.2011, 18:01 [ТС]	5
	Сообщение от Eugeniy Bazaroff, Вы также с дочуркой решали? Да! И решение было оччень громоздким! Прибегая к тригонометрии!((( А на одном из форумов человек свел все к простому уравнению, не прибегая к ужасам. Буквально в одну строчку! Во молоток! 0

@Bazaroff 288 / 93 / 11 Регистрация: 29.05.2011 Сообщений: 2,399
	16.07.2011, 18:07 [ТС]	6
	https://www.cyberforum.ru/images/attach/jpg.gif Рассмотрим прямоугольный треугольник AOD. Его катет \|AD\| равен половине хорды \|AB\|. Катет \|OD\|=R-\|CD\| (известно из условия). Уравнение: R^2=\|AD\|^2+(R-\|OC\|)^2. В процессе квадраты сокращаются и остается линейное уравнение! Миниатюры 1

@Eugeniy 3132 / 1325 / 156 Регистрация: 19.12.2009 Сообщений: 1,808
	17.07.2011, 02:33	7
	Bazaroff, математика вещь очень странная. Здесь все зависит от того с какого угла посмотреть на проблему. Например верояст может долго и тупо может решать одну задачу, мимо пройдет его коллега, только что читавший курс топологии, взглянет на это дело и предложит гениальную идею о введении топологии в вероятностном пространстве (так в принципе однажды и сделал известный, к сожалению ныне усопший, гениальный верояст Скороход). Главное в математике - это идея, а идея формируется из правильной точки зрения. Плюс не надо забывать об уровне математика. Есть целый класс задач, которые школьники могут решить за пять минут, а талантливый математик может биться над ней час, потому что школьник решит ее тривиальным способом, а математик, на уровне своего полета, начнет перебирать все известные ему методы (потому что не годится ему начинать двигаться от простого) и не факт, что доберется до чего-то путного. Именно по-этому так важно иногда спускаться с небес и решать школьные задачки, желательно конечно олимпиадные Гибкость ума - вот что должно быть присуще математику! 0

@Bazaroff 288 / 93 / 11 Регистрация: 29.05.2011 Сообщений: 2,399
	17.07.2011, 02:41 [ТС]	8
	Eugeniy, не могу не согласиться. Если интересно вот еще одна интересная формула: общими усилиями раскопали. D=abc/4S 0

@Eugeniy 3132 / 1325 / 156 Регистрация: 19.12.2009 Сообщений: 1,808
	17.07.2011, 03:29	9
	Bazaroff, формула интересная, но не новая Она выражает радиус описанной окружности, для любого треугольника, если известны стороны. Мда, она действительно решает задачу за один присест, но Bazaroff, очень важно понимать, что математика - это не набор формул, это нечто большее, на подобие учения Аристотеля - это набор идей. Здесь не достаточно знать формулы, чтобы решить задачу, здесь надо знать идеи, знать основные принципы - только это приведет Вас к успеху. Вот я забыл эту формулу, но решил задачу. Почему? Потому что я знаю как работает весь механизм и каждая шестеренка в частности. На этой основе я и могу конструировать новые машины. Формула - это только формализованный результат, набор символов - по-сути ничего! А находить красивые решения - это конечно интересно, и даже эстетично, только почему, мне интересно эта задача Вас так зацепила, что Вы из нее чуть не кандидатскую делаете?! 1

@Eugeniy 3132 / 1325 / 156 Регистрация: 19.12.2009 Сообщений: 1,808
	17.07.2011, 04:12	11
	Сообщение от Bazaroff Существует ли у нее доказательство? Bazaroff, у любой формулы существует доказательство - на то она и математика. Дочь правду говорит, такое у нас сейчас мат.образование - априорное, бездоказательное! Bazaroff, Вы будете удивлены, но я тряхнул стариной и за две минуты сварганил доказательство! Вот что оно такое - мат.образование! Хотя конечно это даже не соизмеримо с тем, чем я занимаюсь в реальной жизни $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?R = \frac{abc}{4S}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2R = \frac{abc}{2S}$ С другой стороны известно, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2R = \frac{a}{sin(\alpha )}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha$ - угол между b и c Таким образом уравнение можно переписать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{bc}{2S}=\frac{1}{sin(\alpha )}$ Это тоже самое, что и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=\frac{1}{2}bc\sin(\alpha )$ А это есть известная формула. Таким образом идя с конца, мы получаем нужно нам доказательство. А ведь понимаете какая штука, эти доказательства совершенно не сложные, они следуют из вполне очевидных и логичных вещей, и они также многократно улучшают понимание учеников о происходящем на доске. Вопрос, почему в школах не объясняют такие очевидные и простые вещи!? Школьнику просто дают формулку и говорят, мол на тебе, ешь ее с кашей! И всех делов! Обидно! 2

	17.07.2011, 20:48

@Bazaroff 288 / 93 / 11 Регистрация: 29.05.2011 Сообщений: 2,399
	17.07.2011, 13:12 [ТС]	12
	Сообщение от Eugeniy Вопрос, почему в школах не объясняют такие очевидные и простые вещи!? Школьнику просто дают формулку и говорят, мол на тебе, ешь ее с кашей! И всех делов! Обидно! Да! Абсолютно с вами согласен! Вообще питаю слабость к толковым дисциплинам! 0

@easybudda Модератор 12458 / 7482 / 1753 Регистрация: 25.07.2009 Сообщений: 13,762
	17.07.2011, 14:11	13
	Вот такое ещё смелое решение появилось Поправьте, пожалуйста, если ошибаюсь... 1

@Bazaroff 288 / 93 / 11 Регистрация: 29.05.2011 Сообщений: 2,399
	17.07.2011, 20:12 [ТС]	14
	easybudda, извините, что-то теряю мысль после последней строчки (2R)^2. Как вы приходите к дроби? 0

@easybudda Модератор 12458 / 7482 / 1753 Регистрация: 25.07.2009 Сообщений: 13,762
	17.07.2011, 20:30	15
	Bazaroff, по формуле сокращённого умножения (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 то есть раскрыл (2R - 2\|CD\|)^2 -8R\|CD\| перенёс налево, а (2R)^2 - направо, где оно и сократилось... Получилось 8R\|CD\| = \|AB\|^2 + 4\|CD\|^2 1

@Bazaroff 288 / 93 / 11 Регистрация: 29.05.2011 Сообщений: 2,399
	17.07.2011, 20:48 [ТС]	16
	easybudda, да, увидел! Действительно, все верно! 0

Найти радиус окружности.

Решение