Найти координаты точек

@Volandd1984 · Регистрация: 27.06.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, решить следующую задачу:
есть 2 параллельные прямые уравнения которых известны. На одной из прямых лежит точка А с координатами (x;y). На другой прямой лежит точка В координаты которой не известны. Известно, что длина отрезка AB=l.
Вычислить координаты точки В.

Я знаю, что таких точек будет 2. (рис. 1)
Думал что задачу можно решить через систему уравнений (рис. 2), где
(1) - уравнение прямой, на которой лежит точка В
(2) - длина отрезка АВ
но что-то не получилось (даже в Mathcad).

Может кто подскажет альтернативный способ или поможет с этим?

@snake32 · 04.07.2013, 11:42

Можно найти B и B' как точки пересечений окружности с центром в точки А радиусом AB и прямой уравнение которой известно.
Как это делается я уже не помню. Подпишусь на тему.

@Volandd1984 · 04.07.2013, 13:10 **[ТС]**

Сообщение от snake32

Можно найти B и B' как точки пересечений окружности с центром в точки А радиусом AB и прямой уравнение которой известно.
Как это делается я уже не помню. Подпишусь на тему.

Уравнение будет иметь точно такой де вид как формула (2).

Правда у окружности есть еще одно уравнение:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2}+{y}^{2}+Ax+By+C=0$ , где
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=-2{x}_{0}$ ,
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B=-2{y}_{0}$ ,
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C=\frac{({A}^{2}+{B}^{2}-4{R}^{2})} {4}$
( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{0},{y}_{0}$ ) - координаты центра окружности (т. А)

Попробую. Спасибо за подсказку.

@jannne · 04.07.2013, 13:39

Вообще говоря, ход рассуждений вполне логичный.
А что не получилось с маткадом?
В любом случае, можно ручками решить Вашу систему относительно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{B}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{B}$ .
Для этого из первого уравнения выражаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{B}$ :
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{B}=-\frac{A{x}_{B}+C}{B}$
и подставляем во второе
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{ ({x}_{B}-{x}_{A}) }^{2}+\frac{{(B{y}_{A}+A{x}_{B}+C)}^{2}}{{B}^{2}}={l}^{2}$

Это квадратное уравнение относительно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{B}$ , можно привести подобные слагаемые и найти корни через дискриминант. При этом, отрицательный дискриминант будет значить, что при данных $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A,B,l$
окружность не пересекает вторую прямую, то есть расстояние между прямыми больше, чем длина отрезка АВ..

@splen · 04.07.2013, 13:57

Сообщение от Volandd1984

Думал что задачу можно решить через систему уравнений (рис. 2), где
(1) - уравнение прямой, на которой лежит точка В
(2) - длина отрезка АВ
но что-то не получилось (даже в Mathcad).

Это приемлемый подход. Не совсем понятно, какие проблемы возникли при решении системы. Возможно, некоторая громоздкость выкладок связана с тем, что второе уравнение - нелинейное. Тем не менее, даже несмотря на это можно выразить одну из переменных (Х_В или У_В) из первого уравнения и после подстановки во второе получить квадратное уравнение.

---

Кроме того, можно воспользоваться тождеством

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?[A(X_B-X_A)+B(Y_B-Y_A)]^2+[B(X_B-X_A)-A(Y_B-Y_A)]^2=(A^2+B^2)[(X_B-X_A)^2+(Y_B-Y_A)^2]$ .

Тогда c помощью первого уравнения, записанного в виде

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A(X_B-X_A)+B(Y_B-Y_A)=-(AX_A+BY_A+C),$

можно будет упростить левую часть тождества, а с помощью второго - его правую часть. После этого можно будет выразить величину $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B(X_B-X_A)-A(Y_B-Y_A)$ и, заменив второе уравнение полученным равенством, для каждого из двух значений квадратного корня получить невырожденную линейную систему вида

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}A(X_B-X_A)+B(Y_B-Y_A)=...\\B(X_B-X_A)-A(Y_B-Y_A)=...\end{cases}$

Решив две системы, можно будет получить координаты обеих точек.

Не по теме:

Геометрический смысл такого подхода соответствует переходу в систему координат, оси которой параллельны и перпендикулярны данной прямой.

@Volandd1984 · 04.07.2013, 14:20 **[ТС]**

А вот решения, если в качестве первого уравнения взять (2) из системы, выразить из него у, подставить в (1) и решить:

Получается 4 решения от чего-то...

@Volandd1984 · 04.07.2013, 14:31 **[ТС]**

Правильное первое решение:

Насколько я вижу - решения не совпадают

@jannne · 04.07.2013, 14:39

Вас смущает, что получилось два решения? Напрасно.
Ведь ясно, что прямая может пересекать окружность -- тогда у них две общие точки, может касаться окружности --одна общая точка и может с окружностью общих точек не иметь. В последнем случае, (формально) с помощью маткада найденные решения системы будут комплексными числами. Что Вы и наблюдаете.

@Volandd1984 · 04.07.2013, 14:53 **[ТС]**

Сообщение от jannne

Вас смущает, что получилось два решения? Напрасно.
Ведь ясно, что прямая может пересекать окружность -- тогда у них две общие точки, может касаться окружности --одна общая точка и может с окружностью общих точек не иметь. В последнем случае, (формально) с помощью маткада найденные решения системы будут комплексными числами. Что Вы и наблюдаете.

2 решения меня как раз не смущают.
Меня беспокоит:
1: если Y выражать изначально из (1) и подставлять в (2), то решений 2. Если же Y выражать из (2) и подставлять в (1), то корней уже 4.
2: корни при различных вариантах выражения Y не совпадают. Какому (и можно ли хоть какому нибудь!) из этих решений доверять?

Добавлено через 7 минут
Комплексных решений как раз в данном случае нет.
Вот корни, которые у меня получились:
из (1) в (2):
(676.3466, -111.6952) и (203.1764, 281.4703)

из (2) в (1)
(654.9301, 180.9865), (654.9301, -93.8999), (138.9791, 334.8130) и (138.9791, -247.7264)

Добавлено через 1 минуту

Сообщение от splen

Это приемлемый подход. Не совсем понятно, какие проблемы возникли при решении системы. Возможно, некоторая громоздкость выкладок связана с тем, что второе уравнение - нелинейное. Тем не менее, даже несмотря на это можно выразить одну из переменных (Х_В или У_В) из первого уравнения и после подстановки во второе получить квадратное уравнение.

---

Кроме того, можно воспользоваться тождеством

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?[A(X_B-X_A)+B(Y_B-Y_A)]^2+[B(X_B-X_A)-A(Y_B-Y_A)]^2=(A^2+B^2)[(X_B-X_A)^2+(Y_B-Y_A)^2]$ .

Тогда c помощью первого уравнения, записанного в виде

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A(X_B-X_A)+B(Y_B-Y_A)=-(AX_A+BY_A+C),$

можно будет упростить левую часть тождества, а с помощью второго - его правую часть. После этого можно будет выразить величину $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B(X_B-X_A)-A(Y_B-Y_A)$ и, заменив второе уравнение полученным равенством, для каждого из двух значений квадратного корня получить невырожденную линейную систему вида

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}A(X_B-X_A)+B(Y_B-Y_A)=...\\B(X_B-X_A)-A(Y_B-Y_A)=...\end{cases}$

Решив две системы, можно будет получить координаты обеих точек.

Не по теме:

Геометрический смысл такого подхода соответствует переходу в систему координат, оси которой параллельны и перпендикулярны данной прямой.

Подскажите, где можно более подробно почитать об этом методе?

@splen · 04.07.2013, 15:00

Сообщение от Volandd1984

Подскажите, где можно более подробно почитать об этом методе?

Собственно говоря, что тут называть методом? использование тождества?
Если что-то вызывает вопрос, можно здесь же его и задать.

@jannne · 04.07.2013, 15:05

Вижу ошибку в способе, когда вы у выражаете из первого уравнения и подставляете во второе:

@Volandd1984 · 04.07.2013, 15:41 **[ТС]**

Спасибо большое!

@jannne · 04.07.2013, 16:11

На самом деле, если идти по пути выражения у из второго уравнения и подставления в первое, то надо помнить, что
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{( {x}_{B}-{x}_{A} )}^{2}+{( {y}_{B}-{y}_{A} )}^{2}={l}^{2} \Rightarrow \left|{y}_{B}-{y}_{A} \right|=\sqrt{{l}^{2}-( {x}_{B}-{x}_{A} )}^{2}$ .
То есть
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{B}={y}_{A} +\sqrt{{l}^{2}-( {x}_{B}-{x}_{A} )}^{2}$
при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{B}\geq {y}_{A}$ и
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{B}={y}_{A}-\sqrt{{l}^{2}-( {x}_{B}-{x}_{A} )}^{2}$
при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{B}< {y}_{A}$ .
А есть считать формально, как это делает маткад,
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{B}={y}_{A}\pm \sqrt{{l}^{2}-( {x}_{B}-{x}_{A} )}^{2}$
то получаются лишние корни.

@Volandd1984 1 / 1 / 0 Регистрация: 27.06.2013 Сообщений: 12
	04.07.2013, 15:41 [ТС]	12
	Спасибо большое! 0

@Volandd1984 1 / 1 / 0 Регистрация: 27.06.2013 Сообщений: 12
		1
	Найти координаты точек 04.07.2013, 08:48. Показов 2734. Ответов 12 Метки нет (Все метки) Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить следующую задачу: есть 2 параллельные прямые уравнения которых известны. На одной из прямых лежит точка А с координатами (x;y). На другой прямой лежит точка В координаты которой не известны. Известно, что длина отрезка AB=l. Вычислить координаты точки В. Я знаю, что таких точек будет 2. (рис. 1) Думал что задачу можно решить через систему уравнений (рис. 2), где (1) - уравнение прямой, на которой лежит точка В (2) - длина отрезка АВ но что-то не получилось (даже в Mathcad). Может кто подскажет альтернативный способ или поможет с этим? 0

@snake32 3420 / 1607 / 236 Регистрация: 26.02.2009 Сообщений: 7,856 Записей в блоге: 5
	04.07.2013, 11:42	2
	Можно найти B и B' как точки пересечений окружности с центром в точки А радиусом AB и прямой уравнение которой известно. Как это делается я уже не помню. Подпишусь на тему. 0

@Volandd1984 1 / 1 / 0 Регистрация: 27.06.2013 Сообщений: 12
	04.07.2013, 13:10 [ТС]	3
	Сообщение от snake32 Можно найти B и B' как точки пересечений окружности с центром в точки А радиусом AB и прямой уравнение которой известно. Как это делается я уже не помню. Подпишусь на тему. Уравнение будет иметь точно такой де вид как формула (2). Правда у окружности есть еще одно уравнение: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2}+{y}^{2}+Ax+By+C=0$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=-2{x}_{0}$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B=-2{y}_{0}$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C=\frac{({A}^{2}+{B}^{2}-4{R}^{2})} {4}$ ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{0},{y}_{0}$ ) - координаты центра окружности (т. А) Попробую. Спасибо за подсказку. 0

@jannne 137 / 137 / 21 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 293
	04.07.2013, 13:39	4
	Вообще говоря, ход рассуждений вполне логичный. А что не получилось с маткадом? В любом случае, можно ручками решить Вашу систему относительно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{B}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{B}$ . Для этого из первого уравнения выражаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{B}$ : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{B}=-\frac{A{x}_{B}+C}{B}$ и подставляем во второе $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{ ({x}_{B}-{x}_{A}) }^{2}+\frac{{(B{y}_{A}+A{x}_{B}+C)}^{2}}{{B}^{2}}={l}^{2}$ Это квадратное уравнение относительно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{B}$ , можно привести подобные слагаемые и найти корни через дискриминант. При этом, отрицательный дискриминант будет значить, что при данных $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A,B,l$ окружность не пересекает вторую прямую, то есть расстояние между прямыми больше, чем длина отрезка АВ.. 0

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	04.07.2013, 13:57	5
	Сообщение от Volandd1984 Думал что задачу можно решить через систему уравнений (рис. 2), где (1) - уравнение прямой, на которой лежит точка В (2) - длина отрезка АВ но что-то не получилось (даже в Mathcad). Это приемлемый подход. Не совсем понятно, какие проблемы возникли при решении системы. Возможно, некоторая громоздкость выкладок связана с тем, что второе уравнение - нелинейное. Тем не менее, даже несмотря на это можно выразить одну из переменных (Х_В или У_В) из первого уравнения и после подстановки во второе получить квадратное уравнение. --- Кроме того, можно воспользоваться тождеством $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?[A(X_B-X_A)+B(Y_B-Y_A)]^2+[B(X_B-X_A)-A(Y_B-Y_A)]^2=(A^2+B^2)[(X_B-X_A)^2+(Y_B-Y_A)^2]$ . Тогда c помощью первого уравнения, записанного в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A(X_B-X_A)+B(Y_B-Y_A)=-(AX_A+BY_A+C),$ можно будет упростить левую часть тождества, а с помощью второго - его правую часть. После этого можно будет выразить величину $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B(X_B-X_A)-A(Y_B-Y_A)$ и, заменив второе уравнение полученным равенством, для каждого из двух значений квадратного корня получить невырожденную линейную систему вида $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}A(X_B-X_A)+B(Y_B-Y_A)=...\\B(X_B-X_A)-A(Y_B-Y_A)=...\end{cases}$ Решив две системы, можно будет получить координаты обеих точек. Не по теме: Геометрический смысл такого подхода соответствует переходу в систему координат, оси которой параллельны и перпендикулярны данной прямой. 2

@Volandd1984 1 / 1 / 0 Регистрация: 27.06.2013 Сообщений: 12
	04.07.2013, 14:20 [ТС]	6
	А вот решения, если в качестве первого уравнения взять (2) из системы, выразить из него у, подставить в (1) и решить: Получается 4 решения от чего-то... Миниатюры 0

@Volandd1984 1 / 1 / 0 Регистрация: 27.06.2013 Сообщений: 12
	04.07.2013, 14:31 [ТС]	7
	Правильное первое решение: Насколько я вижу - решения не совпадают 0

@jannne 137 / 137 / 21 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 293
	04.07.2013, 14:39	8
	Вас смущает, что получилось два решения? Напрасно. Ведь ясно, что прямая может пересекать окружность -- тогда у них две общие точки, может касаться окружности --одна общая точка и может с окружностью общих точек не иметь. В последнем случае, (формально) с помощью маткада найденные решения системы будут комплексными числами. Что Вы и наблюдаете. 0

@Volandd1984 1 / 1 / 0 Регистрация: 27.06.2013 Сообщений: 12
	04.07.2013, 14:53 [ТС]	9
	Сообщение от jannne Вас смущает, что получилось два решения? Напрасно. Ведь ясно, что прямая может пересекать окружность -- тогда у них две общие точки, может касаться окружности --одна общая точка и может с окружностью общих точек не иметь. В последнем случае, (формально) с помощью маткада найденные решения системы будут комплексными числами. Что Вы и наблюдаете. 2 решения меня как раз не смущают. Меня беспокоит: 1: если Y выражать изначально из (1) и подставлять в (2), то решений 2. Если же Y выражать из (2) и подставлять в (1), то корней уже 4. 2: корни при различных вариантах выражения Y не совпадают. Какому (и можно ли хоть какому нибудь!) из этих решений доверять? Добавлено через 7 минут Комплексных решений как раз в данном случае нет. Вот корни, которые у меня получились: из (1) в (2): (676.3466, -111.6952) и (203.1764, 281.4703) из (2) в (1) (654.9301, 180.9865), (654.9301, -93.8999), (138.9791, 334.8130) и (138.9791, -247.7264) Добавлено через 1 минуту Сообщение от splen Это приемлемый подход. Не совсем понятно, какие проблемы возникли при решении системы. Возможно, некоторая громоздкость выкладок связана с тем, что второе уравнение - нелинейное. Тем не менее, даже несмотря на это можно выразить одну из переменных (Х_В или У_В) из первого уравнения и после подстановки во второе получить квадратное уравнение. --- Кроме того, можно воспользоваться тождеством $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?[A(X_B-X_A)+B(Y_B-Y_A)]^2+[B(X_B-X_A)-A(Y_B-Y_A)]^2=(A^2+B^2)[(X_B-X_A)^2+(Y_B-Y_A)^2]$ . Тогда c помощью первого уравнения, записанного в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A(X_B-X_A)+B(Y_B-Y_A)=-(AX_A+BY_A+C),$ можно будет упростить левую часть тождества, а с помощью второго - его правую часть. После этого можно будет выразить величину $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B(X_B-X_A)-A(Y_B-Y_A)$ и, заменив второе уравнение полученным равенством, для каждого из двух значений квадратного корня получить невырожденную линейную систему вида $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}A(X_B-X_A)+B(Y_B-Y_A)=...\\B(X_B-X_A)-A(Y_B-Y_A)=...\end{cases}$ Решив две системы, можно будет получить координаты обеих точек. Не по теме: Геометрический смысл такого подхода соответствует переходу в систему координат, оси которой параллельны и перпендикулярны данной прямой. Подскажите, где можно более подробно почитать об этом методе? 0

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	04.07.2013, 15:00	10
	Сообщение от Volandd1984 Подскажите, где можно более подробно почитать об этом методе? Собственно говоря, что тут называть методом? использование тождества? Если что-то вызывает вопрос, можно здесь же его и задать. 0

	04.07.2013, 16:11

@jannne 137 / 137 / 21 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 293
	04.07.2013, 15:05	11
	Вижу ошибку в способе, когда вы у выражаете из первого уравнения и подставляете во второе: Миниатюры 1