Доказать, что сумма векторов, соединяющих центр правильного треугольника с его вершинами, равна нулю

@Анечкаученица · Регистрация: 12.04.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Доказать, что сумма векторов, соединяющих центр правильного треугольника с его вершинами, равна нулю.
Помогите, пожалуйста.

@Igor · 17.09.2013, 20:29

Анечкаученица, кстати, это верно и для общего случая - правильного многоугольника.

@Анечкаученица · 17.09.2013, 20:39 **[ТС]**

Сообщение от Igor

Анечкаученица, кстати, это верно и для общего случая - правильного многоугольника.

Согласна, верно, а вот как доказать...

@Cute · 17.09.2013, 21:00

Рисунок к задаче:

240Volt · 17.09.2013, 21:04

Очевидно, что
(1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = 0$
Точка пересечения медиан (центр) делит медианы в отношении 1:2, поэтому
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow {AO} = \frac{2}{3}\overrightarrow {Aa} = \frac{2}{3}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {Ba} ) = \frac{2}{3}(\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} )$
Аналогично,
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow {BO} = \frac{2}{3}(\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} )$
и
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow {CO} = \frac{2}{3}(\overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} )$
Складывая эти равенства, в силу (1) получим
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {CO} = 0$
Эх, опоздал. И у Cute - лучше!

@Анечкаученица · 17.09.2013, 21:07 **[ТС]**

СПАСИБО вам большое!

@OxomHuK · 19.09.2013, 23:35

Через поворот.

Предположим, что результирующий вектор не равен нулю, тогда он будет иметь длину и направление.
Повернем каждый из трех векторов на 120 градусов, получим 3 "новые" вектора. Но по факту они перейдут в те же самые 3 вектора что и были.
Так вот, после этого поворота результирующий вектор от 3-х "новых" векторов тоже должен был повернуться, но он не изменился! Это может быть только в случае, если он равен 0.

Не совсем идеальное обьяснение, математику забросил 7 лет назад. Тут важна суть поворот/симметрия

@sco43 · 20.09.2013, 16:09

Можно еще доказать, что переносе этих векторов получается равносторонний треугольник.
Причем сразу будет видно, что сумма этих векторов равна нолю.

@cmath · 21.09.2013, 01:47

sco43, достаточно того, что получится просто треугольник. Какой именно значения не имеет.

@sco43 · 21.09.2013, 11:28

Сообщение от cmath

sco43, достаточно того, что получится просто треугольник. Какой именно значения не имеет.

Важно учесть направления векторов.
Без направления, сумма векторов не обязательно будет равна нолю.

@sco43 670 / 163 / 22 Регистрация: 27.01.2012 Сообщений: 372
	21.09.2013, 11:28	10
	Сообщение от cmath sco43, достаточно того, что получится просто треугольник. Какой именно значения не имеет. Важно учесть направления векторов. Без направления, сумма векторов не обязательно будет равна нолю. 2

Доказать, что сумма векторов, соединяющих центр правильного треугольника с его вершинами, равна нулю

Решение

Решение

Решение

@Анечкаученица 36 / 7 / 2 Регистрация: 12.04.2013 Сообщений: 56
		1
	Доказать, что сумма векторов, соединяющих центр правильного треугольника с его вершинами, равна нулю 17.09.2013, 18:13. Показов 34290. Ответов 9 Метки нет (Все метки) Доказать, что сумма векторов, соединяющих центр правильного треугольника с его вершинами, равна нулю. Помогите, пожалуйста. Миниатюры 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	17.09.2013, 20:29	2
	Анечкаученица, кстати, это верно и для общего случая - правильного многоугольника. 2

@Анечкаученица 36 / 7 / 2 Регистрация: 12.04.2013 Сообщений: 56
	17.09.2013, 20:39 [ТС]	3
	Сообщение от Igor Анечкаученица, кстати, это верно и для общего случая - правильного многоугольника. Согласна, верно, а вот как доказать... 0

@Cute 1076 / 657 / 68 Регистрация: 10.02.2011 Сообщений: 518
	17.09.2013, 21:00	4
	Сообщение было отмечено как решение Решение Рисунок к задаче: Миниатюры 7

240Volt 4444 / 2448 / 227 Регистрация: 20.08.2011 Сообщений: 3,108
	17.09.2013, 21:04	5
	Сообщение было отмечено как решение Решение Очевидно, что (1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = 0$ Точка пересечения медиан (центр) делит медианы в отношении 1:2, поэтому $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow {AO} = \frac{2}{3}\overrightarrow {Aa} = \frac{2}{3}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {Ba} ) = \frac{2}{3}(\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} )$ Аналогично, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow {BO} = \frac{2}{3}(\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} )$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow {CO} = \frac{2}{3}(\overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} )$ Складывая эти равенства, в силу (1) получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {CO} = 0$ Эх, опоздал. И у Cute - лучше! Миниатюры 4

@Анечкаученица 36 / 7 / 2 Регистрация: 12.04.2013 Сообщений: 56
	17.09.2013, 21:07 [ТС]	6
	СПАСИБО вам большое! 2

@OxomHuK 31 / 31 / 6 Регистрация: 11.07.2013 Сообщений: 241
	19.09.2013, 23:35	7
	Сообщение было отмечено как решение Решение Через поворот. Предположим, что результирующий вектор не равен нулю, тогда он будет иметь длину и направление. Повернем каждый из трех векторов на 120 градусов, получим 3 "новые" вектора. Но по факту они перейдут в те же самые 3 вектора что и были. Так вот, после этого поворота результирующий вектор от 3-х "новых" векторов тоже должен был повернуться, но он не изменился! Это может быть только в случае, если он равен 0. Не совсем идеальное обьяснение, математику забросил 7 лет назад. Тут важна суть поворот/симметрия 6

@sco43 670 / 163 / 22 Регистрация: 27.01.2012 Сообщений: 372
	20.09.2013, 16:09	8
	Можно еще доказать, что переносе этих векторов получается равносторонний треугольник. Причем сразу будет видно, что сумма этих векторов равна нолю. 2

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	21.09.2013, 01:47	9
	sco43, достаточно того, что получится просто треугольник. Какой именно значения не имеет. 2