Вычислить двойной интеграл вводя полярные координаты

@RIDL27 · Регистрация: 21.06.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

его нужно разбить на 2 интеграла. подскажите пожалуйста пределы по r.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \int ({x}^{2}+{y}^{2})^{3/2}dxdy ;<br /> <br /> {x}^{2}+{y}^{2}\leq x ;<br /> {x}^{2}+{y}^{2}\leq y ;$

@tarasso · 19.04.2014, 17:14

Записать пределы интегрирования по r.... А не рановато? Нарисуйте кривые, запишите их в полярной системе координат, а дальше уже можно составлять пределы интегрирования в полярной системе координат, не забыв умножить на якобиан, который также нужно найти или самому или в учебнике...

@RIDL27 · 19.04.2014, 17:33 **[ТС]**

якобиан будет r, ето и так ясно.
данный интеграл разбиваем на два относительно биссектрисы первой чверти, то есть прямой x=y.
нарисовать не проблема. не могу с пределами разобраться.

@tarasso · 19.04.2014, 19:11

Держите...
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}d\varphi \: \int_{0}^{\sin \varphi }{r}^{3}\cdot rdr+\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}d\varphi \: \int_{\cos \varphi }^{0}{r}^{3}\cdot rdr$

@RIDL27 · 19.04.2014, 23:30 **[ТС]**

спасибо. но все же, почему именно такие пределы по r ? я чет не пойму, но вроде и не тупой -_-

@Том Ардер · 20.04.2014, 01:31

tarasso, во втором слагаемом поправка:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}d\varphi \: \int_{0}^{\sin \varphi }{r}^{3}\cdot rdr+\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}d\varphi \: \int_{0}^{\cos \varphi }{r}^{3}\cdot rdr$

Результат
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{300} \left(64-43 \sqrt{2}\right)=0.0106294$

@RIDL27 · 20.04.2014, 02:21 **[ТС]**

так почему именно такие пределы по r ???

@Том Ардер · 20.04.2014, 02:50

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2+y^2\leq x\Rightarrow r^2\leq r\cos \varphi$

@RIDL27 · 20.04.2014, 03:03 **[ТС]**

ето я понял.
r<=cosфі;
r<=sinфі;
но почему от ноля ???

@tarasso · 20.04.2014, 11:50

В последний момент поменял границы по r... Но это, на самом деле, ошибка, правильно написал Том Ардер. Пределы по r в полярных координатах мы должны брать от мин до макс значения независимо от угла.
Кстати, это распространяется применительно к цилиндрическим и сферическим координатам. За другие координаты(например, эллиптические) пока не рассматривал и утвердительно ничего сказать не могу.

@Alex5 · 20.04.2014, 14:32

Сообщение от RIDL27

но почему от ноля ???

r - это расстояние до начала координат, и оно не может быть отрицательным.
r < 5 эквивалентно "r изменяется от 0 до 5".
(В отличие от декартовых координат. Где x < 7 означает "от минус бесконечности до 7".)

@RIDL27 1 / 1 / 0 Регистрация: 21.06.2012 Сообщений: 24
		1
	Вычислить двойной интеграл вводя полярные координаты 19.04.2014, 14:25. Показов 825. Ответов 10 Метки нет (Все метки) его нужно разбить на 2 интеграла. подскажите пожалуйста пределы по r. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \int ({x}^{2}+{y}^{2})^{3/2}dxdy ;<br /> <br /> {x}^{2}+{y}^{2}\leq x ;<br /> {x}^{2}+{y}^{2}\leq y ;$ 0

@tarasso 749 / 460 / 50 Регистрация: 13.05.2012 Сообщений: 958
	19.04.2014, 17:14	2
	Записать пределы интегрирования по r.... А не рановато? Нарисуйте кривые, запишите их в полярной системе координат, а дальше уже можно составлять пределы интегрирования в полярной системе координат, не забыв умножить на якобиан, который также нужно найти или самому или в учебнике... 0

@RIDL27 1 / 1 / 0 Регистрация: 21.06.2012 Сообщений: 24
	19.04.2014, 17:33 [ТС]	3
	якобиан будет r, ето и так ясно. данный интеграл разбиваем на два относительно биссектрисы первой чверти, то есть прямой x=y. нарисовать не проблема. не могу с пределами разобраться. 0

@tarasso 749 / 460 / 50 Регистрация: 13.05.2012 Сообщений: 958
	19.04.2014, 19:11	4
	Держите... $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}d\varphi \: \int_{0}^{\sin \varphi }{r}^{3}\cdot rdr+\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}d\varphi \: \int_{\cos \varphi }^{0}{r}^{3}\cdot rdr$ 0

@RIDL27 1 / 1 / 0 Регистрация: 21.06.2012 Сообщений: 24
	19.04.2014, 23:30 [ТС]	5
	спасибо. но все же, почему именно такие пределы по r ? я чет не пойму, но вроде и не тупой -_- 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4217 / 3412 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	20.04.2014, 01:31	6
	tarasso, во втором слагаемом поправка: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}d\varphi \: \int_{0}^{\sin \varphi }{r}^{3}\cdot rdr+\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}d\varphi \: \int_{0}^{\cos \varphi }{r}^{3}\cdot rdr$ Результат $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{300} \left(64-43 \sqrt{2}\right)=0.0106294$ Изображения 0

@RIDL27 1 / 1 / 0 Регистрация: 21.06.2012 Сообщений: 24
	20.04.2014, 02:21 [ТС]	7
	так почему именно такие пределы по r ??? 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4217 / 3412 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	20.04.2014, 02:50	8
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2+y^2\leq x\Rightarrow r^2\leq r\cos \varphi$ 0

@RIDL27 1 / 1 / 0 Регистрация: 21.06.2012 Сообщений: 24
	20.04.2014, 03:03 [ТС]	9
	ето я понял. r<=cosфі; r<=sinфі; но почему от ноля ??? 0

@tarasso 749 / 460 / 50 Регистрация: 13.05.2012 Сообщений: 958
	20.04.2014, 11:50	10
	В последний момент поменял границы по r... Но это, на самом деле, ошибка, правильно написал Том Ардер. Пределы по r в полярных координатах мы должны брать от мин до макс значения независимо от угла. Кстати, это распространяется применительно к цилиндрическим и сферическим координатам. За другие координаты(например, эллиптические) пока не рассматривал и утвердительно ничего сказать не могу. 0

	20.04.2014, 14:32

@Alex5 1130 / 789 / 232 Регистрация: 12.04.2010 Сообщений: 2,012
	20.04.2014, 14:32	11
	Сообщение от RIDL27 но почему от ноля ??? r - это расстояние до начала координат, и оно не может быть отрицательным. r < 5 эквивалентно "r изменяется от 0 до 5". (В отличие от декартовых координат. Где x < 7 означает "от минус бесконечности до 7".) 0