Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
Математический анализ
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Eru Iluvatar
Заблокирован
#1

Площадь фигуры r = sin 6t - Математический анализ

10.05.2014, 10:32. Просмотров 565. Ответов 4
Метки нет (Все метки)

Нужно вычислить площадь фигуры, заданной полярным уравнением r = sin6fi. Т.к. коэффициент перед фи четный, то эта полярная роза имеет 12 лепестков. Далее находим интеграл от r в квадрате, но я сомневаюсь, какие пределы интегрирования взять. Очевидно, что параметр меняется от 0 до 2pi, и можно просто интегрировать от нуля до 2пи. Но преподаватель на каждой паре объясняла решение таких задач через нахождение площади половины одного лепестка и умножением его на 2*количество лепестков. Вопрос: можно обойтись без этой фигни и просто проинтегрировать от 0 до 2пи? Вроде, функция непрерывная, значит интегрировать можно целиком по всей фигуре.
http://www.cyberforum.ru/mathematical-analysis/thread1448148.html
0
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
10.05.2014, 10:32
Я подобрал для вас темы с готовыми решениями и ответами на вопрос Площадь фигуры r = sin 6t (Математический анализ):

Площадь фигуры
Вычисллить площадь фигуры , ограниченной указанными линиями r^2=2sin2f

Площадь фигуры
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, вычислить площадь данной фигуры: У...

Площадь фигуры
Добрый день! Как бы не пыталась, не смогла решить эту задачу. Есть фигура,...

Площадь фигуры
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = {x}^{2}, y = 4, y = {x}^{2}...

Площадь фигуры
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, вычислить площадь фигуры, ограниченной...

4
cmath
Модератор
2489 / 1713 / 145
Регистрация: 11.08.2012
Сообщений: 3,293
Завершенные тесты: 6
10.05.2014, 15:19 #2
Нельзя. Нужно учесть, что синус может иметь отрицательные значения, в то время как радиус не может быть отрицательным. Поэтому надо решить неравенство, чтобы получить интервалы интегрирования:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
\sin 6\varphi \geq 0,\;\varphi \in[0;2\pi ]
***
Способ, который предложил ваш препод, значительно проще, чем брать эту площадь "в лоб", так, как хотите вы. Дело в том, что достаточно знать, где r достигнет максимального значения (при каком наименьшем угле). И интегрировать от нуля до найденного угла. Очевидно, этот угол равен пи/12. Т.е.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
S=24*\int_{0}^{\frac{\pi}{12}}\sin^2 6\varphi d\varphi
2
Том Ардер
Модератор
Эксперт по математике/физике
3819 / 2431 / 327
Регистрация: 15.06.2009
Сообщений: 4,441
10.05.2014, 15:56 #3
Цитата Сообщение от cmath Посмотреть сообщение
Нужно учесть, что синус может иметь отрицательные значения, в то время как радиус не может быть отрицательным.
Совершенно правильно! Исходное уравнение кривой называется "полярным" не вполне корректно. Роза с 12-ю лепестками строится фактически в параметрическом представлении:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}x(\varphi )=\sin 6\varphi \cos \varphi \\ y(\varphi )=\sin 6\varphi \sin \varphi \end{matrix}\right.
в котором "радиус" http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin 6\varphi может быть и отрицательным.
0
Eru Iluvatar
Заблокирован
10.05.2014, 21:26  [ТС] #4
А разве в неравенстве sin 6t > 0 первый корень после нуля будет http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi }{12}, а не http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi }{6}?
И я правильно понимаю, что чтобы найти пределы интегрирования для половины лепестка, надо найти сначала угол, при котором лепесток начинается (r = 0) а потом угол, когда он кончается (кривая снова уходит в точку О)?
Или мы угол http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi }{12} взяли потому, что нужно разделить http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi }{6} на 2, чтобы найти середину лепестка?
0
cmath
Модератор
2489 / 1713 / 145
Регистрация: 11.08.2012
Сообщений: 3,293
Завершенные тесты: 6
11.05.2014, 04:11 #5
Я пользовался соображениями симметрии. Каждый лепесток симметричен относительно угла, при котором радиус достигает максимального значения (т.е. 1) Поэтому я решал уравнение sin 6x = 1.
0
11.05.2014, 04:11
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
11.05.2014, 04:11
Привет! Вот еще темы с решениями:

Площадь фигуры
Добрый вечер! Подскажите, пожалуйста, каким способом решать задание. Вычислить...

Площадь фигуры
Здравствйте. Нужно найти площадь фигуры ограниченной параметрически линиями ...

Площадь фигуры
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 4y=8x-{x}^{2}; 4y=x+6

площадь фигуры
найти площадь фигуры, ограниченной линией p=2(l+cos(q)). подскажите пожалуйста


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
5
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru