Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
Математический анализ
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Рейтинг 4.67/3: Рейтинг темы: голосов - 3, средняя оценка - 4.67
Eru Iluvatar
Заблокирован
1

Площадь фигуры r = sin 6t

10.05.2014, 10:32. Просмотров 587. Ответов 4
Метки нет (Все метки)

Нужно вычислить площадь фигуры, заданной полярным уравнением r = sin6fi. Т.к. коэффициент перед фи четный, то эта полярная роза имеет 12 лепестков. Далее находим интеграл от r в квадрате, но я сомневаюсь, какие пределы интегрирования взять. Очевидно, что параметр меняется от 0 до 2pi, и можно просто интегрировать от нуля до 2пи. Но преподаватель на каждой паре объясняла решение таких задач через нахождение площади половины одного лепестка и умножением его на 2*количество лепестков. Вопрос: можно обойтись без этой фигни и просто проинтегрировать от 0 до 2пи? Вроде, функция непрерывная, значит интегрировать можно целиком по всей фигуре.
0
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
10.05.2014, 10:32
Ответы с готовыми решениями:

Вычислить площадь циклоиды (площадь фигуры ограниченной линией заданной уравнением)
Площадь фигуры я правильно нашла? Меня очень смущает ответ, он большой...

Площадь фигуры
Вычисллить площадь фигуры , ограниченной указанными линиями r^2=2sin2f

Площадь фигуры
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, вычислить площадь данной фигуры: У...

Площадь фигуры
Добрый день! Как бы не пыталась, не смогла решить эту задачу. Есть фигура,...

Площадь фигуры
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = {x}^{2}, y = 4, y = {x}^{2}...

4
cmath
Модератор
2510 / 1728 / 151
Регистрация: 11.08.2012
Сообщений: 3,320
Завершенные тесты: 6
10.05.2014, 15:19 2
Нельзя. Нужно учесть, что синус может иметь отрицательные значения, в то время как радиус не может быть отрицательным. Поэтому надо решить неравенство, чтобы получить интервалы интегрирования:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
\sin 6\varphi \geq 0,\;\varphi \in[0;2\pi ]
***
Способ, который предложил ваш препод, значительно проще, чем брать эту площадь "в лоб", так, как хотите вы. Дело в том, что достаточно знать, где r достигнет максимального значения (при каком наименьшем угле). И интегрировать от нуля до найденного угла. Очевидно, этот угол равен пи/12. Т.е.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
S=24*\int_{0}^{\frac{\pi}{12}}\sin^2 6\varphi d\varphi
2
Том Ардер
Модератор
Эксперт по математике/физике
3827 / 2439 / 327
Регистрация: 15.06.2009
Сообщений: 4,456
10.05.2014, 15:56 3
Цитата Сообщение от cmath Посмотреть сообщение
Нужно учесть, что синус может иметь отрицательные значения, в то время как радиус не может быть отрицательным.
Совершенно правильно! Исходное уравнение кривой называется "полярным" не вполне корректно. Роза с 12-ю лепестками строится фактически в параметрическом представлении:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}x(\varphi )=\sin 6\varphi \cos \varphi \\ y(\varphi )=\sin 6\varphi \sin \varphi \end{matrix}\right.
в котором "радиус" http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin 6\varphi может быть и отрицательным.
0
Eru Iluvatar
Заблокирован
10.05.2014, 21:26  [ТС] 4
А разве в неравенстве sin 6t > 0 первый корень после нуля будет http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi }{12}, а не http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi }{6}?
И я правильно понимаю, что чтобы найти пределы интегрирования для половины лепестка, надо найти сначала угол, при котором лепесток начинается (r = 0) а потом угол, когда он кончается (кривая снова уходит в точку О)?
Или мы угол http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi }{12} взяли потому, что нужно разделить http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi }{6} на 2, чтобы найти середину лепестка?
0
cmath
Модератор
2510 / 1728 / 151
Регистрация: 11.08.2012
Сообщений: 3,320
Завершенные тесты: 6
11.05.2014, 04:11 5
Я пользовался соображениями симметрии. Каждый лепесток симметричен относительно угла, при котором радиус достигает максимального значения (т.е. 1) Поэтому я решал уравнение sin 6x = 1.
0
11.05.2014, 04:11
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
11.05.2014, 04:11

Площадь фигуры
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, вычислить площадь фигуры, ограниченной...

Площадь фигуры
Добрый вечер! Подскажите, пожалуйста, каким способом решать задание. Вычислить...

Площадь фигуры
Здравствйте. Нужно найти площадь фигуры ограниченной параметрически линиями ...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
5
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru