Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
Математический анализ
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Рейтинг 4.67/6: Рейтинг темы: голосов - 6, средняя оценка - 4.67
b10s
1 / 1 / 0
Регистрация: 04.03.2013
Сообщений: 28
1

Раскрытие неопределенности inf/inf

11.05.2014, 01:19. Просмотров 1091. Ответов 19
Метки нет (Все метки)

Здравтсвуйте, уважаемые!

Имею необходимость отыскать следующий предел:

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{{1}^{4}+{3}^{4}+ ... {(2n-1)}^{4} }{{n}^{5}}

1) Представлю сумму членов геометрической прогрессии из числителя в виде: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{1}^{4}+{(2n-1)}^{4}}{2}  \times  n


2) Использую правило Лопиталя и продифференцирую числитель и знаментаель: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{384n}{60{n}^{2}}

что в итоге даёт повод применить правило - если степень знаменателя выше степени числителя при http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \rightarrow \infty , то предел равен 0.

Но как-то я не уверен в правильности этого решения. Подставив в исходное выражение сналача 2, а потом 3, я понимаю что предел растет а не уменьшается(вообще, наверное, так делать нельзя) или таки можно ? ).

Где неправ?
0
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
11.05.2014, 01:19
Ответы с готовыми решениями:

Доказать равенство inf{x+y}=inf{x}+inf{y}
Здравствуйте, подскажите пожалуйста, как решать такое: 2){x+y} есть...

Раскрытие неопределенности
Добрый вечер. Подскажите пожалуйста, вот у меня есть пример Limx->0 X*ln^3X....

раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя
\lim_{x\rightarrow \inf }\frac{2x^2-3x-4}{\sqrt{x^4+1}} Проблема возникла с...

Найти inf и sup
Здравствуйте, дана последовательность: x_n=\frac{n+2}{n-2}\sin(\frac{\pi...

{-x} - множества чисел, противоположные x принадлежащим {x}. Доказать, что inf{-x} = -sup{x}
Я плохо понимаю математический анализ, поэтому хотелось бы узнать по какому...

19
Ellipsoid
1867 / 1451 / 169
Регистрация: 16.06.2012
Сообщений: 3,307
11.05.2014, 05:45 2
Выражение в числителе есть сумма четвёртых степеней, а не сумма геометрической прогрессии. Гляньте "Математический анализ в вопросах и задачах" Бутузова и др. (двадцатые страницы).
0
residentkms
21 / 21 / 8
Регистрация: 20.10.2013
Сообщений: 138
Завершенные тесты: 1
11.05.2014, 06:08 3
Вы можете подставлять числа, только вам это ничего не даст. Вы ведь не знаете точно как ведёт себя функция на всём отрезке х. А так, действительно, получившееся выражение имеет предел равный нулю, поскольку квадратичная функция знаменателя имеет бОльший порядок роста, чем линейная знаменателя.
Но, как определено n? Если n не R, то вы не можете использовать правило Лоппиталя.
0
Ellipsoid
1867 / 1451 / 169
Регистрация: 16.06.2012
Сообщений: 3,307
11.05.2014, 12:44 4
Сумма в числителе представима в виде многочлена пятой степени.
0
b10s
1 / 1 / 0
Регистрация: 04.03.2013
Сообщений: 28
11.05.2014, 12:56  [ТС] 5
Ellipsoid, не могли бы вы представить её?
0
palva
3120 / 2249 / 453
Регистрация: 08.06.2007
Сообщений: 8,171
Записей в блоге: 4
11.05.2014, 13:57 6
Вам же дали книгу Бутузова. Задача 6 на с. 27 с решением. Ваша задача решается также.
Вы не хотите решать сами и просите ответа?
1
Alex5
1123 / 784 / 232
Регистрация: 12.04.2010
Сообщений: 2,012
11.05.2014, 14:29 7
Обозначим S(k) сумму 4-х степеней от 1 до k.

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? S(2n) \; = \;1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4 + ... (2n)^4 \; = \; \\ <br />
\; = \; \left( 2^4 + 4^4 + 6^4 + ... (2n)^4 \right) \;+\;  \left( 1^4 + 3^4 + 5^4 + ... (2n-1)^4 \right) \; = \; \\ <br />
\; = \; 2^4\cdot S(n)  \;+\;  \left( 1^4 + 3^4 + 5^4 + ... (2n-1)^4 \right)  \\ <br />

Используя формулу для S(k), можно получить формулу для суммы "нечётных" слагаемых.
0
Igor
4629 / 3384 / 357
Регистрация: 11.11.2010
Сообщений: 6,192
Записей в блоге: 2
11.05.2014, 15:58 8
Вот, аналогичное: Найти предел с бесконечным рядом в числителе.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{{1}^{4}+{3}^{4}+...+{(2n-1)}^{4}}{{n}^{5}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{n}\cdot {(\frac{2k-1}{n})}^{4}\sim \frac{1}{2}\int_{0}^{2}{x}^{4}dx.
0
b10s
1 / 1 / 0
Регистрация: 04.03.2013
Сообщений: 28
12.05.2014, 22:41  [ТС] 9
Alex5, там у вас не совсем всё правильно расписано, да и я не вижу смысл разложения ряда на два, если в итоге мы получаем многочлен той же степени что и прежде... что мне потом с ним делать?

Igor, тут я ничего не могу понять Если бы Вы раписали... хотя бы комментариями откуда и что. По ссылке ходил, всё равно не понятно.

palva, Ellipsoid, да, задачник скачал - вижу. Спасибо большое! Но не могу понять один шаг, цитирую:

Обозначим http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Sn = {1}^{4}+{2}^{4}+{3}^{4}+ ... + {n}^{4} . Будем искать http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Sn в виде http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A{n}^{5}+B{n}^{4}+C{n}^{3}+D{n}^{2}+En+F

Как это он так лихо перешел к пятой степени? Не могли бы Вы рассказать мне, чтобы на пальцах.

Всем спасибо за участие.
0
palva
3120 / 2249 / 453
Регистрация: 08.06.2007
Сообщений: 8,171
Записей в блоге: 4
12.05.2014, 23:48 10
Цитата Сообщение от b10s Посмотреть сообщение
Как это он так лихо перешел к пятой степени?
Если http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_{n+1}-S_n= многочлен k-й степени от n, то http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n многочлен k+1 степени. Не знаю, как это доказать, наверно как-нибудь через теорию разностных уравнений. Но в любом случае, применяя это правило для конкретного уравнения мы получаем строгое доказательство, что полученный многочлен является решением. Можно полученную формулу еще раз доказать методом математической индукции.

Добавлено через 2 минуты
Цитата Сообщение от b10s Посмотреть сообщение
Igor, тут я ничего не могу понять
А что тут понимать? Первое равенство - это мы просто по другому записали сумму. Второе равенство (там именно равенство, а не эквивалентность) следует из определения интеграла как предела интегральных сумм.
0
b10s
1 / 1 / 0
Регистрация: 04.03.2013
Сообщений: 28
13.05.2014, 00:15  [ТС] 11
palva, спасибо, но это всё очень непонятно и сложно для меня - не могу выудить алгоритм, которым бы я смог привести свой числитель из топика к виду многочлена 5-ой степени. Сможете привести этот алгоритм?
0
palva
3120 / 2249 / 453
Регистрация: 08.06.2007
Сообщений: 8,171
Записей в блоге: 4
13.05.2014, 01:02 12
Цитата Сообщение от b10s Посмотреть сообщение
Сможете привести этот алгоритм?
Нет, привести алгоритм я не смогу, это очень трудоемко, да и не под силу мне, наверное. А на каком языке писать? А какой класс задач? А как представлены входные данные? И все эти вопросы вы предлагаете мне решить, только для того, чтобы прогнать этот алгоритм для вашей конкретной задачи.
Да и зачем вам алгоритм? Вы же не машина Тьюринга, вы понимаете, что делаете. Человеку легче действовать не по алгоритму, а рассуждениями. Тем более у вас есть решение аналогичной задачи. Ваша задача решается точно так же. Если вам это трудно и непонятно, то напишите, в каком месте у вас затруднения. Alex5 и Igor предложили другие методы, которыми тоже можно решить вашу задачу.
0
b10s
1 / 1 / 0
Регистрация: 04.03.2013
Сообщений: 28
13.05.2014, 01:15  [ТС] 13
palva, под алгоритмом я имел ввиду последовательность шагов, приводящих меня к решению т.е. самое классическое понятие алгоритма. Рассуждения помогают выстроить алгоритм. Вещи разных порядков.

Да, мне трудно. Затруднения у меня в этом месте:

переход от к

Как, почему и чем станет мой числитель, руководствуясь подобными рассуждениями автора?
0
palva
3120 / 2249 / 453
Регистрация: 08.06.2007
Сообщений: 8,171
Записей в блоге: 4
13.05.2014, 01:35 14
Тогда я не понимаю чем решение Бутузова отличается от алгоритма.
Цитата Сообщение от b10s Посмотреть сообщение
Как, почему и чем станет мой числитель, руководствуясь подобными рассуждениями автора?
У автора здесь нет рассуждений. Ищем формулу в виде многочлена 5-й степени. Просто берем и ищем. В результате, как оказывается далее, найденный многочлен является решением. То есть нам удается найти такой многочлен http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(n), который для http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=1 дает http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_1, а для http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(n+1)-f(n) дает http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(n+1)^4. То есть он является решением. Здесь у вас, как у поборника алгоритмов вопросов вообще не должно возникать.

Добавлено через 3 минуты
Если бы вы стали искать решение в виде многочлена четвертой степени, вы не смогли бы составить систему уравнений, поскольку справа у вас будет присутствовать 4-я степень n. Если бы вы взяли 6-ю степень, то получили бы, что коэффициент при 6-й степени равен нулю.
0
b10s
1 / 1 / 0
Регистрация: 04.03.2013
Сообщений: 28
13.05.2014, 01:55  [ТС] 15
У автора здесь нет рассуждений. Ищем формулу в виде многочлена 5-й степени. Просто берем и ищем. В результате, как оказывается далее, найденный многочлен является решением.
чтооо ?

я не понимаю смысла ваших речей, извините. скажите, во что превратиться сумма моего ряда, если задаться целью представить её в виде многочлена 5ой степени, как это сделал автор ?
0
palva
3120 / 2249 / 453
Регистрация: 08.06.2007
Сообщений: 8,171
Записей в блоге: 4
13.05.2014, 09:29 16
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n=1^4+3^4+5^4+\ldots+(2n-1)^4 ищем в виде http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?An^5+Bn^4+Cn^3+Dn^2+En+F
Систему уравнения для нахождения коэффициентов этого многочлена составляем по соотношению
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_{n+1}-S_n=(2n+1)^4
0
palva
3120 / 2249 / 453
Регистрация: 08.06.2007
Сообщений: 8,171
Записей в блоге: 4
13.05.2014, 09:56 17
Вот нашел в одном учебнике. Используя отсюда четвертое соотношение и метод Alex5 из #7 вы сразу можете получить ваш ответ.
0
Миниатюры
Раскрытие неопределенности inf/inf  
Alex5
1123 / 784 / 232
Регистрация: 12.04.2010
Сообщений: 2,012
13.05.2014, 14:11 18
Цитата Сообщение от b10s Посмотреть сообщение
привести свой числитель из топика к виду многочлена 5-ой степени
b10s, обратите внимание, не нужен весь многочлен. Достаточно знать его степень и старший коэффициент.

Посмотрите в задачнике пример, как найти предел отношения многочленов ( без правила Лопиталя ).

Добавлено через 3 минуты
Цитата Сообщение от b10s Посмотреть сообщение
я не вижу смысл разложения ряда на два
b10s, посмотрите на формулу в сообщении #7. Если известна формула для S(n), мы получим формулу для Вашей суммы.
1
palva
3120 / 2249 / 453
Регистрация: 08.06.2007
Сообщений: 8,171
Записей в блоге: 4
13.05.2014, 14:17 19
Alex5, это по существу сказано. То есть Бутузов зря решает всю систему и даже находит F. Достаточно решать систему так, чтобы первой находилась неизвестное A и на этом остановиться. Хотя с другой стороны находя весь многочлен мы доказываем, что решение в виде многочлена 5-й степени существует. Если этот факт не доказан, то надо находить многочлен.
0
Alex5
1123 / 784 / 232
Регистрация: 12.04.2010
Сообщений: 2,012
13.05.2014, 14:24 20
Цитата Сообщение от b10s Посмотреть сообщение
Как это он так лихо перешел к пятой степени?
S(n) многочлен степени k+1, это эквивалентно (S(n+1) - S(n)) является многочленом степени k.

Пример. n2, степень равна 2.
(n+1)2 - n2 = ( n2 + 2 n + 1 ) - n2 = 2 n + 1, теперь степень 1.

b10s, попробуйте сами найти (n+1)3 - n3 = ...
0
13.05.2014, 14:24
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
13.05.2014, 14:24

Нижний предел, верхний предел, sup и inf последовательности
{x}_{n}=(1+\frac{1}{n})^nsin(\frac{\pi n}{4}) вычислил {x}_{8k}=0....

Раскрыть неопределенности
Прошу помощи в двух заданиях: \lim_{x\rightarrow \pi/2}...

Нужно вывести формулу для раскрытия неопределенности
Lim A(x)^B(x)==e^(lim(B(x))*(A(x-1))). Стремление x-&gt;x0.


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
20
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru