Последовательности в метрическом пространстве

@DeZMoniK · Регистрация: 26.09.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Пусть любая подпоследовательность {Xnk} последовательности {Xn} содержит подпоследовательность {Xnkm} C {Xnk} сходящуюся в (Х, р) к Х0. Доказать, что Xn -> X0

@QuantumMechanic · 29.10.2014, 14:08

Предположите противное.
Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{x_n\} \not\rightarrow x_0$ , тогда существует такое $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\epsilon$ и существует бесконечно много $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_n$ , таких что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p(x_n, x_0) \geq \epsilon$ . Выберем подпоследовательность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{x_n_k\}$ состоящую из таких $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_n$ , очевидно, что такая подпоследовательность не содержит под-подпоследовательности сходящийся к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0$ .

@DeZMoniK 0 / 0 / 1 Регистрация: 26.09.2013 Сообщений: 38
		1
	Последовательности в метрическом пространстве 28.10.2014, 23:25. Показов 1540. Ответов 1 Метки нет (Все метки) Пусть любая подпоследовательность {Xnk} последовательности {Xn} содержит подпоследовательность {Xnkm} C {Xnk} сходящуюся в (Х, р) к Х0. Доказать, что Xn -> X0 0

@QuantumMechanic 12 / 4 / 2 Регистрация: 27.10.2014 Сообщений: 21
	29.10.2014, 14:08	2
	Сообщение было отмечено DeZMoniK как решение Решение Предположите противное. Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{x_n\} \not\rightarrow x_0$ , тогда существует такое $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\epsilon$ и существует бесконечно много $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_n$ , таких что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p(x_n, x_0) \geq \epsilon$ . Выберем подпоследовательность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{x_n_k\}$ состоящую из таких $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_n$ , очевидно, что такая подпоследовательность не содержит под-подпоследовательности сходящийся к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0$ . 1

Последовательности в метрическом пространстве

Решение