Равномерная сходиомость НИЗОП

@Rule · Регистрация: 09.11.2014

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Помогите, пожалуйста, нужно исследовать интеграл на равномерную сходимость:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{+\infty\ }arctan(bx)/(x(1+x^2))dx$ , где b из R
Думал разбить его на два, один от 1 до бесконечности (с ним всё понятно, по Вейерштрассу), а второй от 0 до 1, вот с ним проблемы

@splen · 09.11.2014, 04:16

При b>1 на отрезке [1/b;1]

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?arctg(bx) \ge \frac{\pi}{4},$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{1+x^2} \ge \frac{1}{2},$

а значит, при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b \to \infty$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_0^{1}\frac{arctg(bx)dx}{x(1+x^2)} \ge \frac{\pi}{8} \int_{1/b}^{1}\frac{dx}{x} = \frac{\pi}{8}ln(b) \to \infty ,$

и интеграл не может сходиться равномерно.

@Rule 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.11.2014 Сообщений: 2
		1
	Равномерная сходиомость НИЗОП 09.11.2014, 01:28. Показов 931. Ответов 1 Метки нет (Все метки) Помогите, пожалуйста, нужно исследовать интеграл на равномерную сходимость: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{+\infty\ }arctan(bx)/(x(1+x^2))dx$ , где b из R Думал разбить его на два, один от 1 до бесконечности (с ним всё понятно, по Вейерштрассу), а второй от 0 до 1, вот с ним проблемы 0

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	09.11.2014, 04:16	2
	При b>1 на отрезке [1/b;1] $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?arctg(bx) \ge \frac{\pi}{4},$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{1+x^2} \ge \frac{1}{2},$ а значит, при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b \to \infty$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_0^{1}\frac{arctg(bx)dx}{x(1+x^2)} \ge \frac{\pi}{8} \int_{1/b}^{1}\frac{dx}{x} = \frac{\pi}{8}ln(b) \to \infty ,$ и интеграл не может сходиться равномерно. 0