Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
Математический анализ
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
 
Рейтинг 4.50/6: Рейтинг темы: голосов - 6, средняя оценка - 4.50
ящюр
97 / 97 / 60
Регистрация: 15.03.2013
Сообщений: 525
Записей в блоге: 1
1

Как вычислить интеграл

14.11.2014, 16:40. Просмотров 1030. Ответов 34
Метки нет (Все метки)

Каким образом решается подобный зверь ?
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{x*cos x}{sin^3x}dx

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{2{x}^{2}+x+4}{{x}^{3}+{x}^{2}+4x+4}dx

Статьи читал, но не понял =)
0
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
14.11.2014, 16:40
Ответы с готовыми решениями:

Как вычислить интеграл?

Как вычислить интеграл
Как можно вычислить следующий интеграл: \int 4\sqrt{{{cos}^{6}tsint}^{2} +...

Как вычислить такой интеграл?
Как вычислять такой интеграл? \int \frac{x^3 dx}{x+5}

Как вычислить такой интеграл?
интеграл от √(1-2*cos3(x))dx Добавлено через 48 минут В примере ошибки нет....

Как вычислить такой интеграл
\int_{0}^{1}\frac{{x}^{3}arcsinx}{\sqrt{1-{x}^{2}}}dx по частям не выходит.

34
Джигмэн
9 / 9 / 1
Регистрация: 15.12.2012
Сообщений: 64
14.11.2014, 23:35 21
ящюр, ну откуда минус в степени взялся? Производная котангенса:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\frac{1}{{sin}^{2}x}
т.е. взяв первообразную от http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{{sin}^{2}x}, получим что?
0
ящюр
97 / 97 / 60
Регистрация: 15.03.2013
Сообщений: 525
Записей в блоге: 1
15.11.2014, 15:00  [ТС] 22
Описался....хотел словами написать синус в минус 2 степени....так и вписал его туда. Я же говорю уже спать надо мозг кипит.

Добавлено через 15 часов 23 минуты
Продолжаем битву...
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{x\cos x}{{\sin }^{3}x}dx=http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{x\cot x}{{\sin}^{2}x}dx=(*)
Выносим http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\cot x под знак дифференциала
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d(\cot x)= (\cot x)'dx=-\frac{1}{{\sin}^{2}x}dx
Значит, чтобы получить dx надо добавить множитель http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{-\sin }^{2}x
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(*)= - {\sin}^{2} x\int x\cos xd(\cot x)
Пока правильно? Дальше изучаю.=)
0
Джигмэн
9 / 9 / 1
Регистрация: 15.12.2012
Сообщений: 64
15.11.2014, 16:07 23
ящюр, откуда это вообще?
Надо делать так:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{xcosxdx}{{sin}^{3}x}=\int\frac{xctgxdx}{{sin}^{2}x}
Т.к. http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(-\frac{1}{{sin}^{2}x})=ctgx, то http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\frac{xctgxdx}{{sin}^{2}x}=-\int xctgxd(ctgx)

Добавлено через 3 минуты
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ctgx=t
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=arcctgt
Значит, http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\int x*ctgx*d(ctgx)=-\int arcctgt*tdt

Добавлено через 10 минут
А дальше по частям: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\int arcctgt*tdt=-\int arcctgt*d(\frac{{t}^{2}}{2})=-(\frac{{t}^{2}}{2}*arcctgt-\frac{1}{2}\int {t}^{2}*(arcctgt)'dt)
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\frac{1}{2}\int {t}^{2}*(arcctgt)'dt=\frac{1}{2}\int \frac{{t}^{2}dt}{{t}^{2}+1}=\frac{1}{2}\int \frac{({t}^{2}+1-1)dt}{{t}^{2}+1}=\frac{1}{2}(t-\int\frac{dt}{{t}^{2}+1})

Добавлено через 7 минут
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{2}(t-\int\frac{dt}{{t}^{2}+1})=\frac{1}{2}(t+arcctgt)
1
mathidiot
Эксперт по математике/физике
2741 / 2422 / 1053
Регистрация: 14.01.2014
Сообщений: 5,178
15.11.2014, 20:44 24
Вам надо научиться вносить функции под знак дифференциала в интеграле: f'(x)dx=df(x). В данном случае http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?cos(x)dx=dsin(x). В итоге:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{xcos(x)dx}{{sin(x)}^{3}}=\int \frac{xdsin(x)}{{sin(x)}^{3}}=-\frac{1}{2}\int xd\left(\frac{1}{{sin(x)}^{2}} \right)= http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\frac{1}{2}x\frac{1}{{sin(x)}^{2}}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{{sin(x)}^{2}}=-\frac{1}{2}x\frac{1}{{sin(x)}^{2}}-\frac{1}{2}ctg(x)+C
2
ящюр
97 / 97 / 60
Регистрация: 15.03.2013
Сообщений: 525
Записей в блоге: 1
15.11.2014, 20:48  [ТС] 25
А почему ответы разные? И вопрос - сокращать можно, по вашему примеру, как слева от знака дифференциала так и справа? Простите за глупые вопросы, но для меня это важно. Ваш пример очень простой, по сравнению с постом выше.
0
mathidiot
Эксперт по математике/физике
2741 / 2422 / 1053
Регистрация: 14.01.2014
Сообщений: 5,178
15.11.2014, 21:23 26
Цитата Сообщение от ящюр Посмотреть сообщение
А почему ответы разные?
Потому что в предыдущем посту интеграл не был доведен до конца, так как он был выражен через новую переменную t, ещё необходимо вернуться к старой переменной х.
Цитата Сообщение от ящюр Посмотреть сообщение
? И вопрос - сокращать можно, по вашему примеру, как слева от знака дифференциала так и справа?
Ваш вопрос не понял, что Вы имеете под сокращением? (Я сам ничего не сокращал, а просто интегрировал по частям (один раз), надеюсь, что Вы знакомы с этим методом, который дается практически сразу после знакомства с основными формулами интегрирования)
0
ящюр
97 / 97 / 60
Регистрация: 15.03.2013
Сообщений: 525
Записей в блоге: 1
16.11.2014, 22:48  [ТС] 27
А вы можете расписать подробно. Я все равно не очень понял. С выносом под знак дифференциала я , вроде, разобрался.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\frac{x \cos x}{{sin}^{3}x}dx
можно вынести cos x получиться http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\frac{x }{{sin}^{3}x}d(\sin x)
можно вынести ctg x получиться http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\frac{x \cos x}{{sin}^{}x}d(- \cot x) Правильно же? Производная от http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(\cot x)' = \frac{1}{{\sin}^{2}x}
И ещё вопрос. Вот вынес я что-то под знак дифференциала. Если потом применить метод по частям, то это что-то вписывается туда ?

Добавлено через 21 час 46 минут
Так народ. Перечитал ещё раз темы. Маленько понял из написанного. Пишу как я это понимаю
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{x \cos x}{{\sin}^{3}x}dx =(*)
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{cos x}{sin x} = cot x\Rightarrow \int \frac{x \cos x}{{\sin}^{3}x}dx =\int \frac{x \cot x}{{\sin}^{2}x}

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t = \cot x
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dt=dx\Rightarrow dt=(\cot x)'dx\Rightarrow dt=-\frac{dx}{{sin}^{2}x}
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dt=dx\Rightarrow dt=(\cot x)'dx\Rightarrow dt=-\frac{dx}{{sin}^{2}x}\Rightarrow -dt = \frac{dx}{{\sin}^{2}x}Значит ставим минус перед выражением
(*) = http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\int arcctg t*t*dt Произвели замену переменной
Далее применяем формулу интегрирования по частям http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int udv = uv - \int vdu
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=t\Rightarrow du = dt Нашли чему равно u .Теперь ищем чему равно v.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dv= arcctg t*dt значит http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v= \int arcctg t*dt
из википедии взял интеграл арккотангенса http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v= t*arcctgt+\frac{1}{2}\ln (1+{t}^{2})+C
собираем формулу умножения по частям-
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\int arcctg t*t*dt =-( t*(t*arcctg t+\frac{1}{2}\ln (1+{t}^{2})-\int (t*arcctg t+\frac{1}{2}\ln (1+{t}^{2}))dt)=В итоге у меня опять вылазит интегрирование по частям и опять будет интеграл от t*arcctg t и так до бесконечности =(

Добавлено через 18 минут
Как я понимаю, я либо неправильно приравнял часть v и, соответственно, неправильно собрал http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int vdu, либо что-то не так с найденой мной формулой http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int arcctg t*dt
0
Джигмэн
9 / 9 / 1
Регистрация: 15.12.2012
Сообщений: 64
17.11.2014, 09:05 28
ящюр, а если выбрать u = arcctgt?
Вообще выше привели получше решение, там, когда взяли cosx под d, выбрали u = 1/(sinx)^3.
0
ящюр
97 / 97 / 60
Регистрация: 15.03.2013
Сообщений: 525
Записей в блоге: 1
17.11.2014, 11:43  [ТС] 29
Простите я не очень понимаю
Здесь мы переносим т под знак дифференциала
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\int arcctg t*t*dt = -\int arcctg td(\frac{{t}^{2}}{2})
А дальнейшую запись из поста я не очень понимаю
Если за u берем арккотангенс т , то http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v=\int tdt
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?arcctg t*\frac{{t}^{2}}{2}+

Добавлено через 5 минут
+http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(\frac{{t}^{2}}{2}И дальше, если правильно понял, т.к. арккотанген перешел под дифференциал, то он пишется не в чистом виде а его производная. Так что ли?
0
Джигмэн
9 / 9 / 1
Регистрация: 15.12.2012
Сообщений: 64
17.11.2014, 12:02 30
Ну да, находится дифференциал арккотангенса по x.
0
ящюр
97 / 97 / 60
Регистрация: 15.03.2013
Сообщений: 525
Записей в блоге: 1
17.11.2014, 12:37  [ТС] 31
т.е. в формуле http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int vdu = vu - \int udv ,как в нашем случае, за v берется функция то в http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v= tg x \Rightarrow \int ud (v)'

Добавлено через 1 минуту
Ну да , все верно
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u= arcctg t http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?du = d(arcctg t) = (arcctg t)'dt

Добавлено через 17 минут
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\int arcctg t*t*dt=arcctg t*\frac{{t}^{2}}{2}- \frac{1}{2}(t+arcctg t)
подставляем http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t = \cot x

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?arcctg (ctg x)*(\frac {{ctg}^{2}x}{2})-\frac{1}{2}ctg x-arcctg (ctg x)=
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x(\frac{{ctg}^{2}x}{2})-\frac{1}{2}ctg x-x
Это и будет окончательным ответом?
0
Джигмэн
9 / 9 / 1
Регистрация: 15.12.2012
Сообщений: 64
17.11.2014, 14:12 32
Почти правильно, только минус потерялся в самом начале, ответ в итоге совпадет с ответом выше (котангенс в квадрате плюс один знаменится на синус в минус второй степени).
1
ящюр
97 / 97 / 60
Регистрация: 15.03.2013
Сообщений: 525
Записей в блоге: 1
17.11.2014, 15:27  [ТС] 33
Там и 1/2 от х потерялась =)
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-x\frac{{ctg}^{2}x}{2}-\frac{1}{2}ctg x-\frac{x}{2} = -x({ctg}^{2}x-1)-\frac{1}{2}ctg x=-\frac{x}{{sin}^{2}x}-\frac{1}{2}ctg x
Так?

Добавлено через 6 минут
Теперь это дело надо ещё проверить дифференцированием =)

Добавлено через 24 минуты
Что-то у меня с глазками...http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\frac{x}{2}({ctg}^{2}-1)-\frac{1}{2}ctg x=-\frac{1}{2}\frac{x}{{sin}^{2}x}-\frac{1}{2}ctg x

Добавлено через 27 минут
Проверяем дифференцированием
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d(-\frac{1}{2}\frac{x}{{sin}^{2}x}-\frac{1}{2}ctg x+c)=(-\frac{1}{2}\frac{x}{{sin}^{2}x}-\frac{1}{2}ctg x+c)'dx=(-\frac{1}{2}(\frac{1}{{sin}^{2}x}-\frac{2xcosx}{{sin}^{3}x})-\frac{1}{2}(-\frac{1}{{sin}^{2}x})+0)dx=
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-\frac{1}{2{sin}^{2}x}+\frac{1}{2}2\frac{xcosx}{{sin}^{3}x}+\frac{1}{2{sin}^{2}x})dx=\frac{xcosx}{{sin}^{3}x}dx
Как-то так =)
0
Джигмэн
9 / 9 / 1
Регистрация: 15.12.2012
Сообщений: 64
17.11.2014, 15:58 34
Котангенс в квадрате плюс один ведь...
0
ящюр
97 / 97 / 60
Регистрация: 15.03.2013
Сообщений: 525
Записей в блоге: 1
17.11.2014, 15:59  [ТС] 35
Точно слепой...=)
0
17.11.2014, 15:59
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
17.11.2014, 15:59

Объясните как вычислить объем фигуры вращения через интеграл. Не понимаю как сделать
Y^2=4(x-2), y=0, x=3, x=6

Как такой неопределенный интеграл вычислить?
Здравствуйте! Есть интеграл, первую часть не могу понять как заменить из-за...

Вычислить криволинейный интеграл интеграл по дуге
вычислить криволинейный интеграл интеграл по дуге L ((x^2+y^2)^n)dy где L:...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
35
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru