Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
Математический анализ
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Байт
Эксперт C
17777 / 11802 / 2453
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 23,728
#1

Пределы с радикалами - Математический анализ

19.11.2014, 22:26. Просмотров 1502. Ответов 5
Метки нет (Все метки)

Замечено, что студенты начинают чрезвычайно волноваться, увидев предел вида http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x->0}\frac{x}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}} И правда, что с ним делать? Сверху 0, снизу 0, полная неопределенность И лопиталить не велят. (Кстати, Лопиталь тут, как ни странно, помогает, только что проверил, просто он меняет знак, но мы попробуем это сделать и без него).
Были бы выражения рациональные, мы бы уж как-нибудь справились, разделили бы это на то, в общем с рациональностью мы работать худо-бедно умеем.
И тут приходит на ум замечательная формула из 5-го класса, кажется.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}^{2} - {b}^{2} = (a+b)(a-b)_
Мы на нее посмотрим с другой стороны
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(a+b)(a-b) = {a}^{2} - {b}^{2}_
И умножим числитель и знаменатель на... http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}
Получаем http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x->0}\frac{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{1+x-1+x}
"Ну и что же", воскликнет недоверчивый студент! Ведь радикалы-то остались! Просто снизу они переползли наверх. Нельзя не согласиться. Это так. Но уже совсем-совсем другие.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x->0}\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=2 Т.е. вполне ненулевому числу. И, пользуясь свойством пределов http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x->0}f(x)g(x) = \lim_{x->0}f(x)*\lim_{x->0}g(x) мы спокойно эту двойку вытаскиваем за скобки! А то, что остается... Это уже школьник 5-го класса сократит и найдет.

Добавлено через 4 минуты
А если радикальность - в числителе? Да абсолютно тоже самое!
7
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
19.11.2014, 22:26
Я подобрал для вас темы с готовыми решениями и ответами на вопрос Пределы с радикалами (Математический анализ):

Предел, выражения с радикалами
Здравствуйте! Помогите решить предел пожалуйста

Неопределенный интеграл с различными радикалами
Помогите решить такой интеграл ...

Неопределенный интеграл с различными радикалами
Помогите вычислить интеграл: \int...

Вычислить предел, выражение с радикалами
Вот предел \lim (x\rightarrow 0)\frac{\sqrt{4+x}-2}{{5}^{x}-1} В знаменателе...

Вычислить предел, выражение с радикалами
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} Необходимо найти предел. Лопиталя...

Вычислить пределы, используя 1-й и 2-й замечательные пределы
Помогите решить хотя бы некоторые примеры из этих.Очень нужно!Буду очень...

5
helter
Эксперт по математике/физике
3743 / 2771 / 297
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 5,105
19.11.2014, 22:37 #2
Математики восемнадцатого века предлагают раскладывать всё в ряды. Можно по крайней мере формулу Тейлора:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
\lim_{x\to 0} \frac{x}{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}<br />
= \lim_{x\to 0} \frac{x}{(1 + x/2 + o(x)) - (1 - x/2 + o(x))}<br />
= \lim_{x\to 0} \frac{x}{x + o(x)}<br />
\text{divide the numerator and the denominator by x}<br />
= \lim_{x\to 0} \frac{1}{1 + o(1)}<br />
= \frac{1}{1 + 0} = 1<br />
Мощно. Универсально. Матан.
1
Байт
Эксперт C
17777 / 11802 / 2453
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 23,728
19.11.2014, 23:10  [ТС] #3
Ну ладно, с квадратными радикалами справились. А если они кубические? Типа http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x->0}\frac{x}{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}} Тоже присутствия духа не теряем. Вспоминаем, что http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}^{3} - {b}^{3} = (a-b)*({a}^{2} + ab + {b}^{2}) и домножаем, на что нужно.
Совершенно аналогично со всякими высшими корневыми степенями, ибо
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}^{n} - {b}^{n} = (a-b)(P), где P - простая геометрическая прогрессия. (Латекс не понял русских букв)

Не по теме:

Уффф. Приустал возиться с редактором формул, но в данном случае это совершенно необходимо.


Наверное, хорошо бы привести несколько более сложных и содержательных примеров, но тут я надеюсь на поддержку других заинтересованных участников. Здесь я специально подбирал простейшие, чтобы продемонстрировать метод
Думаю, что если студенты будут кидать свои "радикальные" примерчики в этот топик, то мы их быстренько кой-чему научим
Удачи всем!

Добавлено через 19 минут
helter, безусловно. Но!
Цитата Сообщение от Байт Посмотреть сообщение
студенты начинают чрезвычайно волноваться
. Это же для них. А они по отношению к прогрессу общечеловеческому до 18-го века, как правило, не доросли. И это не их вина, а - судьба.
Нам-то с вами - только глянуть на предел, и уж знаем, до какого порядка малости надо ряд Тейлора шерстить
А этот топик - учебный и ссылочной. Знаете, надоело писать "умножь на сопряженное". А он мне "Ы?". А тут я ему(ей) ссылочку брякну. Если и здесь совсем не разберется, тогда я ему помочь уже ничем не смогу и - кончен базар.
Плюс, просвещенные товарищи мне посоветовали этот топик тиснуть. Типа, они тоже ссылаться будут.
Что мог и как мог - написал. Об удаче - вам судить.

Добавлено через 5 минут
helter, вот еще. Я хотел добавить кое-что о понятии сопряженности и ее не последней роли в арифметике (некоторых полей). Так вот, если вам будет интересно, может быть - вы...
6
helter
Эксперт по математике/физике
3743 / 2771 / 297
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 5,105
19.11.2014, 23:27 #4
Нет, это хороший топик, я ничего не говорю. В элементарных решениях нет ничего страшного, тем более что их полезно сравнить с неэлементарными. Вот ещё один хинт по поводу преобразований выражений с радикалами:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{1 + x} = (\sqrt{1 + x} - 1) - (\sqrt[3]{1 + x} - 1)
после чего можно домножать на
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(\sqrt{1+x} + 1)(\sqrt[3]{1+x} + \sqrt[3]{(1+x)^2} + 1)
вместо формулы для разности шестых степеней.

Я просто хочу сказать, что студент (который учится, если бывают такие) должен как-то и восемнадцатый век перерости, и все последующие и как-то добраться до современной математики. Нужно не зацикливаться на школьных преобразованиях, а учить новое, более общее и более мощное. Общность - одна из отличительных черт вузовской математики по сравнению со школьной: вместо конкретных элементарных функций - классы функций, вместо частных рецептов - общая теория. А до какого члена брать разложение - методом тыка!
3
Байт
Эксперт C
17777 / 11802 / 2453
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 23,728
20.11.2014, 00:58  [ТС] #5
helter, ЗдОрово! А это обобщению какому-нибудь поддается? Так вот сходу не могу сообразить.

Добавлено через 1 час 14 минут
Цитата Сообщение от helter Посмотреть сообщение
Математики восемнадцатого века предлагают раскладывать всё в ряды
Понимаете, я стараюсь избегать в общении с непрофессионалами как о-малых, так и О-больших. Даже у старательного студента это может вызвать шок. Как так, x2 = o(x), но ни в коем случае не o(x) = x2. Все представления о смысле знака "=", как об отношении эквивалентности, вбитом (и понятом!) годами - рушатся. И девдомек студентику, что тут "=" обозначает совсем другое - цепочку размышлений!
На первом курсе у нас была математика и физика (не считая диамата, физкультуры и военного дела). И пока мы тщательно изучали теорию пределов (не по Фихту, а на "направленных множествах", сейчас они, кажется, "фильтрами" называются), и наши маткружковские мозги плавились от всех этих абстракций, физики нам рассказали про дельта-функцию Дирака. И многие из нас вынесли отсюда простое впечатление, что физики - придурки, не знающие элементарных основ. Только через год я понял, что никакой функции нет. Есть функционал, который вот так удобно обозначать. И вне интеграла эта Дураковская Дельта никакого математического смысла не имеет, просто - удобное обозначение.
А что ж вы хотите от наших бедных студентов?
3
helter
Эксперт по математике/физике
3743 / 2771 / 297
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 5,105
20.11.2014, 01:41 #6
Цитата Сообщение от Байт Посмотреть сообщение
А это обобщению какому-нибудь поддается?
В принципе, там может и несколько радикалов быть, из каждого вычитается его предел.

Цитата Сообщение от Байт Посмотреть сообщение
Понимаете, я стараюсь избегать в общении с непрофессионалами как о-малых, так и О-больших. Даже у старательного студента это может вызвать шок. Как так, x2 = o(x), но ни в коем случае не o(x) = x2. Все представления о смысле знака "=", как об отношении эквивалентности, вбитом (и понятом!) годами - рушатся. И девдомек студентику, что тут "=" обозначает совсем другое - цепочку размышлений!
Люди по разным программам учатся. Меня, например, формуле Тейлора и о-символике учили в первом семестре первого курса. И уж формула Тейлора - это то, что нужно знать в любом случае. Кому не нравятся о, может особыми буквами обозначать остаточные члены, какая разница. Не в обозначениях дело, а в принципе: общая теория, годящаяся для всех на свете функций (ну, кроме дельты Дирака ), вместо отдельных рецептов для радикалов, отдельных - для синусов, отдельных - для логарифмов... Причём эта теория входит в минимум первого курса.

Цитата Сообщение от Байт Посмотреть сообщение
А что ж вы хотите от наших бедных студентов?
Я - ничего.

Не по теме:

Направленные множества и фильтры - эквивалентные, но различные способы определения пределов в топологических пространствах.

Цитата Сообщение от Байт Посмотреть сообщение
На первом курсе у нас была математика и физика (не считая диамата, физкультуры и военного дела). И пока мы тщательно изучали теорию пределов (не по Фихту, а на "направленных множествах", сейчас они, кажется, "фильтрами" называются), и наши маткружковские мозги плавились от всех этих абстракций
Вот блин же. Потому что составителям вашей программы не мешало бы читнуть диамата. Ибо там есть неглупые вещи типа "абстрактное существует через конкретное" и даже насчёт связи исторического и логического. И они бы, возможно, сначала научили вас пределам последовательностей, эпсилон-дельтам, в метрических пространствах, а потом рассказали бы направленности. Потому что чтобы абстрагироваться, надо сначала понимать, от чего абстрагируешься.

0
20.11.2014, 01:41
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
20.11.2014, 01:41
Привет! Вот еще темы с решениями:

Пределы
помогите пожалуйста с заданием: дана последовательность &quot;X1=2, X2=2+1/3 ......

Пределы
Не умею решать пределы. Если кто может решите пожалуйста

Пределы
1) lim (x стремится к pi/4) sin(x) / tg(x) 2) lim (x стремится к...

Пределы
Верно ли, что lim{a}^{1/n}={a}^{lim(1/n)}=1 при n-&gt;INF И достатчно ли сказать...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
6
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru