Доказать тождество методом математической индукции

@Чкунгачкук · Регистрация: 05.06.2014

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Есть вот такое тождество, которое требуется доказать методом математической индукции: cosa+cos3a+cos5a+...+cos(2n-1)a =sin2na/2sina

Действовал по методу описном здесь - http://www.cleverstudents.ru/a... ction.html и застрял на пункте когда нам надо проверить тождество при n=k+1.

У меня получилось следующие: cosa+cos3a+cos5a+...+cos(2k-1)a+cos(2ka+a)=(sin2ka/2sina)+cos(2ka+a), далее я преобразовываю правую часть: (sin2ka+2sin(a)cos(2ka+a))/2sina. Вот тут собственно у меня и проблема возникает - я не могу упростить это выражение, чтобы доказать тождество. Если начать с помощью тригонометрических формул это выражение раскладывать с целью упрощения, то выходит трехэтажное выражение с которым ничего поделать не получается. Возможно я что то не так понял и туплю. Объясните пожалуйста как доказать это тождество.

@Alamira · 11.01.2015, 08:47

Вы все верно начали делать. Рассмотрю лишь преобразование числителя последней дроби:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sin(2k\alpha)+2sin\alpha cos(2k\alpha +\alpha )=sin(2k\alpha)+2sin\alpha (cos(2k\alpha)cos\alpha-sin(2k\alpha )sin\alpha )=sin(2k\alpha)(1-2{sin}^{2}\alpha)+ cos(2k\alpha)(2sin\alpha cos\alpha)=<br /> =sin(2k\alpha)cos2\alpha+ cos(2k\alpha)sin2\alpha=sin(2k\alpha+2\alpha )=sin(2(k+1)\alpha)$ .
Это и требовалось получить в числителе дроби. Знаменатель остается прежним. Бояться меньше надо, Чкунгачкук, "трехэтажных" выражений.

@Чкунгачкук · 11.01.2015, 10:20 **[ТС]**

Благодарю Alamira,

@Чкунгачкук 0 / 0 / 0 Регистрация: 05.06.2014 Сообщений: 5
		1
	Доказать тождество методом математической индукции 11.01.2015, 06:26. Показов 1281. Ответов 2 Метки нет (Все метки) Есть вот такое тождество, которое требуется доказать методом математической индукции: cosa+cos3a+cos5a+...+cos(2n-1)a =sin2na/2sina Действовал по методу описном здесь - http://www.cleverstudents.ru/a... ction.html и застрял на пункте когда нам надо проверить тождество при n=k+1. У меня получилось следующие: cosa+cos3a+cos5a+...+cos(2k-1)a+cos(2ka+a)=(sin2ka/2sina)+cos(2ka+a), далее я преобразовываю правую часть: (sin2ka+2sin(a)cos(2ka+a))/2sina. Вот тут собственно у меня и проблема возникает - я не могу упростить это выражение, чтобы доказать тождество. Если начать с помощью тригонометрических формул это выражение раскладывать с целью упрощения, то выходит трехэтажное выражение с которым ничего поделать не получается. Возможно я что то не так понял и туплю. Объясните пожалуйста как доказать это тождество. 0

@Alamira 163 / 151 / 36 Регистрация: 04.11.2014 Сообщений: 303
	11.01.2015, 08:47	2
	Вы все верно начали делать. Рассмотрю лишь преобразование числителя последней дроби: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sin(2k\alpha)+2sin\alpha cos(2k\alpha +\alpha )=sin(2k\alpha)+2sin\alpha (cos(2k\alpha)cos\alpha-sin(2k\alpha )sin\alpha )=sin(2k\alpha)(1-2{sin}^{2}\alpha)+ cos(2k\alpha)(2sin\alpha cos\alpha)=<br /> =sin(2k\alpha)cos2\alpha+ cos(2k\alpha)sin2\alpha=sin(2k\alpha+2\alpha )=sin(2(k+1)\alpha)$ . Это и требовалось получить в числителе дроби. Знаменатель остается прежним. Бояться меньше надо, Чкунгачкук, "трехэтажных" выражений. 1

@Чкунгачкук 0 / 0 / 0 Регистрация: 05.06.2014 Сообщений: 5
	11.01.2015, 10:20 [ТС]	3
	Благодарю Alamira, 0