Исследовать функцию на экстремумы

@Lexx9969 · Регистрация: 25.11.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Доброго времени суток.
Нужно найти экстремумы функции z=x^2*y^2*(x-2y+2).
Получилось бесконечное количество критических точек, y1=0 x1=любое число; x2=0,y2=любое число.
Далее рассматриваю, когда функция больше 0, решаю неравенство. получается прямая y<=x/2+1. Получилось так что в точках на прямой z=0, выше прямой z<0, ниже прямой z>0.
Какие можно сделать выводы по поводу экстремумов и есть ли они? Или вообще по другому надо проводить дополнительные исследования? Заранее спасибо.

@palva · 12.02.2015, 13:16

Как вы получили бесконечное число критических точек? Скорее всего вы где-то ошиблись.

@evgr · 13.02.2015, 11:16

Критических точек всего две. После нахождения частных производных и приравнивания их к нулю должна получиться такая система:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \text x{y}^{2}\left(3x-4y+4 \right)=0 \\ & \text {x}^{2}y\left(2x-6y+4 \right)=0 \end{cases}$
Легко заметить, что система имеет два набора решений. Первое решение системы - это (0;0), а чтобы найти второе, нужно решить систему
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \text 3x-4y+4)=0 \\ & \text 2x-6y+4)=0 \end{cases}$ .
Она имеет решение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(-\frac{4}{5}; \frac{2}{5} \right)$
Так что Вы, похоже, действительно где-то ошиблись.

@palva · 13.02.2015, 13:12

Lexx9969, Теперь, когда evgr, написал за вас уравнение, я увидел, откуда получается бесконечное число критических точек. Когда x=0, то система удовлетворяется при любых y. Наоборот - тоже. Во всех этих точках z=0. То есть если там и будет экстремум, то экстремум нестрогий. А минимум будет или максимум, зависит от знака (x-2y+2). Отдельно надо исследовать точку, которую любезно указал evgr.

Сами вы общаться не хотите, так что я умолкаю.

@Lexx9969 0 / 0 / 0 Регистрация: 25.11.2013 Сообщений: 1
		1
	Исследовать функцию на экстремумы 12.02.2015, 11:13. Показов 622. Ответов 3 Метки нет (Все метки) Доброго времени суток. Нужно найти экстремумы функции z=x^2y^2(x-2y+2). Получилось бесконечное количество критических точек, y1=0 x1=любое число; x2=0,y2=любое число. Далее рассматриваю, когда функция больше 0, решаю неравенство. получается прямая y<=x/2+1. Получилось так что в точках на прямой z=0, выше прямой z<0, ниже прямой z>0. Какие можно сделать выводы по поводу экстремумов и есть ли они? Или вообще по другому надо проводить дополнительные исследования? Заранее спасибо. 0

@palva 4236 / 2933 / 687 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,815 Записей в блоге: 4
	12.02.2015, 13:16	2
	Как вы получили бесконечное число критических точек? Скорее всего вы где-то ошиблись. 0

@evgr 117 / 33 / 14 Регистрация: 13.02.2015 Сообщений: 793
	13.02.2015, 11:16	3
	Критических точек всего две. После нахождения частных производных и приравнивания их к нулю должна получиться такая система: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \text x{y}^{2}\left(3x-4y+4 \right)=0 \\ & \text {x}^{2}y\left(2x-6y+4 \right)=0 \end{cases}$ Легко заметить, что система имеет два набора решений. Первое решение системы - это (0;0), а чтобы найти второе, нужно решить систему $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \text 3x-4y+4)=0 \\ & \text 2x-6y+4)=0 \end{cases}$ . Она имеет решение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(-\frac{4}{5}; \frac{2}{5} \right)$ Так что Вы, похоже, действительно где-то ошиблись. 0

@palva 4236 / 2933 / 687 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,815 Записей в блоге: 4
	13.02.2015, 13:12	4
	Lexx9969, Теперь, когда evgr, написал за вас уравнение, я увидел, откуда получается бесконечное число критических точек. Когда x=0, то система удовлетворяется при любых y. Наоборот - тоже. Во всех этих точках z=0. То есть если там и будет экстремум, то экстремум нестрогий. А минимум будет или максимум, зависит от знака (x-2y+2). Отдельно надо исследовать точку, которую любезно указал evgr. Сами вы общаться не хотите, так что я умолкаю. 1

Опции темы