Не могу понять пределы функций

@tnk500 · Регистрация: 25.08.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Абсолютно не могу осознать эту тему. Смысл понятия ясен, но задачи отыскания/доказательства пределов... Я и Фихтенгольца почитал, и в Интернете поискал, все равно не понимаю, как такие примеры решать, из Демидовича, например. Я смирился, что не пойму математику, но неужели все настолько безнадежно? Можете пояснить, к чему нужно стремиться при решении/доказательстве задачи?

Байт · 12.10.2015, 21:16

tnk500, покажи конкретную задачу.

@tnk500 · 12.10.2015, 21:30 **[ТС]**

Байт, в том-то и дело, я ни одну понять не могу. Я вообще был бы благодарен за общий алгоритм решения таких задач, ведь можно его выделить? А алгебраические преобразования я сам как-нибудь, главное, понять, к чему они должны вести. Спасибо заранее

Добавлено через 1 минуту
Вон, Интернет полон онлайн-калькуляторами, от произвольных выражений еще. Значит, алгоритм-таки есть

@beginner_1 · 12.10.2015, 21:44

tnk500, боюсь,что общего алгоритма нет.Каждый предел особенный.Есть только разные способы их находить

Байт · 12.10.2015, 22:01

Сообщение от tnk500

ни одну понять не могу

Ну так хоть одну покажь. На примере проще объяснить, чем в воздухе пальцами шевелить.

Сообщение от tnk500

за общий алгоритм

Если я правильно понимаю, нужно доказать из определения предела, так? А определений несколько. Они дико похожи, но всетки разные. Для x->a (конечному) ->inf. Предел также может быть конечным или бесконечным. Переменная может быть действительной или натуральным числом. Они могут быть односторонними. И прочая лабуда. Но если ввести понятие "окрестность", то выясняется, что все это совершенно одно и тоже.
Давай, для примера рассмотрим lim(n->inf) f(n) = A
Что это значит по определению. Для любого E > 0 (часто пишут - сколь угодно малого, но это чушь не имеющая к делу никакого отношения. На эмоции давят

) cуществует такое N, что для всех n > N выполняется |f(n) - A| < E.
Т.е. начиная с некоторого N значения f(n) попадают в ловушку - E-окрестность числа A
Как доказывать? Сначала угадать A (как правило, это несложно или даже задается). Теперь задаемся Е. Мы его не знаем. Оно - любое. И должны найти такое N (как функцию от Е), что все f(n) будут попадать в "ловушку". Т.е. просто решить неравенство |f(n) -A| < E относительно n. Естественно, n зависит от Е.
Маленькое замечание (если у тебя и так голова лопается - можешь его пока опустить). Неравенство это не обязательно решать точно. А можно с запасом. Чтоб f(n) навярняка попало в ловушку.

Добавлено через 6 минут

Сообщение от beginner_1

боюсь,что общего алгоритма нет

А вы не бойтесь...

Не по теме:

Напомнило одну историю начала прошлого века. Как-то Валерий Брюсов обмолвился - "Боюсь, что из Маяковского ничего не выйдет". ВВ это обыграл так. Друзьям рассказывает. - "Вы знаете, Брюсов совершенно замучил свою жену. Спать по ночам не дает. Вскакивает и кричит - "Ой боюсь, боюсь, боюсь!" Жена - "Милый, чего ты боишься?" - "Боюсь, что из Маяковского ничего не выйдет!"".

@tnk500 · 12.10.2015, 22:05 **[ТС]**

Байт, отлично, последний абзац мне и нужен был. Теперь насчет нахождения предела выражения. Наверно, тут больше сложности с тригонометрическими функциями, так как для полиномов вроде все ясно: если аргумент — бесконечно малая, делим все на степень полинома (от неопределенностей), и наоборот для бесконечности. Просто трудно придти к замечательному пределу, или хотя бы осознать, что тут он есть

Байт · 12.10.2015, 22:12

Сообщение от tnk500

сложности с тригонометрическими функциями

Просто заменяй sin x на x. В крайнем случае на x - x³/6
cos x = 1 - x²/2 (приблизительно)

@tnk500 · 12.10.2015, 22:22 **[ТС]**

Да хоть любая тригонометрическая. Черт, ну как-то машина все преобразует в этих калькуляторах, значит, проблема тупо вычислительная.

Добавлено через 2 минуты
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim \frac{\sin 5x - \sin 3x}{\sin x}\: (x\rightarrow 0)$

Добавлено через 6 минут
Байт, обалдеть, ответ два, как и посчитал. Что за чудеса? И что это за крайний случай? И, кхм, как аргументировать замену в официальных задачах (в принципе, это и есть вопрос "Что за чудеса?")?

@tnk500 117 / 121 / 42 Регистрация: 25.08.2012 Сообщений: 1,294
		1
	Не могу понять пределы функций 12.10.2015, 21:13. Показов 1395. Ответов 7 Метки нет (Все метки) Абсолютно не могу осознать эту тему. Смысл понятия ясен, но задачи отыскания/доказательства пределов... Я и Фихтенгольца почитал, и в Интернете поискал, все равно не понимаю, как такие примеры решать, из Демидовича, например. Я смирился, что не пойму математику, но неужели все настолько безнадежно? Можете пояснить, к чему нужно стремиться при решении/доказательстве задачи? 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	12.10.2015, 21:16	2
	tnk500, покажи конкретную задачу. 0

@tnk500 117 / 121 / 42 Регистрация: 25.08.2012 Сообщений: 1,294
	12.10.2015, 21:30 [ТС]	3
	Байт, в том-то и дело, я ни одну понять не могу. Я вообще был бы благодарен за общий алгоритм решения таких задач, ведь можно его выделить? А алгебраические преобразования я сам как-нибудь, главное, понять, к чему они должны вести. Спасибо заранее Добавлено через 1 минуту Вон, Интернет полон онлайн-калькуляторами, от произвольных выражений еще. Значит, алгоритм-таки есть 0

@beginner_1 2 / 2 / 1 Регистрация: 02.05.2015 Сообщений: 102
	12.10.2015, 21:44	4
	tnk500, боюсь,что общего алгоритма нет.Каждый предел особенный.Есть только разные способы их находить 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	12.10.2015, 22:01	5
	Сообщение от tnk500 ни одну понять не могу Ну так хоть одну покажь. На примере проще объяснить, чем в воздухе пальцами шевелить. Сообщение от tnk500 за общий алгоритм Если я правильно понимаю, нужно доказать из определения предела, так? А определений несколько. Они дико похожи, но всетки разные. Для x->a (конечному) ->inf. Предел также может быть конечным или бесконечным. Переменная может быть действительной или натуральным числом. Они могут быть односторонними. И прочая лабуда. Но если ввести понятие "окрестность", то выясняется, что все это совершенно одно и тоже. Давай, для примера рассмотрим lim(n->inf) f(n) = A Что это значит по определению. Для любого E > 0 (часто пишут - сколь угодно малого, но это чушь не имеющая к делу никакого отношения. На эмоции давят ) cуществует такое N, что для всех n > N выполняется \|f(n) - A\| < E. Т.е. начиная с некоторого N значения f(n) попадают в ловушку - E-окрестность числа A Как доказывать? Сначала угадать A (как правило, это несложно или даже задается). Теперь задаемся Е. Мы его не знаем. Оно - любое. И должны найти такое N (как функцию от Е), что все f(n) будут попадать в "ловушку". Т.е. просто решить неравенство \|f(n) -A\| < E относительно n. Естественно, n зависит от Е. Маленькое замечание (если у тебя и так голова лопается - можешь его пока опустить). Неравенство это не обязательно решать точно. А можно с запасом. Чтоб f(n) навярняка попало в ловушку. Добавлено через 6 минут Сообщение от beginner_1 боюсь,что общего алгоритма нет А вы не бойтесь... Не по теме: Напомнило одну историю начала прошлого века. Как-то Валерий Брюсов обмолвился - "Боюсь, что из Маяковского ничего не выйдет". ВВ это обыграл так. Друзьям рассказывает. - "Вы знаете, Брюсов совершенно замучил свою жену. Спать по ночам не дает. Вскакивает и кричит - "Ой боюсь, боюсь, боюсь!" Жена - "Милый, чего ты боишься?" - "Боюсь, что из Маяковского ничего не выйдет!"". 3

@tnk500 117 / 121 / 42 Регистрация: 25.08.2012 Сообщений: 1,294
	12.10.2015, 22:05 [ТС]	6
	Байт, отлично, последний абзац мне и нужен был. Теперь насчет нахождения предела выражения. Наверно, тут больше сложности с тригонометрическими функциями, так как для полиномов вроде все ясно: если аргумент — бесконечно малая, делим все на степень полинома (от неопределенностей), и наоборот для бесконечности. Просто трудно придти к замечательному пределу, или хотя бы осознать, что тут он есть 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	12.10.2015, 22:12	7
	Сообщение от tnk500 сложности с тригонометрическими функциями Просто заменяй sin x на x. В крайнем случае на x - x³/6 cos x = 1 - x²/2 (приблизительно) 0

@tnk500 117 / 121 / 42 Регистрация: 25.08.2012 Сообщений: 1,294
	12.10.2015, 22:22 [ТС]	8
	Да хоть любая тригонометрическая. Черт, ну как-то машина все преобразует в этих калькуляторах, значит, проблема тупо вычислительная. Добавлено через 2 минуты $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim \frac{\sin 5x - \sin 3x}{\sin x}\: (x\rightarrow 0)$ Добавлено через 6 минут Байт, обалдеть, ответ два, как и посчитал. Что за чудеса? И что это за крайний случай? И, кхм, как аргументировать замену в официальных задачах (в принципе, это и есть вопрос "Что за чудеса?")? 0