Предел последовательности

@Declarer · Регистрация: 07.02.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n^{2}]{1!+2!+...+n!}$
Как такие пределы с суммами считать?

@jogano · 17.10.2015, 16:04

Нужно знать некоторые базовые пределы:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[n]{a}\rightarrow 1,n\rightarrow +\infty \: a>0\\\sqrt[n]{n}\rightarrow 1,n\rightarrow +\infty \\\sqrt[n]{n!}\rightarrow +\infty,n\rightarrow +\infty$ ,
неравенство Коши
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}, \: a_i\geq 0$
и формулу Стирлинга
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n!\sim \sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{e} \right)^n, \: n\rightarrow +\infty$

Обозначим член нашей последовательности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_n$ и ограничиваем по неравенству Коши последовательность снизу:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(1!2!...n! \right)^{\frac{1}{n^3}}n^{\frac{1}{n^2}}\leq x_n$
Левая часть этого неравенства равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(2^{n-1}3^{n-2}...\left(n-1 \right)^2n \right)^{\frac{1}{n^3}}n^{\frac{1}{n^2}}=2^{\frac{n-1}{n^3}}3^{\frac{n-2}{n^3}}...\left(n-1 \right)^{\frac{2}{n^3}}n^{\frac{1}{n^3}}n^{\frac{1}{n^2}}$ , каждый множитель стремится к 1, значит и произведение тоже.
Замечание: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n^{\frac{1}{n^2}}=\left(\left( n^2\right)^{\frac{1}{n^2}} \right)^{\frac{1}{2}}\rightarrow 1^{\frac{1}{2}}=1, \: n\rightarrow +\infty$ . Нам же не важно, по какому закону растёт n - по линейному или по квадратичному. То же самое и для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2^{\frac{n-1}{n^3}}$ и подобных множителей. Итог - левая часть ограничения стремится к 1.

Ограничиваем нашу последовательность справа: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_n\leq \left(n \cdot n! \right)^{\frac{1}{n^2}}$
Применяем формулу Стирлинга: последнее выражение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sim n ^{\frac{1}{n^2}}\left(2 \pi n \right)^{\frac{1}{2n^2}}\left(\frac{n}{e} \right)^{\frac{n}{n^2}}, \: n\rightarrow +\infty$
Всё это стремится к 1 в силу вышенаписанных базовых пределов.
По "теореме о двух миллиционерах" $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_n\rightarrow 1, n\rightarrow +\infty$ .

@Declarer · 17.10.2015, 16:30 **[ТС]**

jogano, спасибо, не знал о формуле Стирлинга.

@Declarer 13 / 13 / 6 Регистрация: 07.02.2013 Сообщений: 214
		1
	Предел последовательности 17.10.2015, 12:58. Показов 851. Ответов 2 Метки нет (Все метки) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n^{2}]{1!+2!+...+n!}$ Как такие пределы с суммами считать? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	17.10.2015, 16:04	2
	Сообщение было отмечено Declarer как решение Решение Нужно знать некоторые базовые пределы: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[n]{a}\rightarrow 1,n\rightarrow +\infty \: a>0\\\sqrt[n]{n}\rightarrow 1,n\rightarrow +\infty \\\sqrt[n]{n!}\rightarrow +\infty,n\rightarrow +\infty$ , неравенство Коши $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}, \: a_i\geq 0$ и формулу Стирлинга $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n!\sim \sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{e} \right)^n, \: n\rightarrow +\infty$ Обозначим член нашей последовательности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_n$ и ограничиваем по неравенству Коши последовательность снизу: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(1!2!...n! \right)^{\frac{1}{n^3}}n^{\frac{1}{n^2}}\leq x_n$ Левая часть этого неравенства равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(2^{n-1}3^{n-2}...\left(n-1 \right)^2n \right)^{\frac{1}{n^3}}n^{\frac{1}{n^2}}=2^{\frac{n-1}{n^3}}3^{\frac{n-2}{n^3}}...\left(n-1 \right)^{\frac{2}{n^3}}n^{\frac{1}{n^3}}n^{\frac{1}{n^2}}$ , каждый множитель стремится к 1, значит и произведение тоже. Замечание: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n^{\frac{1}{n^2}}=\left(\left( n^2\right)^{\frac{1}{n^2}} \right)^{\frac{1}{2}}\rightarrow 1^{\frac{1}{2}}=1, \: n\rightarrow +\infty$ . Нам же не важно, по какому закону растёт n - по линейному или по квадратичному. То же самое и для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2^{\frac{n-1}{n^3}}$ и подобных множителей. Итог - левая часть ограничения стремится к 1. Ограничиваем нашу последовательность справа: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_n\leq \left(n \cdot n! \right)^{\frac{1}{n^2}}$ Применяем формулу Стирлинга: последнее выражение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sim n ^{\frac{1}{n^2}}\left(2 \pi n \right)^{\frac{1}{2n^2}}\left(\frac{n}{e} \right)^{\frac{n}{n^2}}, \: n\rightarrow +\infty$ Всё это стремится к 1 в силу вышенаписанных базовых пределов. По "теореме о двух миллиционерах" $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_n\rightarrow 1, n\rightarrow +\infty$ . 2

@Declarer 13 / 13 / 6 Регистрация: 07.02.2013 Сообщений: 214
	17.10.2015, 16:30 [ТС]	3
	jogano, спасибо, не знал о формуле Стирлинга. 0

Предел последовательности

Решение