Найти объем и массу тела

@Artur Kononov · Регистрация: 17.10.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Omega :1\leq {x}^{2}+{y}^{2}\leq 4, 0\leq z\leq 1, x0\geq , y\geq 0, \mu =xy$
Опять такая же проблема. (Фигово у меня с графиками в трехмерном пространстве) Не пойму как рисунок этот должен выглядеть. И обязателен он здесь или можно без рисунка обойтись?

Добавлено через 2 часа 35 минут
народ ну хоть кто-нибудь помогите с рисунком. Пожалуйста

@ivfara · 30.10.2015, 13:06

x^2+y^2=r^2 -окружность
соответственно, ваша область это круг с радиусом 2 [r^2=4 => r=2], с вырезанным кругом, радиуса 1
фактически - бублик, с внешним радиусом 2 и внутренним 1
но еще есть ограничение на неотрицательность -> четвертинка этого бублика, лежащая в первой координатной четверти - это и есть ваш рисунок

Объем: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \int \int_{\Omega }dxdydz$

Масса: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \int \int_{\Omega } xy dxdydz$

@Artur Kononov · 30.10.2015, 14:41 **[ТС]**

ivfara, Сейчас я выложу рисунок посмотрите? правильно нарисовал или нет?

@Artur Kononov · 30.10.2015, 14:58 **[ТС]**

Вот

@Artur Kononov · 30.10.2015, 15:09 **[ТС]**

А пределы такие получаются: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{1}^{2}\int_{\sqrt{1-{x}^{2}}}^{\sqrt{4-{x}^{2}}}\int_{0}^{1}dxdydz$ Правильно?

@jogano · 30.10.2015, 16:12

Рисунок правильный.
Перепутали порядок двух внутренних интегралов. Чтобы не путаться, к какой переменной относится данный интеграл, сразу после значка интеграла ставьте дифференциал от переменной интегрирования, а не в самом конце.
Это только часть объёма. Вторую часть забыли.
В декартовых координатах это будет сумма $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \int_{0}^{1}dz \left(\int_{0}^{1}dx\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}dy+\int_{1}^{2}dx\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}dy \right)$
Судя по форме области, просятся полярно-цилиндрические координаты: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \int_{0}^{1}dz \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi \int_{1}^{2}\rho d\rho$

Добавлено через 15 минут
Ещё и внешний интеграл не с теми пределами у вас....
Когда вы пишете $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \int_{1}^{2}\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\int_{0}^{1}dxdydz$ , вы фактически имеете в виду $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \int_{1}^{2}\left( \int_{\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\left( \int_{0}^{1}dx\right)dy\right)dz$
Но у вас же пределы интегрирования по z не от 1 до 2, а от 0 до 1.
Не хотите ставить дифференциал сразу после значка интеграла, тогда тот кусок ответа, что вы записали, выглядел бы так $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} dydxdz$

@Artur Kononov · 30.10.2015, 22:03 **[ТС]**

jogano, Никак не пойму почему здесь сумма? Как я понял здесь надо найти объем части бублика, то есть пространство от самого нуля до фигуры бублика мне не нужно. А вы я как понял его тоже ищете или не так понял задачу?

Добавлено через 5 минут

Сообщение от jogano

вы фактически имеете в виду

Ну я почему то раньше всегда писал $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}\int_{f}^{e}dxdydz$ подразумевал это $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{a}^{b}dx\int_{c}^{d}dy\int_{f}^{e}dz$ . И мне странно почему-то никто никаких замечаний не делал не знаю

Добавлено через 25 минут
jogano,

Сообщение от jogano

полярно-цилиндрические координаты

А по ним проще в данной ситуации? И мне какие уравнения этих полуокружностей я так понял надо перевести так?

Добавлено через 6 минут
jogano, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{1}^{2}rdr\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\phi \int_{0}^{1}dz$ И еще это получается весь объем?

@jogano · 30.10.2015, 22:23

Вы много настрочили... Отвечаю последовательно.
1. Я не могу вам пальцем ткнуть на рисунке... Если вы интегрируете по х от 1 до 2, то вы ищете объём/массу части тела ближе плоскости х=1. А дальше этой плоскости? Тело же продолжается вплоть до плоскости YOZ, и не только до х=1.
2. Мне тоже странно, что не делали. Если вы записываете массу тела как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \int_{ V}\int f\left(x,y,z \right)dxdydz$ , то это условное обозначение и порядок сомножителей роли не играет. А вот когда вы переходите к повторным интегралам, чтобы считать тройной интеграл последовательно, то ваша первая запись поста #7 понимается как интегрирование на прямоугольном параллелепипеде [f;e]*[c;d]*[a;b], а вторая запись как интегрирование на [a;b]*[c;d]*[f;e]. Для объёма это всё равно, но два таких параллелепипеда занимают в пространстве разное положение, хотя имеют одинаковые размеры, значит масса их будет в общем случае разная.
Посмотрите Демидовича или Фихтенгольца, как там записываются повторные интегралы - как ваша вторая запись, когда дифференциал стоИт сразу после интеграла по этой переменной. Тогда разночтений не будет.
3. В полярно-цилиндрических в вашем случае сильно проще.

Сообщение от Artur Kononov

И еще это полается весь объем?

Я не понял слово "полается". Честно

Да, значение этого интеграла и есть объём. Уравнения окружностей r=1 и r=2.

Добавлено через 37 секунд
Ах, "получается".... Не догадался.

@Artur Kononov · 30.10.2015, 22:29 **[ТС]**

jogano, Спасибо разъяснили!

Учту. И еще вопрос можно, а массу тоже по цилиндрическим находить или по другому надо?

Добавлено через 49 секунд

Сообщение от jogano

Я не понял слово "полается".

Ну я же исправил

@jogano · 30.10.2015, 22:36

Массу точно так же через полярно-цилиндрические. Плотность тогда равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\mu \left(r,\varphi ,z \right)=r^2 \cos \varphi \sin \varphi$
Прочитал ваше исправление, когда уже отправил свой ответ. Раньше ж не видно.

@Artur Kononov · 30.10.2015, 22:41 **[ТС]**

jogano, Спасибо!!! ответ по объему получился 3pi/4 верно?

@jogano · 30.10.2015, 22:43

Да, у меня тоже так. А масса 15/8.

@Artur Kononov · 30.10.2015, 22:45 **[ТС]**

jogano, Спасибо огромное!!! Помогли разобраться и указали на ошибки премного благодарен! По ответам все сошлось.

@Artur Kononov 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.10.2015 Сообщений: 26
	30.10.2015, 22:41 [ТС]	11
	jogano, Спасибо!!! ответ по объему получился 3pi/4 верно? 0

@Artur Kononov 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.10.2015 Сообщений: 26
		1
	Найти объем и массу тела 29.10.2015, 19:57. Показов 965. Ответов 12 Метки нет (Все метки) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Omega :1\leq {x}^{2}+{y}^{2}\leq 4, 0\leq z\leq 1, x0\geq , y\geq 0, \mu =xy$ Опять такая же проблема. (Фигово у меня с графиками в трехмерном пространстве) Не пойму как рисунок этот должен выглядеть. И обязателен он здесь или можно без рисунка обойтись? Добавлено через 2 часа 35 минут народ ну хоть кто-нибудь помогите с рисунком. Пожалуйста 0

@ivfara 1 / 1 / 0 Регистрация: 10.07.2015 Сообщений: 18
	30.10.2015, 13:06	2
	x^2+y^2=r^2 -окружность соответственно, ваша область это круг с радиусом 2 [r^2=4 => r=2], с вырезанным кругом, радиуса 1 фактически - бублик, с внешним радиусом 2 и внутренним 1 но еще есть ограничение на неотрицательность -> четвертинка этого бублика, лежащая в первой координатной четверти - это и есть ваш рисунок Объем: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \int \int_{\Omega }dxdydz$ Масса: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \int \int_{\Omega } xy dxdydz$ 0

@Artur Kononov 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.10.2015 Сообщений: 26
	30.10.2015, 14:41 [ТС]	3
	ivfara, Сейчас я выложу рисунок посмотрите? правильно нарисовал или нет? 0

@Artur Kononov 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.10.2015 Сообщений: 26
	30.10.2015, 14:58 [ТС]	4
	Вот Миниатюры 0

@Artur Kononov 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.10.2015 Сообщений: 26
	30.10.2015, 15:09 [ТС]	5
	А пределы такие получаются: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{1}^{2}\int_{\sqrt{1-{x}^{2}}}^{\sqrt{4-{x}^{2}}}\int_{0}^{1}dxdydz$ Правильно? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	30.10.2015, 16:12	6
	Рисунок правильный. Перепутали порядок двух внутренних интегралов. Чтобы не путаться, к какой переменной относится данный интеграл, сразу после значка интеграла ставьте дифференциал от переменной интегрирования, а не в самом конце. Это только часть объёма. Вторую часть забыли. В декартовых координатах это будет сумма $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> <br /> \int_{0}^{1}dz \left(\int_{0}^{1}dx\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}dy+\int_{1}^{2}dx\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}dy \right)$ Судя по форме области, просятся полярно-цилиндрические координаты: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> <br /> \int_{0}^{1}dz \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi \int_{1}^{2}\rho d\rho$ Добавлено через 15 минут Ещё и внешний интеграл не с теми пределами у вас.... Когда вы пишете $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> <br /> \int_{1}^{2}\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\int_{0}^{1}dxdydz$ , вы фактически имеете в виду $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> <br /> \int_{1}^{2}\left( \int_{\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\left( \int_{0}^{1}dx\right)dy\right)dz$ Но у вас же пределы интегрирования по z не от 1 до 2, а от 0 до 1. Не хотите ставить дифференциал сразу после значка интеграла, тогда тот кусок ответа, что вы записали, выглядел бы так $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> <br /> \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} dydxdz$ 0

@Artur Kononov 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.10.2015 Сообщений: 26
	30.10.2015, 22:03 [ТС]	7
	jogano, Никак не пойму почему здесь сумма? Как я понял здесь надо найти объем части бублика, то есть пространство от самого нуля до фигуры бублика мне не нужно. А вы я как понял его тоже ищете или не так понял задачу? Добавлено через 5 минут Сообщение от jogano вы фактически имеете в виду Ну я почему то раньше всегда писал $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}\int_{f}^{e}dxdydz$ подразумевал это $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{a}^{b}dx\int_{c}^{d}dy\int_{f}^{e}dz$ . И мне странно почему-то никто никаких замечаний не делал не знаю Добавлено через 25 минут jogano, Сообщение от jogano полярно-цилиндрические координаты А по ним проще в данной ситуации? И мне какие уравнения этих полуокружностей я так понял надо перевести так? Добавлено через 6 минут jogano, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{1}^{2}rdr\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\phi \int_{0}^{1}dz$ И еще это получается весь объем? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	30.10.2015, 22:23	8
	Вы много настрочили... Отвечаю последовательно. 1. Я не могу вам пальцем ткнуть на рисунке... Если вы интегрируете по х от 1 до 2, то вы ищете объём/массу части тела ближе плоскости х=1. А дальше этой плоскости? Тело же продолжается вплоть до плоскости YOZ, и не только до х=1. 2. Мне тоже странно, что не делали. Если вы записываете массу тела как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \int_{ V}\int f\left(x,y,z \right)dxdydz$ , то это условное обозначение и порядок сомножителей роли не играет. А вот когда вы переходите к повторным интегралам, чтобы считать тройной интеграл последовательно, то ваша первая запись поста #7 понимается как интегрирование на прямоугольном параллелепипеде [f;e][c;d][a;b], а вторая запись как интегрирование на [a;b][c;d][f;e]. Для объёма это всё равно, но два таких параллелепипеда занимают в пространстве разное положение, хотя имеют одинаковые размеры, значит масса их будет в общем случае разная. Посмотрите Демидовича или Фихтенгольца, как там записываются повторные интегралы - как ваша вторая запись, когда дифференциал стоИт сразу после интеграла по этой переменной. Тогда разночтений не будет. 3. В полярно-цилиндрических в вашем случае сильно проще. Сообщение от Artur Kononov И еще это полается весь объем? Я не понял слово "полается". Честно Да, значение этого интеграла и есть объём. Уравнения окружностей r=1 и r=2. Добавлено через 37 секунд Ах, "получается".... Не догадался. 0

@Artur Kononov 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.10.2015 Сообщений: 26
	30.10.2015, 22:29 [ТС]	9
	jogano, Спасибо разъяснили! Учту. И еще вопрос можно, а массу тоже по цилиндрическим находить или по другому надо? Добавлено через 49 секунд Сообщение от jogano Я не понял слово "полается". Ну я же исправил 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	30.10.2015, 22:36	10
	Массу точно так же через полярно-цилиндрические. Плотность тогда равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\mu \left(r,\varphi ,z \right)=r^2 \cos \varphi \sin \varphi$ Прочитал ваше исправление, когда уже отправил свой ответ. Раньше ж не видно. 0

	30.10.2015, 22:45

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	30.10.2015, 22:43	12
	Да, у меня тоже так. А масса 15/8. 0

@Artur Kononov 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.10.2015 Сообщений: 26
	30.10.2015, 22:45 [ТС]	13
	jogano, Спасибо огромное!!! Помогли разобраться и указали на ошибки премного благодарен! По ответам все сошлось. 0