на поверхности найти точки, в которых касательная плоскость параллельна плоскости

@Mamont267 · Регистрация: 15.12.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

На поверхности x^2-4y^2+2z^2-6=0 найти точки, в которых касательная плоскость параллельна плоскости x-4y+3z+31=0. Составить уравнения нормалей к поверхности в этих точках.

@jogano · 20.12.2015, 00:04

Для функции F(x,y,z)=0 уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x_0,y_0,z_0 \right)$ будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\partial F}{\partial x}\left(x-x_0 \right)+\frac{\partial F}{\partial y}\left(y-y_0 \right)+\frac{\partial F}{\partial z}\left(z-z_0 \right)=0$
Значения частных производных берутся в той же точке касания. Чтобы выполнялось условие параллельности, нужно, чтобы эти частные производные были пропорциональны первым трём коэффициентам данной плоскости, т.е. числам 1, -4 и 3.
Имеем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{2x_0}{1}=\frac{-8y_0}{-4}=\frac{4z_0}{3}$
Выражаете их этого двойного равенства все переменные через х0, подставляете в уравнение данной поверхности и решаете уравнение относительно х0, получаете корни $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0= \pm 2$
Используя выражение переменных y0 и z0 через x0, получаете точки на поверхности с указанным свойством.
Ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(2;2;3 \right), \left(-2;-2;-3 \right)$

@Mamont267 · 20.12.2015, 01:07 **[ТС]**

x0=y0
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{6y0}{4}=z0$

Когда я выражаю через x0 уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2-4y^2 +2z^2-6=0$ , у меня получается 6=0. Что я делаю не так?

@jogano · 20.12.2015, 10:12

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0^2-4x_0^2+2 \cdot \frac{9x_0^2}{4}-6=0$
x0 явно не уходит.

@Mamont267 0 / 0 / 0 Регистрация: 15.12.2015 Сообщений: 14
		1
	на поверхности найти точки, в которых касательная плоскость параллельна плоскости 19.12.2015, 23:28. Показов 34266. Ответов 3 Метки нет (Все метки) На поверхности x^2-4y^2+2z^2-6=0 найти точки, в которых касательная плоскость параллельна плоскости x-4y+3z+31=0. Составить уравнения нормалей к поверхности в этих точках. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	20.12.2015, 00:04	2
	Для функции F(x,y,z)=0 уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x_0,y_0,z_0 \right)$ будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\partial F}{\partial x}\left(x-x_0 \right)+\frac{\partial F}{\partial y}\left(y-y_0 \right)+\frac{\partial F}{\partial z}\left(z-z_0 \right)=0$ Значения частных производных берутся в той же точке касания. Чтобы выполнялось условие параллельности, нужно, чтобы эти частные производные были пропорциональны первым трём коэффициентам данной плоскости, т.е. числам 1, -4 и 3. Имеем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{2x_0}{1}=\frac{-8y_0}{-4}=\frac{4z_0}{3}$ Выражаете их этого двойного равенства все переменные через х0, подставляете в уравнение данной поверхности и решаете уравнение относительно х0, получаете корни $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0= \pm 2$ Используя выражение переменных y0 и z0 через x0, получаете точки на поверхности с указанным свойством. Ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(2;2;3 \right), \left(-2;-2;-3 \right)$ 1

@Mamont267 0 / 0 / 0 Регистрация: 15.12.2015 Сообщений: 14
	20.12.2015, 01:07 [ТС]	3
	x0=y0 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{6y0}{4}=z0$ Когда я выражаю через x0 уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2-4y^2 +2z^2-6=0$ , у меня получается 6=0. Что я делаю не так? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	20.12.2015, 10:12	4
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0^2-4x_0^2+2 \cdot \frac{9x_0^2}{4}-6=0$ x0 явно не уходит. 0