Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
Математический анализ
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
rfrf
0 / 0 / 0
Регистрация: 21.01.2016
Сообщений: 8
#1

Поток вектора через замкнутую поверхность - Математический анализ

27.01.2016, 13:16. Просмотров 362. Ответов 1
Метки нет (Все метки)

Найти поток вектора F через замкнутую поверхность S, ограниченную конечным объемом V, заданным пересечением поверхностей.
http://www.cyberforum.ru/mathematical-analysis/thread2187883.html
F=(1-x)i+(1-y)j+(1-z)k
S через v: z=2; z=3; http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho =\sin (\phi )/4
0
Лучшие ответы (1)
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
27.01.2016, 13:16
Я подобрал для вас темы с готовыми решениями и ответами на вопрос Поток вектора через замкнутую поверхность (Математический анализ):

Вычислить поток вектора через замкнутую поверхность
Не сходится ответ Такая задача. Вычислить поток вектора...

Поток через замкнутую поверхность(цилиндр)
Нужно вычислить поток через поверхность x^2+y^2=1, z=0, z=2 Не могу...

Вычислите поток векторного поля через замкнутую поверхность
Вычислите поток векторного поля a через замкнутую поверхность S (нормаль...

Вычисление потока вектора через замкнутую поверхность
вычислить поток вектора f=xi+2yj+{z}^{2}k через замкнутую поверхность...

Найти поток векторного поля a(M) через замкнутую поверхность двумя способами
a(M)=yi-xj+z^2k x^2+y^2+z^2=4,x>=0,y>=0,z>=0

1
jogano
Модератор
Эксперт по математике/физике
4048 / 2585 / 868
Регистрация: 09.10.2009
Сообщений: 4,533
Записей в блоге: 4
27.01.2016, 18:08 #2
Лучший ответ Сообщение было отмечено rfrf как решение

Решение

Вы не указали, куда направлен поток. Предположим, наружу (в том смысле, что если в некоторой точке поверхности вектор потока F направлен наружу тела, то мы считаем такой поток положительным). Но это надо писать. Это влияет только на знак ответа.
Ваше тело - это прямой круговой цилиндр с вертикальной осью через точку (0; 1/8; 0) и высотой от z=2 до z=3. То, что основание окружность, можно определить, подставив в уравнение вашей поверхности вместо http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{x^2+y^2}, а вместо http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin \varphi http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2} }, умножив на знаменатель и возведя в квадрат.
Переходим к полярно-цилиндрической системе координат с якобианом преобразования координат http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?J=\rho
Угол http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi меняется от 0 до П (чтобы в уравнении вашей поверхности было http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho \left(\varphi  \right)\geq 0).
Ищете ответ как сумму трёх интегралов: по обоим основаниям и по боковой поверхности.
1) Верхнее основание: внешняя нормаль http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{n}\left(0;0;1 \right), пределы интегрирования http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi \in \left[0;\pi \right], \:  \rho \in \left[0;\frac{\sin \varphi }{4} \right]
2) Нижнее основание: внешняя нормаль http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{n}\left(0;0;-1 \right), пределы интегрирования те же.
3) Боковая поверхность: внешняя нормаль ищется как векторное произведение частных производных радиус-вектора боковой поверхности по двум параметрам - по http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho и z. Расшифровка: радиус-вектор любой точки в полярно-цилиндрической системе имеет вид http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x;y;z \right)=\left(\rho \cos \varphi; \: \rho \sin \varphi; \: z  \right), но у вас точки не любые, а лежат на поверхности, где http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho зависит от http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi,а не является свободной независимой переменной. Поэтому и уравнение боковой поверхности будет зависеть не от 3-х параметров, а от 2-х: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\frac{\sin \varphi }{4} \cos \varphi; \: \frac{\sin \varphi }{4} \sin \varphi; \: z  \right)
Вам нужно посчитать координаты вектора http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[\bar{r_\varphi} ' ; \: \bar{r_z} ' \right] и посмотреть, какой нужно взять знак этого вектора, чтобы при угле, скажем, http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi =\frac{\pi}{4} этот вектор был направлен наружу поверхности. Потом нормируете этот вектор (делите на его длину, она равна 1/4)
А дальше в каждом из трёх случаев применяете формулу для вычисления потока http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\int_{S_i}^{}\left(\bar{F};\bar{n_i} \right)\rho d\rho d\varphi
вектор F должен быть выражен в полярно-цилиндрической системе координат (подставить в него вместо x,y http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho \cos \varphi , \: \rho \sin \varphi соответственно).

Добавлено через 29 минут
Хотя, ... я тут "растекашился мыслею по древу", а можно же проще сделать - применить формулу Остроградского-Гаусса http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \int_{V}\int \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} \right)dv.
Частные производны равны по -1 каждая. Пределы интегрирования по http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi , \: \rho те же, по z от 2 до 3. Ну и элемент объёма, с учетом всё того же якобиана преобразования координат, http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dv=J d\rho d\varphi dz=\rho d\rho d\varphi dz
И всё легко считается.
1
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
27.01.2016, 18:08
Привет! Вот еще темы с решениями:

Найти поток вектора через поверхность
Найти поток вектора F=6i+6j-2k через поверхность S Помогите решить. Везде...

вычислите поток векторного поля a через поверхность S
Решите пожалуйста, или помогите с определением пределов интегрирования...

Вычислить поток векторного поля через поверхность
Помогите решить!!! Задача 1. Вычислить поток векторного поля...

Найти поток векторного поля через заданную поверхность
Добрый вечер. Подскажите пожалуйста как найти поток векторного поля...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
2
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru