Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
Математический анализ
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Рейтинг 4.80/5: Рейтинг темы: голосов - 5, средняя оценка - 4.80
rfrf
0 / 0 / 0
Регистрация: 21.01.2016
Сообщений: 8
1

Поток вектора через замкнутую поверхность

27.01.2016, 13:16. Просмотров 933. Ответов 1
Метки нет (Все метки)

Найти поток вектора F через замкнутую поверхность S, ограниченную конечным объемом V, заданным пересечением поверхностей.
F=(1-x)i+(1-y)j+(1-z)k
S через v: z=2; z=3; http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho =\sin (\phi )/4
0
Лучшие ответы (1)
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
27.01.2016, 13:16
Ответы с готовыми решениями:

Вычислить поток вектора через замкнутую поверхность
Вычислить поток вектора 3xi + 2yj + 3{z}^{2}k через замкнутую поверхность...

Вычислить поток вектора через замкнутую поверхность
Не сходится ответ Такая задача. Вычислить поток вектора...

Поток через замкнутую поверхность(цилиндр)
Нужно вычислить поток через поверхность x^2+y^2=1, z=0, z=2 Не могу...

Вычислите поток векторного поля через замкнутую поверхность
Вычислите поток векторного поля a через замкнутую поверхность S (нормаль...

Вычисление потока вектора через замкнутую поверхность
вычислить поток вектора f=xi+2yj+{z}^{2}k через замкнутую поверхность...

1
jogano
Модератор
Эксперт по математике/физике
4350 / 2791 / 959
Регистрация: 09.10.2009
Сообщений: 5,007
Записей в блоге: 4
27.01.2016, 18:08 2
Лучший ответ Сообщение было отмечено rfrf как решение

Решение

Вы не указали, куда направлен поток. Предположим, наружу (в том смысле, что если в некоторой точке поверхности вектор потока F направлен наружу тела, то мы считаем такой поток положительным). Но это надо писать. Это влияет только на знак ответа.
Ваше тело - это прямой круговой цилиндр с вертикальной осью через точку (0; 1/8; 0) и высотой от z=2 до z=3. То, что основание окружность, можно определить, подставив в уравнение вашей поверхности вместо http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{x^2+y^2}, а вместо http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin \varphi http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2} }, умножив на знаменатель и возведя в квадрат.
Переходим к полярно-цилиндрической системе координат с якобианом преобразования координат http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?J=\rho
Угол http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi меняется от 0 до П (чтобы в уравнении вашей поверхности было http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho \left(\varphi  \right)\geq 0).
Ищете ответ как сумму трёх интегралов: по обоим основаниям и по боковой поверхности.
1) Верхнее основание: внешняя нормаль http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{n}\left(0;0;1 \right), пределы интегрирования http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi \in \left[0;\pi \right], \:  \rho \in \left[0;\frac{\sin \varphi }{4} \right]
2) Нижнее основание: внешняя нормаль http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{n}\left(0;0;-1 \right), пределы интегрирования те же.
3) Боковая поверхность: внешняя нормаль ищется как векторное произведение частных производных радиус-вектора боковой поверхности по двум параметрам - по http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho и z. Расшифровка: радиус-вектор любой точки в полярно-цилиндрической системе имеет вид http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x;y;z \right)=\left(\rho \cos \varphi; \: \rho \sin \varphi; \: z  \right), но у вас точки не любые, а лежат на поверхности, где http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho зависит от http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi,а не является свободной независимой переменной. Поэтому и уравнение боковой поверхности будет зависеть не от 3-х параметров, а от 2-х: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\frac{\sin \varphi }{4} \cos \varphi; \: \frac{\sin \varphi }{4} \sin \varphi; \: z  \right)
Вам нужно посчитать координаты вектора http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[\bar{r_\varphi} ' ; \: \bar{r_z} ' \right] и посмотреть, какой нужно взять знак этого вектора, чтобы при угле, скажем, http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi =\frac{\pi}{4} этот вектор был направлен наружу поверхности. Потом нормируете этот вектор (делите на его длину, она равна 1/4)
А дальше в каждом из трёх случаев применяете формулу для вычисления потока http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\int_{S_i}^{}\left(\bar{F};\bar{n_i} \right)\rho d\rho d\varphi
вектор F должен быть выражен в полярно-цилиндрической системе координат (подставить в него вместо x,y http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho \cos \varphi , \: \rho \sin \varphi соответственно).

Добавлено через 29 минут
Хотя, ... я тут "растекашился мыслею по древу", а можно же проще сделать - применить формулу Остроградского-Гаусса http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \int_{V}\int \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} \right)dv.
Частные производны равны по -1 каждая. Пределы интегрирования по http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi , \: \rho те же, по z от 2 до 3. Ну и элемент объёма, с учетом всё того же якобиана преобразования координат, http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dv=J d\rho d\varphi dz=\rho d\rho d\varphi dz
И всё легко считается.
1
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
27.01.2016, 18:08

Найти поток векторного поля a(M) через замкнутую поверхность двумя способами
a(M)=yi-xj+z^2k x^2+y^2+z^2=4,x>=0,y>=0,z>=0

Найти поток вектора через поверхность
Найти поток вектора F=6i+6j-2k через поверхность S Помогите решить. Везде...

вычислите поток векторного поля a через поверхность S
Решите пожалуйста, или помогите с определением пределов интегрирования...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
2
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru