Определённый интеграл

@oobarbazanoo · Регистрация: 13.05.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Всегда получаю неопределённый равный ( - (2/3) * ( cos(x) ) ^ (3/2) ), а определённый ноль. Сверяюсь с ответами, там ( 4/3 ) считаю на онлайн калькуляторе интегралов тоже ( 4/3 ) выдаёт. В чём проблема?
Вот собственно интеграл.

@AGK · 14.02.2016, 19:45

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{cos(x)-cos^{3}(x)} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{cos(x)\cdot(1-cos^{2}(x))} dx = -2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{cos(x)} d cos(x) = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{t} dt$
Интеграл от четной функции в симметричном (относительно нуля) интервале равен удвоенному интегралу от нуля до верхней границы

@splen · 14.02.2016, 19:46

Неопределённый интеграл вычислен неверно.
В общем случае

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{\cos x - \cos^3 x}=\sqrt{\cos x (1 - \cos^2 x)}=\sqrt{\cos x \, \sin^2 x}=\sqrt{\cos x }\left| \sin x \right|.$

Синус меняет знак на промежутке интегрирования. Поэтому

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos x - \cos^3 x}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos x } \, \sin x \, dx$

и

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sqrt{\cos x - \cos^3 x}dx=-\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sqrt{\cos x } \, \sin x \, dx.$

Проще заметить, что под интегралом стоит чётная функция и свести его к интегралу от 0 до $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi/2$ .

@AGK · 14.02.2016, 20:53

Сообщение от splen

Неопределённый интеграл вычислен неверно

Не совсем так. Поскольку интегралом четной функции будет нечетная, то ответ будет ( - (2/3) * ( cos(x) ) ^ (3/2) )+С₁ при x>=0 и ( + (2/3) * ( cos(x) ) ^ (3/2) )+С₂ при x<=0, но константы С₁ и С₂ надо выбрать так, чтобы в нуле обе функции были равны 0. Поэтому значение интеграла будет равно не нулю, а С₁-С₂

@splen · 14.02.2016, 20:56

AGK, это и означает, что интеграл вычислен неверно.

@AGK · 14.02.2016, 20:56

То есть, в целом функциональная часть найдена верно, но не учтен модуль при синусе х и константы интегрирования

Сообщение от splen

это и означает, что интеграл вычислен неверно

Приговор суров, но справедлив. Я всего лишь стараюсь поделикатнее объяснить, в чем именно состоит ошибка

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
		1
	Определённый интеграл 14.02.2016, 16:11. Показов 386. Ответов 5 Метки нет (Все метки) Всегда получаю неопределённый равный ( - (2/3) * ( cos(x) ) ^ (3/2) ), а определённый ноль. Сверяюсь с ответами, там ( 4/3 ) считаю на онлайн калькуляторе интегралов тоже ( 4/3 ) выдаёт. В чём проблема? Вот собственно интеграл. Миниатюры 0

@AGK 763 / 664 / 194 Регистрация: 24.11.2015 Сообщений: 2,158
	14.02.2016, 19:45	2
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{cos(x)-cos^{3}(x)} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{cos(x)\cdot(1-cos^{2}(x))} dx = -2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{cos(x)} d cos(x) = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{t} dt$ Интеграл от четной функции в симметричном (относительно нуля) интервале равен удвоенному интегралу от нуля до верхней границы 0

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	14.02.2016, 19:46	3
	Неопределённый интеграл вычислен неверно. В общем случае $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{\cos x - \cos^3 x}=\sqrt{\cos x (1 - \cos^2 x)}=\sqrt{\cos x \, \sin^2 x}=\sqrt{\cos x }\left\| \sin x \right\|.$ Синус меняет знак на промежутке интегрирования. Поэтому $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos x - \cos^3 x}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos x } \, \sin x \, dx$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sqrt{\cos x - \cos^3 x}dx=-\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sqrt{\cos x } \, \sin x \, dx.$ Проще заметить, что под интегралом стоит чётная функция и свести его к интегралу от 0 до $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi/2$ . 0

@AGK 763 / 664 / 194 Регистрация: 24.11.2015 Сообщений: 2,158
	14.02.2016, 20:53	4
	Сообщение от splen Неопределённый интеграл вычислен неверно Не совсем так. Поскольку интегралом четной функции будет нечетная, то ответ будет ( - (2/3) * ( cos(x) ) ^ (3/2) )+С₁ при x>=0 и ( + (2/3) * ( cos(x) ) ^ (3/2) )+С₂ при x<=0, но константы С₁ и С₂ надо выбрать так, чтобы в нуле обе функции были равны 0. Поэтому значение интеграла будет равно не нулю, а С₁-С₂ 0

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	14.02.2016, 20:56	5
	AGK, это и означает, что интеграл вычислен неверно. 0