Аппроксимировать вторую производную (олимпиада мгу)

@partizander · Регистрация: 25.02.2016

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Аппроксимировать вторую производную y(0)'' функции y(x) в точке x = 0 разностным отношением, используя значения y(x) в узлах трехточечного шаблона $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}=\frac{-4h}{5}, {x}_{2} = 0, {x}_{3} =\frac{h}{5}$ . Вычислить значение разностного отношения (приближенное значение y''(0)) для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x)={x}^{3}$ при h = 0.05. Результат округлите до сотых, для отделения дробной части используйте точку.

Решение:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}^{''}=\frac{{y}_{i+1}-2{y}_{i}+{y}_{i-1}}{{h}^{2}} {y}_{i+1} = {\frac{-4(0.05)}{5}}^{3} {y}_{i} = 0 {y}_{i-1} = {\frac{(0.05)}{5}}^{3} {y}^{''}=-0.03 $

Очевиден ответ -0.03.

Но авторы упорно утверждают, что ответ -0.06.

Помогите, пожалуйста понять откуда они взяли умножение на 2? Не могу разобраться. Заранее благодарен.

@splen · 25.02.2016, 23:18

Узлы не являются равноотстоящими, и первая формула неверна.
Если использовать квадратичные приближения в окрестности точки х₂=0,
то получится:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_1 \approx y_2-y'(0) \cdot \frac{4h}{5}+\frac{y''(0)}{2} \cdot \frac{16 h^2}{25}, \; y_3 \approx y_2+y'(0) \cdot \frac{h}{5}+\frac{y''(0)}{2} \cdot \frac{h^2}{25},$

откуда

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''(0) \approx \frac{5(y_1-5y_2+4y_3)}{2h^2}.$

Тогда после подстановок

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_1=-\frac{64h^3}{125}, \; y_2=0, \; y_3= \frac{h^3}{125}$

получается верный ответ

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''(0) \approx -\frac{6}{5}h.$

@partizander 0 / 0 / 0 Регистрация: 25.02.2016 Сообщений: 1
		1
	Аппроксимировать вторую производную (олимпиада мгу) 25.02.2016, 21:11. Показов 2954. Ответов 1 Метки нет (Все метки) Аппроксимировать вторую производную y(0)'' функции y(x) в точке x = 0 разностным отношением, используя значения y(x) в узлах трехточечного шаблона $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}=\frac{-4h}{5}, {x}_{2} = 0, {x}_{3} =\frac{h}{5}$ . Вычислить значение разностного отношения (приближенное значение y''(0)) для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x)={x}^{3}$ при h = 0.05. Результат округлите до сотых, для отделения дробной части используйте точку. Решение: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}^{''}=\frac{{y}_{i+1}-2{y}_{i}+{y}_{i-1}}{{h}^{2}}<br /> <br /> {y}_{i+1} = {\frac{-4(0.05)}{5}}^{3}<br /> <br /> {y}_{i} = 0<br /> {y}_{i-1} = {\frac{(0.05)}{5}}^{3}<br /> <br /> {y}^{''}=-0.03<br />$ Очевиден ответ -0.03. Но авторы упорно утверждают, что ответ -0.06. Помогите, пожалуйста понять откуда они взяли умножение на 2? Не могу разобраться. Заранее благодарен. 0

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	25.02.2016, 23:18	2
	Узлы не являются равноотстоящими, и первая формула неверна. Если использовать квадратичные приближения в окрестности точки х₂=0, то получится: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_1 \approx y_2-y'(0) \cdot \frac{4h}{5}+\frac{y''(0)}{2} \cdot \frac{16 h^2}{25}, \; y_3 \approx y_2+y'(0) \cdot \frac{h}{5}+\frac{y''(0)}{2} \cdot \frac{h^2}{25},$ откуда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''(0) \approx \frac{5(y_1-5y_2+4y_3)}{2h^2}.$ Тогда после подстановок $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_1=-\frac{64h^3}{125}, \; y_2=0, \; y_3= \frac{h^3}{125}$ получается верный ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''(0) \approx -\frac{6}{5}h.$ 1