Вычисление площади фигуры на поверхности

@tnk500 · Регистрация: 25.08.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Задача такая: вычислить площадь криволинейного четырёхугольника, ограниченного линиями u = 0, v = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi}{4}$ , и u = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi}{4}$ , v = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi}{2}$ , расположенного на торе:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & x= (2 + 3\cos u)\cos v \\ & y= (2 + 3\cos u)\sin v \\ & z= 3\sin u\end{cases}$

Вообще найти площадь области поверхности, заданной параметрически как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{r} = \vec{r}(u, v),\, (u, v)\, \in D$ , можно через:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S\,=\,{\int \int }_{D}\sqrt{{(\vec{{r}_{u}})}^{2}{(\vec{{r}_{v}})}^{2}\,-\,{[(\vec{{r}_{u}})(\vec{{r}_{v}})]}^{2}}dudv$

Но непонятно, как расставить пределы интегрирования у повторных интегралов. Признаться, с двойным интегрированием незнаком, но буду рад, если кто-нибудь объяснит.

@DeadPenguin · 01.04.2016, 21:38

Сообщение от tnk500

Но непонятно, как расставить пределы интегрирования у повторных интегралов.

Так вы их уже сами указали: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=0, u=\pi/4, v=\pi/4, v=\pi/2$ .

@jogano · 01.04.2016, 22:54

tnk500, у вас подинтегральное выражение не правильное. Подкоренное выражение тогда равно 0.
Для криволинейного прямоугольника должно быть так $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{u_1}^{u_2}du\int_{v_1}^{v_2}\left|\left[\bar{r}'_u,\bar{r}'_v \right] \right|dv=3\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(2+3 \cos u \right)du\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}dv=...=\frac{3 \pi}{4}\left(\frac{\pi}{2}+\frac{3}{\sqrt{2}} \right)$

@tnk500 · 01.04.2016, 23:24 **[ТС]**

jogano, спасибо, попробую так

@jogano · 01.04.2016, 23:25

Ещё раз про подинтегральное выражение.
То, что у вас написано, равно (с коррекцией обозначений)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{\left|\bar{r}'_u \right|^2 \left|\bar{r}'_v \right|^2-\left|\left[\bar{r}'_u,\bar{r}'_v \right] \right|^2}=\sqrt{\left|\bar{r}'_u \right|^2 \left|\bar{r}'_v \right|^2-\left|\bar{r}'_u \right|^2 \left|\bar{r}'_v \right|^2 \sin^2\hat{\bar{r}'_u,\bar{r}'_v} }=\left|\bar{r}'_u \right| \left|\bar{r}'_v \right| \left| \cos\hat{\bar{r}'_u,\bar{r}'_v}\right|=\left|\left(\bar{r}'_u,\bar{r}'_v \right) \right|$
Берём теперь на плоскости XOY обычную прямоугольную сетку $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{r}\left(u,v \right)=\bar{\left(u;v;0 \right)}$ и считаем площадь прямоугольника с горизонтально и вертикально ориентированными сторонами.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{r}'_u=\bar{\left(1;0;0 \right)}\\\bar{r}'_v=\bar{\left(0;1;0 \right)}\\\left|\left(\bar{r}'_u,\bar{r}'_v \right) \right|=\left|\bar{\left(0;0;0 \right)} \right|=0$
Значит, площадь прямоугольника равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{u_1}^{u_2}du \int_{v_1}^{v_2}0 \cdot dv =0$

@tnk500 · 02.04.2016, 13:12 **[ТС]**

jogano, ну да, под корнем там произведение квадратов модулей производных минус скалярное их произведение. Просто в редакторе забыл пару мелочей добавить.

У интеграл вышел такой же, за исключением тройки перед $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi }{2}$ . Откуда она?

Добавлено через 5 минут
А, да, я потерял её. Всё, спасибо

@tnk500 117 / 121 / 42 Регистрация: 25.08.2012 Сообщений: 1,294
		1
	Вычисление площади фигуры на поверхности 01.04.2016, 19:45. Показов 1394. Ответов 5 Метки нет (Все метки) Задача такая: вычислить площадь криволинейного четырёхугольника, ограниченного линиями u = 0, v = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi}{4}$ , и u = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi}{4}$ , v = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi}{2}$ , расположенного на торе: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & x= (2 + 3\cos u)\cos v \\ & y= (2 + 3\cos u)\sin v \\ & z= 3\sin u\end{cases}$ Вообще найти площадь области поверхности, заданной параметрически как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{r} = \vec{r}(u, v),\, (u, v)\, \in D$ , можно через: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S\,=\,{\int \int }_{D}\sqrt{{(\vec{{r}_{u}})}^{2}{(\vec{{r}_{v}})}^{2}\,-\,{[(\vec{{r}_{u}})(\vec{{r}_{v}})]}^{2}}dudv$ Но непонятно, как расставить пределы интегрирования у повторных интегралов. Признаться, с двойным интегрированием незнаком, но буду рад, если кто-нибудь объяснит. 0

@DeadPenguin 66 / 66 / 31 Регистрация: 11.03.2016 Сообщений: 252
	01.04.2016, 21:38	2
	Сообщение от tnk500 Но непонятно, как расставить пределы интегрирования у повторных интегралов. Так вы их уже сами указали: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=0, u=\pi/4, v=\pi/4, v=\pi/2$ . 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	01.04.2016, 22:54	3
	Сообщение было отмечено tnk500 как решение Решение tnk500, у вас подинтегральное выражение не правильное. Подкоренное выражение тогда равно 0. Для криволинейного прямоугольника должно быть так $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{u_1}^{u_2}du\int_{v_1}^{v_2}\left\|\left[\bar{r}'_u,\bar{r}'_v \right] \right\|dv=3\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(2+3 \cos u \right)du\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}dv=...=\frac{3 \pi}{4}\left(\frac{\pi}{2}+\frac{3}{\sqrt{2}} \right)$ 1

@tnk500 117 / 121 / 42 Регистрация: 25.08.2012 Сообщений: 1,294
	01.04.2016, 23:24 [ТС]	4
	jogano, спасибо, попробую так 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	01.04.2016, 23:25	5
	Ещё раз про подинтегральное выражение. То, что у вас написано, равно (с коррекцией обозначений) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{\left\|\bar{r}'_u \right\|^2 \left\|\bar{r}'_v \right\|^2-\left\|\left[\bar{r}'_u,\bar{r}'_v \right] \right\|^2}=\sqrt{\left\|\bar{r}'_u \right\|^2 \left\|\bar{r}'_v \right\|^2-\left\|\bar{r}'_u \right\|^2 \left\|\bar{r}'_v \right\|^2 \sin^2\hat{\bar{r}'_u,\bar{r}'_v} }=\left\|\bar{r}'_u \right\| \left\|\bar{r}'_v \right\| \left\| \cos\hat{\bar{r}'_u,\bar{r}'_v}\right\|=\left\|\left(\bar{r}'_u,\bar{r}'_v \right) \right\|$ Берём теперь на плоскости XOY обычную прямоугольную сетку $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{r}\left(u,v \right)=\bar{\left(u;v;0 \right)}$ и считаем площадь прямоугольника с горизонтально и вертикально ориентированными сторонами. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{r}'_u=\bar{\left(1;0;0 \right)}\\\bar{r}'_v=\bar{\left(0;1;0 \right)}\\\left\|\left(\bar{r}'_u,\bar{r}'_v \right) \right\|=\left\|\bar{\left(0;0;0 \right)} \right\|=0$ Значит, площадь прямоугольника равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{u_1}^{u_2}du \int_{v_1}^{v_2}0 \cdot dv =0$ 0

@tnk500 117 / 121 / 42 Регистрация: 25.08.2012 Сообщений: 1,294
	02.04.2016, 13:12 [ТС]	6
	jogano, ну да, под корнем там произведение квадратов модулей производных минус скалярное их произведение. Просто в редакторе забыл пару мелочей добавить. У интеграл вышел такой же, за исключением тройки перед $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi }{2}$ . Откуда она? Добавлено через 5 минут А, да, я потерял её. Всё, спасибо 0

Вычисление площади фигуры на поверхности

Решение