Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
Математический анализ
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Рейтинг 4.60/5: Рейтинг темы: голосов - 5, средняя оценка - 4.60
NEvOl
19 / 18 / 1
Регистрация: 13.08.2012
Сообщений: 734
1

Предел варианты

10.09.2016, 11:07. Просмотров 838. Ответов 4
Метки нет (Все метки)

Поясните пожалуйста данный пример (Фихтенгольц). Дана варианта
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_n=\frac{n^2-n+2}{3n^2+2n-4}
нужно доказать что ее предел является http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{3}.
Доказывается через определение предела, т.е. нужно показать что:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left |\frac{n^2-n+2}{3n^2+2n-4}-\frac{1}{3} \right | < \varepsilon

Преобразовываю:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{n^2-n+2}{3n^2+2n-4}-\frac{1}{3} = \frac{1}{3} + \frac{-5n+10}{3(3n^2+2n-4)}-\frac{1}{3}=\frac{-5n+10}{3(3n^2+2n-4)} знаменатель больше 0 при http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n \geq 1

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left | -5n+10 \right |=\left\{\begin{matrix}-5n+10 & -5n+10 \geq 0 \Rightarrow 2 \geq n \\ 5n-10 & -5n+10 < 0 \Rightarrow 2 < n\end{matrix}\right.

для http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n> 2 имеем:

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{5n-10}{3(3n^2+2n-4)}<\varepsilon

дальше идут оценки сверху:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{5n-10}{3(3n^2+2n-4)}<\frac{5n}{3(3n^2-4)}<\frac{5n}{3(2n^2)}<\frac{1}{n}
и в итоге получают:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n>N_\varepsilon =N(\varepsilon )=E(\frac{1}{\varepsilon })

Вопрос такой, на основе каких размышлений производится оценка ? Нужно что бы соблюдалось условие:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{5n-10}{3(3n^2+2n-4)}<\frac{5n}{3(3n^2-4)} для всех http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n> 2 (и т.д.) и при этом нам удобно было выразить n ?
0
Лучшие ответы (1)
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
10.09.2016, 11:07
Ответы с готовыми решениями:

Найти предел варианты
В первом томе по мат. анализу Фихтенгольца, в разделе 24 приводится пример №4, о нахождении предела...

Найти предел варианты
Здравствуйте, подскажите пожалуйста. Нужно найти предел варианты: \lim_{n \to...

Определить предел g(x), зная предел f(x) и предел выражения с ними
Даны две задачи, пожалуйста, проверьте моё решение, оно получилось слишком простым, нет ли подвоха?...

Предел функции.Эквивалентность или Второй замечательный предел?
Ребята,подскажите,не знаю как решить правильно. \lim_{x\rightarrow 00} x * (ln(x+3)-lnx) Вот...

Найти предел, применяя второй замечательный предел
\lim_{x \to +\infty}\ {x \cdot ((1 + \frac{1}{x})^{x}\ -\ e)}\ =\ \lim_{t \to 0}\...

4
jogano
Модератор
Эксперт по математике/физике
4333 / 2780 / 953
Регистрация: 09.10.2009
Сообщений: 4,968
Записей в блоге: 4
10.09.2016, 13:47 2
Лучший ответ Сообщение было отмечено NEvOl как решение

Решение

В 10-й строчке вы рано написали "<e", оценки продолжаются дальше, а неравенство "<e" пишется в самом конце, когда дробь с n имеет уже самый простой вид, в вашем случае вид http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{a}{n}, как вы написали в 5-й строчке снизу.
Соображения такие, что дроби, которые пишутся правее http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{5n-10}{3\left( 3n^2+2n-4\right)}, должны быть больше этой дроби начиная с некоторого n (для всех n больше некоторого числа, не важно какого, в вашем случае для n>2), и должны иметь простой вид, чтобы легко было в конце решить неравенство "дробь<e".
Я бы делал несколько другой оценкой: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{5n-10}{3\left( 3n^2+2n-4\right)}<\frac{5n}{9n^2}=\frac{5}{9n}<\varepsilon  \: \: \Rightarrow  \: \: n>\frac{5}{9\varepsilon }. Чтобы выполнялось первое неравенство, необходимо выполнение http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}5n-10<5n \\ 3\left(3n^2+2n-4 \right)>3\cdot 3n^2 \end{cases} \: \Leftrightarrow \: \begin{cases}n \in N \\ 2n-4>0 \: \Rightarrow \: n>2  \end{cases}
Значит, для n>2 ваш модуль разности меньше 5/(9n).
Кстати, это ограничение на n нужно учесть в ответе, т.е. не просто http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?N\left(\varepsilon  \right):=\left[\frac{5}{9\varepsilon } \right], а http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?N\left(\varepsilon  \right):=max\left{2;\: \left[\frac{5}{9\varepsilon } \right]\right}
По поводу вашей последней строчки: n>2 это одно из ограничений. Ваше последнее удобное вам неравенство должно быть выполнено не обязательно для всех n>2 (числа, найденного ранее), а для всех n> какого-то числа, например 10. Если бы это число было не 10, а 1<2, тогда в ответе писали бы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?N\left(\varepsilon  \right):=max\left{2;\: ...\right}, а так как 10>2, то в ответе пишем http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?N\left(\varepsilon  \right):=max\left{10;\: ...\right}
2
Mysterious Light
Эксперт по математике/физике
4015 / 1976 / 403
Регистрация: 19.07.2009
Сообщений: 3,000
Записей в блоге: 21
10.09.2016, 14:30 3
Цитата Сообщение от NEvOl Посмотреть сообщение
Вопрос такой, на основе каких размышлений производится оценка ?
Оценка справедлива, потому что сначала мы увеличили числитель и уменшили знаменатель (n>0), а затем уменшили ещё раз знаменатель на http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n^2-4 из-за ограничения n>2.
Задача оценки любыми способами добиться крайне лёгкого выражения для подбора такого (как правило, большого, причём можно даже брать ещё больше, хуже не будет) N, что для любого n>N исходное неравенство выполняется гарантированно.

upd Прошу прощение, не увидел уже данный ответ.
1
NEvOl
19 / 18 / 1
Регистрация: 13.08.2012
Сообщений: 734
11.09.2016, 16:11  [ТС] 4
Вот хочу уточнить на эту же тему, для понимания.
Дана варианта:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x_n}=\lg(\lg(n))

Нужно показать что она является бесконечно большой при http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n\geq 2 т.е.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left |\lg(\lg(n))\right |>E для http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E>0.
Для http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n\geq 10 имеем
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lg(\lg(n))>E \Rightarrow n>10^{10^E} т.е.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?N(E)=\left [10^{10^E}\right]
но т.к. http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E>0 то
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?N(E)=\left [10^{10^E}\right] > 10 всегда, следовательно для ответа достаточно:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?N(E)=\left [10^{10^E}\right] ?
0
jogano
Модератор
Эксперт по математике/физике
4333 / 2780 / 953
Регистрация: 09.10.2009
Сообщений: 4,968
Записей в блоге: 4
11.09.2016, 16:21 5
Да, достаточно.
Модуль можно было не писать - логарифм логарифма при росте n стремится не к какой-то бесконечности, а именно к http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?+ \infty. Значит, можно было ограничение n>10 на раскрытие модуля с "+" не рассматривать вообще.
Итог: можно было записать, что http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\forall E \in \mathcal{R} \: \exist N\left(E \right)=\left[10^{10^E} \right] \in \mathcal{N} \: \forall n > N\left(E \right): \: \lg \left(\lg n \right)>E
1
11.09.2016, 16:21
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
11.09.2016, 16:21

Нижний предел, верхний предел, sup и inf последовательности
{x}_{n}=(1+\frac{1}{n})^nsin(\frac{\pi n}{4}) вычислил {x}_{8k}=0....

Вычислить предел, используя второй замечательный предел
\lim_{x\rightarrow inf}{(\frac{x^2+4}{x^2-2x+3})}^{-x^2}=\lim_{x\rightarrow...

Найти предел, применяя замечательный предел


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
5
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru