@Zauberbiest

Доброго времени суток.

Имеется фигура, ограниченная двумя линиями, заданными как:

Поверхностную плотность считать равной единице.
Нужно определить координаты центра тяжести этой фигуры, с помощью двойного интеграла.

В данном случае этот центр должен совпадать с геометрическим центром фигуры.
Так как же его найти?
Какой интеграл нужно взять в данном случае?

Добавлено через 2 часа 49 минут
"Координаты центра масс однородной плоской фигуры можно вычислить по формулам (следствие из теорем Паппа — Гульдина):





где — объём тела, полученного вращением фигуры вокруг соответствующей оси, — площадь фигуры." (c) Википедия

0

@Symon

1

@jogano

Вы разбиваете вашу фигуру вертикальными линиями на узкие полоски с высотой, равной разности между верхней и нижней функциями и толщиной dx. В случае однородной плотности масса этой полоски равна , а в случае неоднородной , умножаете эту малую массу на х-координату этой полоски, т.е. на х и складываете все такие произведения, т.е. берёте интеграл по х, получаете
. Размерность этой величины - кг*м (можно сказать, это момент массы). А чтобы найти абсциссу центра тяжести, вам нужно этот момент массы разделить на массу всей области, т.е. разделить на (у вас пластинка однородная, поэтому ).
Точно так же делаете, чтобы найти ординату центра масс, только внешний интеграл будет по y, и разбивать пластинку вы будете на горизонтальные полоски, найдя функции границ пластинки . А М то же самое.

2

@Zauberbiest

Похоже на то, что я не верно (неподумав) использовал приведенные вами формулы.

Вот область, ограниченная заданными в условии линиями:



А интегралы я брал по граничным значениям y которые просто-напросто выразил из уравнений этих линий. Т.е. для всех x от -3 до 3. Но, получив странные результаты (и в итоге построив-таки фигуру, эхх), я (кажется) прозрел.

Я ведь правильно понимаю, что нужно разбивать интегралы на части, вроде при x от -3 до 0 берем пределы интегрирования по y1=y2 = y, выраженное из уравнения для эллипса, а для части x от 0 до 3 берем верхний предел по у из уравнения эллипса, а нижний y из уравнения прямой? Потом, соовтетсвенно, интегралы М и момента массы по указанным пределам складываются каждый со своей половиной и именно их нужно использовать в приведенных вами формулах?

Прошу извенить за столь нубский вопрос. Просто я хочу убедиться, что я, не смотря на свои тормоза, правильно это понял.

0

@jogano

ЕСЛИ ваша область верхняя (что совсем не ясно из вашего условия, я решал для нижней), то да, разбивать на несколько интегралов, если уравнения хотя бы одной границы (верхней или нижней) разные.

1

@Symon

Решение на маткаде

1

@Zauberbiest

Действительно, нужно брать нижнюю область. Еще один мой косяк
В общем мне-таки удалось получить массу фигуры
И это, как видно по чертежу, так и есть. Ахахах) Мне самому смешно от моих приключений

0