Доказать равенство нулю второй и третьей производной

@Генрисон · Регистрация: 30.10.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Дано, что f - вещественно-значная функция на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?[0,\infty]$ и сказано, что
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow \infty}f'''(x)=0$
Нужно доказать, что предел первой и второй производной, так же на бесконечности равны нулю.

Мои мысли таковы:
Если рассматривать предел частного многочлена на бесконечности и брать такой их "класс" , в котором степень числителя меньше степени знаменателя, то доказательство выходит довольно простым, но ведь это всего лишь частный случай, а как можно обобщить ?

Байт · 10.10.2016, 17:22

Может быть попробовать через теоремы Ролля-Лагранжа?... Но это только домыслы...

@Symon · 10.10.2016, 18:05

Сообщение от Генрисон

предел первой и второй производной, так же на бесконечности равны нулю.

Вариант. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to \infty}f(x)=0 \Rightarrow \lim\frac{f(x)}{x}=0$
С другой стороны по правилу Лопиталя $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim\frac{f(x)}{x}=\lim\frac{f^'(x)}{1}$ .

Байт · 10.10.2016, 18:50

Сообщение от Symon

другой стороны по правилу Лопиталя

Не-а. Некорректно. Для применения правила Лопиталя надо, чтобы оба предела были 0

Добавлено через 6 минут
Вот пример f(x) = sin x²/x

@Symon · 10.10.2016, 19:18

Сообщение от Байт

Не-а

Я хотел сказать:1. По правилу Лопиталя $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{f(x)}{1/x} \sim \frac{f^'(x)}{-1/x^2}$ при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\to\infty$ или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x) \sim -x\cdot f^'(x) \Rightarrow f^'(x)\to 0$ , так как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)\to 0$
2. Повторить то же самое для f`(x)

Байт · 10.10.2016, 20:51

Symon, я даже не стал разбираться в вашем выводе того, что f(x) -> 0 => f'(x) -> 0. Искать там ошибку. Потому ка ошибка точно есть. См.пример в посте 4. А ошибку, имхо, вы сами должны найти.

@Igor · 10.10.2016, 21:22

Можно так (пользуясь теоремой о среднем для определенного интеграла):
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{x}^{x+1}f'(t)dt=f'(x+\theta)=f(x+1)-f(x),\ \theta \in [0,1].$

Добавлено через 7 минут
Для чего здесь дано $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\rightarrow \infty }f'''(x)=0$ не очень понятно...
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{x}^{x+1}f''(t)dt=f''(x+\xi)=f'(x+1)-f'(x).$

Байт · 10.10.2016, 21:56

Igor, но все это для НЕКОТОРЫХ тэта и кси. То есть вы доказали, что есть последовательность x_n, что f'(x_n) -> 0

@Igor · 10.10.2016, 22:17

Байт, а никто не мешает сделать замену $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\rightarrow \infty }f(x+\theta)=\lim_{t\rightarrow \infty }f(t).$

Байт · 10.10.2016, 22:23

Сообщение от Igor

сделать замену

Ваши тау на каждом отрезке разные.
И, пожалуйста, имейте в виду пример из поста 4.
А то вы с Symon все пытаетесь доказать неверное утверждение f(x) -> 0 => f'(x) -> 0

Сообщение от Igor

Для чего здесь дано f'''->0 не очень понятно...

Видимо, без него ничего не получится. Может быть хватило бы и f''->0

@Igor · 10.10.2016, 23:01

Байт, ах да, согласен!

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	10.10.2016, 23:01	11
	Байт, ах да, согласен! 0

@Генрисон 4 / 3 / 1 Регистрация: 30.10.2012 Сообщений: 347
		1
	Доказать равенство нулю второй и третьей производной 10.10.2016, 17:12. Показов 478. Ответов 10 Метки нет (Все метки) Дано, что f - вещественно-значная функция на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?[0,\infty]$ и сказано, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow \infty}f'''(x)=0$ Нужно доказать, что предел первой и второй производной, так же на бесконечности равны нулю. Мои мысли таковы: Если рассматривать предел частного многочлена на бесконечности и брать такой их "класс" , в котором степень числителя меньше степени знаменателя, то доказательство выходит довольно простым, но ведь это всего лишь частный случай, а как можно обобщить ? 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	10.10.2016, 17:22	2
	Может быть попробовать через теоремы Ролля-Лагранжа?... Но это только домыслы... 0

@Symon $Эксперт по математике/физике$ 2615 / 2229 / 684 Регистрация: 29.09.2012 Сообщений: 4,578 Записей в блоге: 13
	10.10.2016, 18:05	3
	Сообщение от Генрисон предел первой и второй производной, так же на бесконечности равны нулю. Вариант. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to \infty}f(x)=0 \Rightarrow \lim\frac{f(x)}{x}=0$ С другой стороны по правилу Лопиталя $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim\frac{f(x)}{x}=\lim\frac{f^'(x)}{1}$ . 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	10.10.2016, 18:50	4
	Сообщение от Symon другой стороны по правилу Лопиталя Не-а. Некорректно. Для применения правила Лопиталя надо, чтобы оба предела были 0 Добавлено через 6 минут Вот пример f(x) = sin x²/x 1

@Symon $Эксперт по математике/физике$ 2615 / 2229 / 684 Регистрация: 29.09.2012 Сообщений: 4,578 Записей в блоге: 13
	10.10.2016, 19:18	5
	Сообщение от Байт Не-а Я хотел сказать:1. По правилу Лопиталя $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{f(x)}{1/x} \sim \frac{f^'(x)}{-1/x^2}$ при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\to\infty$ или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x) \sim -x\cdot f^'(x) \Rightarrow f^'(x)\to 0$ , так как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)\to 0$ 2. Повторить то же самое для f`(x) 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	10.10.2016, 20:51	6
	Symon, я даже не стал разбираться в вашем выводе того, что f(x) -> 0 => f'(x) -> 0. Искать там ошибку. Потому ка ошибка точно есть. См.пример в посте 4. А ошибку, имхо, вы сами должны найти. 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	10.10.2016, 21:22	7
	Можно так (пользуясь теоремой о среднем для определенного интеграла): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{x}^{x+1}f'(t)dt=f'(x+\theta)=f(x+1)-f(x),\ \theta \in [0,1].$ Добавлено через 7 минут Для чего здесь дано $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\rightarrow \infty }f'''(x)=0$ не очень понятно... $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{x}^{x+1}f''(t)dt=f''(x+\xi)=f'(x+1)-f'(x).$ 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	10.10.2016, 21:56	8
	Igor, но все это для НЕКОТОРЫХ тэта и кси. То есть вы доказали, что есть последовательность x_n, что f'(x_n) -> 0 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	10.10.2016, 22:17	9
	Байт, а никто не мешает сделать замену $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\rightarrow \infty }f(x+\theta)=\lim_{t\rightarrow \infty }f(t).$ 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	10.10.2016, 22:23	10
	Сообщение от Igor сделать замену Ваши тау на каждом отрезке разные. И, пожалуйста, имейте в виду пример из поста 4. А то вы с Symon все пытаетесь доказать неверное утверждение f(x) -> 0 => f'(x) -> 0 Сообщение от Igor Для чего здесь дано f'''->0 не очень понятно... Видимо, без него ничего не получится. Может быть хватило бы и f''->0 1