Формула Тейлора n-го порядка для функции

@Pewpewpewpew · Регистрация: 09.07.2016

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте.
Где можно прочитать о таком разложении поподробнее?
Как, например, раскладывается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{x}$ , x=-1 до n-го члена? Или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{1+sin(x)}$ с остаточным членом Пеано?

Ну для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{x}$ , я нашел производные для 3 включительно. Кажется, закономерность следующая:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(-1)}^{n-1}*\frac{(n-1)!}{{x}^{n}}$

Что делать дальше? Прошу помощи

Добавлено через 1 час 13 минут
Правильная формула для n-го члена производной $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(-1)}^{n}*\frac{(n-1)!}{{x}^{n+1}}$

Добавлено через 23 минуты
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(-1)}^{n}*\frac{(n)!}{{x}^{n+1}}$

Добавлено через 7 минут
Правильно?
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{x}=-2-x-{(x+1)}^{2}-{(x+1)}^{3}+...+\frac{{(-1)}^{n}}{{x}^{n+1}}*{(x+1)}^{n}$

@jogano · 09.01.2017, 13:33

"n-й член производной" не понятно что такое, если производная не представляет собой ряда. В вашем случае вы ищете n-ю производную функции. Ваша последняя версия правильная: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\frac{1}{x} \right)^{\left(n \right)}=\frac{\left(-1 \right)^n n!}{x^{n+1}}$
Дальше вычисляете её в точке разложения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0$ (у вас это -1), делите на n! и умножаете на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left( x-x_0\right)^n$ . Выйдет одно слагаемое ряда Тейлора. Делаете сам ряд и получится $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\sum_{n\geq 0}\left( x+1\right)^n$ . А где прочитать: хотя бы в классике жанра Фихтенгольце "Курс дифференциального и интегрального исчисления" том 1 глава 3 "Производные и дифференциалы" #5 "Формула Тейлора". Или в Вики "Ряд Тейлора".

@Pewpewpewpew · 10.01.2017, 10:15 **[ТС]**

Смотрел Фихтенгольца, но там без примеров. И все равно остаются вопросы.

Непонятно, почему от косинуса перешли к синусу. Дальше. Разве необязательно понижать степень у синуса? Смотрите вложение.
Вот еще $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{-sin(x)}^{2}$ разложили, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{sin(x)}^{4}}{2}$ тоже, почему тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{sin(x)}^{6}}{3}$ просто записали как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{x}^{6}}{3}$ ?

При вычислении пределов ф. Тейлора непонятно до какого члена раскладывать, чтобы все сократилось.

@Pewpewpewpew · 10.01.2017, 10:35 **[ТС]**

*При вычислении пределов с помощью ф. Тейлора

@jogano · 10.01.2017, 15:00

Сообщение от Pewpewpewpew

почему от косинуса перешли к синусу

Чтобы получить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\ln \left(1+t\left(x \right) \right)$ , разложение которого при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t\left(x \right) \to 0$ известно.

Сообщение от Pewpewpewpew

Разве необязательно понижать степень у синуса?

Степень у синуса понижается через косинус удвоенного аргумента, при этом возникают два слагаемых, которые нужно возводить в степень, что усложняет выражение. И как-то менять косинус (после понижения степени синуса) на степени самого аргумента х. Проще менять $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin ^k x \sim x^k, \: x \to 0$

Сообщение от Pewpewpewpew

Вот еще разложили, тоже, почему тогда просто записали как ?

Раз правое выражение первой строчки имеет порядок малости слагаемых не выше х⁶, то дальше под степенями синуса нужно брать столько слагаемых разложения синуса в ряд Маклорена, чтобы порядок малости тоже не превышал х⁷. Например, решили вы взять при разложении $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin ^6 x$ не одно слагаемое от разложения самого синуса, а больше, т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin ^6 x \approx \left(x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+... \right)^6$ . Так как это равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^6\left(1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+... \right)^6$ , а вам нужно знать точные коэффициенты для степеней х до 7-й включительно (при больших степенях х слагаемые входят в $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?o\left(x^7 \right)$ ), то в скобке больше чем просто 1 нет смысла брать слагаемые. А вот при таком же разложении $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin ^4 x$ и особенно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin ^2 x$ слагаемых разложения самого синуса нужно брать больше. На сколько больше? Это вы распишете сами, если заинтересуетесь, найдя такое минимальное n, чтобы при возведении в степень $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x+x^3+x^5+...+x^{2n+1} \right)^k$ (коэффициенты при степенях х сейчас не важны) слагаемые до $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^7$ считались точно, а выше - не обязательно.

@Pewpewpewpew 4 / 4 / 2 Регистрация: 09.07.2016 Сообщений: 62
		1
	Формула Тейлора n-го порядка для функции 09.01.2017, 13:25. Показов 5840. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Здравствуйте. Где можно прочитать о таком разложении поподробнее? Как, например, раскладывается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{x}$ , x=-1 до n-го члена? Или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{1+sin(x)}$ с остаточным членом Пеано? Ну для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{x}$ , я нашел производные для 3 включительно. Кажется, закономерность следующая: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(-1)}^{n-1}\frac{(n-1)!}{{x}^{n}}$ Что делать дальше? Прошу помощи Добавлено через 1 час 13 минут* Правильная формула для n-го члена производной $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(-1)}^{n}\frac{(n-1)!}{{x}^{n+1}}$ Добавлено через 23 минуты* $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(-1)}^{n}\frac{(n)!}{{x}^{n+1}}$ Добавлено через 7 минут* Правильно? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{x}=-2-x-{(x+1)}^{2}-{(x+1)}^{3}+...+\frac{{(-1)}^{n}}{{x}^{n+1}}*{(x+1)}^{n}$ 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	09.01.2017, 13:33	2
	"n-й член производной" не понятно что такое, если производная не представляет собой ряда. В вашем случае вы ищете n-ю производную функции. Ваша последняя версия правильная: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\frac{1}{x} \right)^{\left(n \right)}=\frac{\left(-1 \right)^n n!}{x^{n+1}}$ Дальше вычисляете её в точке разложения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0$ (у вас это -1), делите на n! и умножаете на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left( x-x_0\right)^n$ . Выйдет одно слагаемое ряда Тейлора. Делаете сам ряд и получится $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\sum_{n\geq 0}\left( x+1\right)^n$ . А где прочитать: хотя бы в классике жанра Фихтенгольце "Курс дифференциального и интегрального исчисления" том 1 глава 3 "Производные и дифференциалы" #5 "Формула Тейлора". Или в Вики "Ряд Тейлора". 1

@Pewpewpewpew 4 / 4 / 2 Регистрация: 09.07.2016 Сообщений: 62
	10.01.2017, 10:15 [ТС]	3
	Смотрел Фихтенгольца, но там без примеров. И все равно остаются вопросы. Непонятно, почему от косинуса перешли к синусу. Дальше. Разве необязательно понижать степень у синуса? Смотрите вложение. Вот еще $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{-sin(x)}^{2}$ разложили, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{sin(x)}^{4}}{2}$ тоже, почему тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{sin(x)}^{6}}{3}$ просто записали как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{x}^{6}}{3}$ ? При вычислении пределов ф. Тейлора непонятно до какого члена раскладывать, чтобы все сократилось. Миниатюры 0

@Pewpewpewpew 4 / 4 / 2 Регистрация: 09.07.2016 Сообщений: 62
	10.01.2017, 10:35 [ТС]	4
	*При вычислении пределов с помощью ф. Тейлора 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	10.01.2017, 15:00	5
	Сообщение от Pewpewpewpew почему от косинуса перешли к синусу Чтобы получить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\ln \left(1+t\left(x \right) \right)$ , разложение которого при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t\left(x \right) \to 0$ известно. Сообщение от Pewpewpewpew Разве необязательно понижать степень у синуса? Степень у синуса понижается через косинус удвоенного аргумента, при этом возникают два слагаемых, которые нужно возводить в степень, что усложняет выражение. И как-то менять косинус (после понижения степени синуса) на степени самого аргумента х. Проще менять $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin ^k x \sim x^k, \: x \to 0$ Сообщение от Pewpewpewpew Вот еще разложили, тоже, почему тогда просто записали как ? Раз правое выражение первой строчки имеет порядок малости слагаемых не выше х⁶, то дальше под степенями синуса нужно брать столько слагаемых разложения синуса в ряд Маклорена, чтобы порядок малости тоже не превышал х⁷. Например, решили вы взять при разложении $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin ^6 x$ не одно слагаемое от разложения самого синуса, а больше, т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin ^6 x \approx \left(x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+... \right)^6$ . Так как это равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^6\left(1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+... \right)^6$ , а вам нужно знать точные коэффициенты для степеней х до 7-й включительно (при больших степенях х слагаемые входят в $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?o\left(x^7 \right)$ ), то в скобке больше чем просто 1 нет смысла брать слагаемые. А вот при таком же разложении $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin ^4 x$ и особенно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin ^2 x$ слагаемых разложения самого синуса нужно брать больше. На сколько больше? Это вы распишете сами, если заинтересуетесь, найдя такое минимальное n, чтобы при возведении в степень $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x+x^3+x^5+...+x^{2n+1} \right)^k$ (коэффициенты при степенях х сейчас не важны) слагаемые до $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^7$ считались точно, а выше - не обязательно. 1