Доказать сходимость через определение и найти сумму ряда

@staccy · Регистрация: 26.12.2016

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\propto}\frac{{(-1)}^{n}+3}{{3}^{n}}$
Помогите решить, не знаю как доказать сходимость

@Ellipsoid · 08.03.2017, 16:43

Найдите сумму рядов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( -\frac{1}{3} \right)^n$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n-1}}$ , сложите их, получите сумму исходного ряда. Тем самым сходимость будет доказана.

@staccy · 08.03.2017, 17:28 **[ТС]**

Ellipsoid, не понимаю

@Ellipsoid · 08.03.2017, 19:49

Что именно? Второй ряд - геометрическая прогрессия, частичная сумма первого легко находится методом приведения.

@staccy · 08.03.2017, 20:27 **[ТС]**

Ellipsoid, как это доказательство связано с определением сходимости?

Добавлено через 20 минут
Ellipsoid, и как получился второй ряд?

@Ellipsoid · 08.03.2017, 22:33

Сообщение от staccy

как это доказательство связано с определением сходимости?

Сходимость ряда эквивалентна наличию у него суммы.

Сообщение от staccy

как получился второй ряд?

Геометрическая прогрессия (бесконечно убывающая).

@staccy · 09.03.2017, 09:13 **[ТС]**

Ellipsoid, имелось ввиду как получилось такое разложение, что второй ряд такой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{{3}^{n-1}}$ ?

Байт · 09.03.2017, 13:35

Сообщение от Ellipsoid

Второй ряд - геометрическая прогрессия, частичная сумма первого легко находится методом приведения.

Имхо, первый ряд - тоже геометрическая прогрессия.

Сообщение от Ellipsoid

Сходимость ряда эквивалентна наличию у него суммы.

Я бы сказал "наличию предела частичных сумм"
А выражение для частичных сумм геометрической прогрессии проходится в школе, не помню уже в каком классе, при изучении соответствующей темы...

Сообщение от staccy

как получилось такое разложение,

3/3ⁿ = 1/3^n-1
Да, случай запущенный...

@palva · 09.03.2017, 13:57

Если написано, что доказывать сходимость надо по определению, то можно попробовать так:
1. Написать частичную сумму от 1 до n.
2. Разбить каждое слагаемое на два в соответствии с тем, что числитель является суммой двух слагаемых.
3. Нечетные слагаемые переставить в начало, четные -- в конец.
4. Обнаружить, что первая и вторая половины образуют геометрическую прогрессию.
5. Применить два раза формулу суммы геометрической прогрессии и получить формулу для частичной суммы ряда.
6. В формуле устремить n к бесконечности и посчитать предел.
7. Если предел существует, ряд сходится. Если предел удалось вычислить, то вы вычислили сумму ряда.
Напишите, в каком пункте у вас возникли трудности.

@staccy 0 / 0 / 1 Регистрация: 26.12.2016 Сообщений: 50
		1
	Доказать сходимость через определение и найти сумму ряда 08.03.2017, 16:01. Показов 1397. Ответов 8 Метки ряд (Все метки) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\propto}\frac{{(-1)}^{n}+3}{{3}^{n}}$ Помогите решить, не знаю как доказать сходимость 0

@Ellipsoid 1891 / 1472 / 173 Регистрация: 16.06.2012 Сообщений: 3,342
	08.03.2017, 16:43	2
	Сообщение было отмечено staccy как решение Решение Найдите сумму рядов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( -\frac{1}{3} \right)^n$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n-1}}$ , сложите их, получите сумму исходного ряда. Тем самым сходимость будет доказана. 1

@staccy 0 / 0 / 1 Регистрация: 26.12.2016 Сообщений: 50
	08.03.2017, 17:28 [ТС]	3
	Ellipsoid, не понимаю 0

@Ellipsoid 1891 / 1472 / 173 Регистрация: 16.06.2012 Сообщений: 3,342
	08.03.2017, 19:49	4
	Что именно? Второй ряд - геометрическая прогрессия, частичная сумма первого легко находится методом приведения. 0

@staccy 0 / 0 / 1 Регистрация: 26.12.2016 Сообщений: 50
	08.03.2017, 20:27 [ТС]	5
	Ellipsoid, как это доказательство связано с определением сходимости? Добавлено через 20 минут Ellipsoid, и как получился второй ряд? 0

@Ellipsoid 1891 / 1472 / 173 Регистрация: 16.06.2012 Сообщений: 3,342
	08.03.2017, 22:33	6
	Сообщение от staccy как это доказательство связано с определением сходимости? Сходимость ряда эквивалентна наличию у него суммы. Сообщение от staccy как получился второй ряд? Геометрическая прогрессия (бесконечно убывающая). 0

@staccy 0 / 0 / 1 Регистрация: 26.12.2016 Сообщений: 50
	09.03.2017, 09:13 [ТС]	7
	Ellipsoid, имелось ввиду как получилось такое разложение, что второй ряд такой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{{3}^{n-1}}$ ? 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	09.03.2017, 13:35	8
	Сообщение от Ellipsoid Второй ряд - геометрическая прогрессия, частичная сумма первого легко находится методом приведения. Имхо, первый ряд - тоже геометрическая прогрессия. Сообщение от Ellipsoid Сходимость ряда эквивалентна наличию у него суммы. Я бы сказал "наличию предела частичных сумм" А выражение для частичных сумм геометрической прогрессии проходится в школе, не помню уже в каком классе, при изучении соответствующей темы... Сообщение от staccy как получилось такое разложение, 3/3ⁿ = 1/3^n-1 Да, случай запущенный... 1

@palva 4240 / 2937 / 687 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,817 Записей в блоге: 4
	09.03.2017, 13:57	9
	Если написано, что доказывать сходимость надо по определению, то можно попробовать так: 1. Написать частичную сумму от 1 до n. 2. Разбить каждое слагаемое на два в соответствии с тем, что числитель является суммой двух слагаемых. 3. Нечетные слагаемые переставить в начало, четные -- в конец. 4. Обнаружить, что первая и вторая половины образуют геометрическую прогрессию. 5. Применить два раза формулу суммы геометрической прогрессии и получить формулу для частичной суммы ряда. 6. В формуле устремить n к бесконечности и посчитать предел. 7. Если предел существует, ряд сходится. Если предел удалось вычислить, то вы вычислили сумму ряда. Напишите, в каком пункте у вас возникли трудности. 1

Доказать сходимость через определение и найти сумму ряда

Решение