Площадь поверхности

@oobarbazanoo · Регистрация: 13.05.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Подскажите, пожалуйста, как посчитать площадь поверхности с помощью двойного интеграла и что такое дифференциал поверхности.

@Nacuott · 01.04.2017, 17:28

oobarbazanoo , ГУГЛ вам забанили?

@Symon · 01.04.2017, 17:41

Сообщение от oobarbazanoo

как посчитать площадь поверхности с помощью двойного интеграла

Формулы вычисления площадей поверхности есть в любом учебнике. Подынтегральное выражение в этом интеграле - эт и есть дифференциал площади поверхности.

Байт · 02.04.2017, 21:02

https://ru.wikipedia.org/wiki/... 1%82%D0%B8

Добавлено через 7 минут

Сообщение от oobarbazanoo

что такое дифференциал поверхности.

Пусть поверхность задана уравнением z = f(x,y)
Над квадратиком (x, y, x+deltax, y+deltay) площади как-то выражается, является функцией от x, y, deltax, deltay
Ее линейная часть относительно deltax, deltay называется дифференциалом поверхности. Только вместо deltax, deltay пишут dx, dy. Аналогия с дифференциалом функции одной переменной - полная.

@oobarbazanoo · 03.04.2017, 20:58 **[ТС]**

Байт, а не подскажете, пожалуйста, где можно это в подробностях найти? Искал в первых двух томах Фихтенгольца, не нашёл.

Добавлено через 17 минут
Байт, http://www.math24.ru/%D0%BF%D0... D0%B0.html
Это вроде бы достаточно обширное раскрытие темы. Может тут что-либо важное упущено?

Байт · 03.04.2017, 21:06

Сообщение от oobarbazanoo

Это вроде бы достаточно обширное раскрытие темы. Может тут что-либо важное упущено?

Вроде бы, да. И картинки красивые. Лично мне добавить нечего.

@oobarbazanoo · 03.04.2017, 21:06 **[ТС]**

В моей ссылке напрочь отсутствует доказательство. )з

@jogano · 05.04.2017, 04:14

oobarbazanoo, доказательство чего? Текст до первого рисунка и есть вывод формулы площади поверхности. Но для этого ж нужно знать, что такое векторное произведение (его геометрический смысл)...

Сообщение от oobarbazanoo

Искал в первых двух томах Фихтенгольца, не нашёл.

Не добрались до следующего тома. Том III Глава 17 #3 "Поверхностные интегралы первого типа"

@oobarbazanoo · 05.04.2017, 20:56 **[ТС]**

Байт, http://glaznev.sibcity.ru/1kur... ek_kr5.htm
Подскажите, пожалуйста, выражение под корнем и есть дифференциалом поверхности?

Байт · 08.04.2017, 23:23

Сообщение от oobarbazanoo

Подскажите, пожалуйста, выражение под корнем и есть дифференциалом поверхности?

Я не могу догадаться, какое именно выражение вы имеете в виду. Но как бы то ни было, это не совсем так.
Дифференциал поверхности = Выражение*dx*dy
Где "Выражение" - некоторая функция. В данном случае = корню из вот таких вот штук.

@oobarbazanoo · 11.04.2017, 16:52 **[ТС]**

Байт, пускай d - дифференциал поверхности, тогда если поставим знак двойного интеграла перед d, то получим площадь поверхности. Верно?

Добавлено через 1 минуту
Байт, Подскажите, пожалуйста, зачем тут в доказательстве http://glaznev.sibcity.ru/1kur... ek_kr5.htm угол между нормалью и осью Oz.

Байт · 11.04.2017, 17:51

Сообщение от oobarbazanoo

пускай d - дифференциал поверхности, тогда если поставим знак двойного интеграла перед d, то получим площадь поверхности. Верно?

Да!

Добавлено через 4 минуты

Сообщение от oobarbazanoo

зачем тут в доказательстве ... угол между нормалью и осью Oz.

Но этот угол ведь используется! Именно, отношение площади элементарной площадки поверхности к площади площадки на Oxy под ней - это как раз 1/косинус этого угла. Полный аналог двумерного случая.

@oobarbazanoo · 11.04.2017, 21:45 **[ТС]**

Байт, что Вы понимаете под элементарной площадкой? Криволинейный параллелограмм, который является частью поверхности непосредственно или полноценный параллелограмм, который находится немного выше или ниже реальной поверхности и становится равным ей при граничном переходе?

Добавлено через 2 минуты
Байт,

Не по теме:

Сначала засомневался в том, что криволинейный интеграл правильное название для данной фигуры, но потом отбросил свои сомнения, так как jogano использует данное словосочетание вот в этом топике Угол между нормалью и осью z

Байт · 11.04.2017, 22:19

oobarbazanoo, Все просто. Сначала мы занимаемся элементарной конечной геометрией. И считаем часть поверхности плоской фигурой. А потом переходим к пределу...

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	08.04.2017, 23:23	10
	Сообщение было отмечено oobarbazanoo как решение Решение Сообщение от oobarbazanoo Подскажите, пожалуйста, выражение под корнем и есть дифференциалом поверхности? Я не могу догадаться, какое именно выражение вы имеете в виду. Но как бы то ни было, это не совсем так. Дифференциал поверхности = Выражениеdxdy Где "Выражение" - некоторая функция. В данном случае = корню из вот таких вот штук. 1

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	11.04.2017, 17:51	12
	Сообщение от oobarbazanoo пускай d - дифференциал поверхности, тогда если поставим знак двойного интеграла перед d, то получим площадь поверхности. Верно? Да! Добавлено через 4 минуты Сообщение от oobarbazanoo зачем тут в доказательстве ... угол между нормалью и осью Oz. Но этот угол ведь используется! Именно, отношение площади элементарной площадки поверхности к площади площадки на Oxy под ней - это как раз 1/косинус этого угла. Полный аналог двумерного случая. 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
		1
	Площадь поверхности 01.04.2017, 16:27. Показов 2646. Ответов 13 Метки нет (Все метки) Подскажите, пожалуйста, как посчитать площадь поверхности с помощью двойного интеграла и что такое дифференциал поверхности. 0

@Nacuott 1806 / 1001 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,922 Записей в блоге: 12
	01.04.2017, 17:28	2
	oobarbazanoo , ГУГЛ вам забанили? 1

@Symon $Эксперт по математике/физике$ 2615 / 2229 / 684 Регистрация: 29.09.2012 Сообщений: 4,578 Записей в блоге: 13
	01.04.2017, 17:41	3
	Сообщение от oobarbazanoo как посчитать площадь поверхности с помощью двойного интеграла Формулы вычисления площадей поверхности есть в любом учебнике. Подынтегральное выражение в этом интеграле - эт и есть дифференциал площади поверхности. 1

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	02.04.2017, 21:02	4
	https://ru.wikipedia.org/wiki/... 1%82%D0%B8 Добавлено через 7 минут Сообщение от oobarbazanoo что такое дифференциал поверхности. Пусть поверхность задана уравнением z = f(x,y) Над квадратиком (x, y, x+deltax, y+deltay) площади как-то выражается, является функцией от x, y, deltax, deltay Ее линейная часть относительно deltax, deltay называется дифференциалом поверхности. Только вместо deltax, deltay пишут dx, dy. Аналогия с дифференциалом функции одной переменной - полная. 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	03.04.2017, 20:58 [ТС]	5
	Байт, а не подскажете, пожалуйста, где можно это в подробностях найти? Искал в первых двух томах Фихтенгольца, не нашёл. Добавлено через 17 минут Байт, http://www.math24.ru/%D0%BF%D0... D0%B0.html Это вроде бы достаточно обширное раскрытие темы. Может тут что-либо важное упущено? 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	03.04.2017, 21:06	6
	Сообщение от oobarbazanoo Это вроде бы достаточно обширное раскрытие темы. Может тут что-либо важное упущено? Вроде бы, да. И картинки красивые. Лично мне добавить нечего. 0

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	03.04.2017, 21:06 [ТС]	7
	В моей ссылке напрочь отсутствует доказательство. )з 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	05.04.2017, 04:14	8
	oobarbazanoo, доказательство чего? Текст до первого рисунка и есть вывод формулы площади поверхности. Но для этого ж нужно знать, что такое векторное произведение (его геометрический смысл)... Сообщение от oobarbazanoo Искал в первых двух томах Фихтенгольца, не нашёл. Не добрались до следующего тома. Том III Глава 17 #3 "Поверхностные интегралы первого типа" 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	05.04.2017, 20:56 [ТС]	9
	Байт, http://glaznev.sibcity.ru/1kur... ek_kr5.htm Подскажите, пожалуйста, выражение под корнем и есть дифференциалом поверхности? 0

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	11.04.2017, 16:52 [ТС]	11
	Байт, пускай d - дифференциал поверхности, тогда если поставим знак двойного интеграла перед d, то получим площадь поверхности. Верно? Добавлено через 1 минуту Байт, Подскажите, пожалуйста, зачем тут в доказательстве http://glaznev.sibcity.ru/1kur... ek_kr5.htm угол между нормалью и осью Oz. 0

	11.04.2017, 22:19

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	11.04.2017, 21:45 [ТС]	13
	Байт, что Вы понимаете под элементарной площадкой? Криволинейный параллелограмм, который является частью поверхности непосредственно или полноценный параллелограмм, который находится немного выше или ниже реальной поверхности и становится равным ей при граничном переходе? Добавлено через 2 минуты Байт, Не по теме: Сначала засомневался в том, что криволинейный интеграл правильное название для данной фигуры, но потом отбросил свои сомнения, так как jogano использует данное словосочетание вот в этом топике Угол между нормалью и осью z 0

Площадь поверхности

Решение