Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
Математический анализ
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Рейтинг 4.79/202: Рейтинг темы: голосов - 202, средняя оценка - 4.79
STGE
770 / 575 / 324
Регистрация: 17.06.2009
Сообщений: 1,188
#1

Производные и интегралы.

13.12.2010, 01:19. Просмотров 36420. Ответов 13

Всем форумчанам здравия желаю! Данная тема создана из тех побуждений, что многие вопросы из раздела "Математика" относятся или принадлежат (кому как больше нравится) к числу тех, содержание которых ориентировано на просьбы по определению производных и интегралов элементарных и порой достаточно массивных (сложных на первый взгляд, но на самом деле не очень) функций.
Производные f-й с примерами (далее будут представлены производные простейших функций не учитывая такие случаи как sh, ch, cosec и др. (они будут рассмотрены при описании производных сложных функций, т.е. включающих в себя определённое кол-во простых)):

1) производная константы: c' = 0
примеры: 4' = 0; (-0.9578)' = 0; e' = 0; pi' = 0 (где pi = 3.14, e = 2.7 - число Эйлера)
т.е. производная какого-либо конкретного значения или буквы, обозначающей определённую постоянную величину (константу) равна нулю;

2) производная неопределенного параметра x в степени p: (x^p)' = p * x^(p-1) (при p<>0)
примеры: (x^4)' = 4 * x^3; (x^(-1/2))' = -1/2 * x^(-3/2); (x^(1.2))' = 1.2 * x^(0.2);

3) производная константы в степени неопределённого параметра: (c^x)' = c^x * ln(c) (при c>0 и c<>1)
примеры: (4^x)' = 4^x * ln(4); (e^x)' = e^x * ln(e) = e^x;

4) производная натурального логарифма неопределённого параметра: (ln(x))'=1/x;

5) производная sin неопределённого параметра: (sin(x))' = cos(x);

6) производная cos неопределённого параметра: (cos(x))' = -sin(x);

7) производная tg неопределённого параметра: (tg(x))' = 1/(cos(x))^2;

8) производная ctg неопределённого параметра: (ctg(x))' = -1/(sin(x))^2;

9) производная произвольного логарифма: logc(x) = 1/(x * ln(c)) (при c>0 и c<>1);

10) производная arcsin неопределённого параметра: (arcsin(x))' = 1/sqrt(1 - x^2) (где sqrt - квадратный корень);

11) производная arccos неопределённого параметра: (arccos(x))' = -1/sqrt(1 - x^2);

12) производная arctg неопределённого параметра: (arctg(x))' = 1/(1 + x^2);

13) производная arcctg неопределённого параметра: (arcctg(x))' = -1/(1 + x^2);

Надеюсь моя тема была достаточно информативной и полезной для вас, уважаемые. Я рассчитываю, что вы будете вносить в неё свои дополнения и коррективы.
Далее будут описаны правила дифференцирования (нахождения производной функции) для функций общего вида (в т.ч. содержащих операции сложения, вычитания, умножения и деления)...
13
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
13.12.2010, 01:19
Ответы с готовыми решениями:

Контрольная: пределы, производные, интегралы!
Срочно нужна помощь в решении, помогите чем можете пожалуйста!

Книги по матану(Двойные интегралы, поверхностные интегралы)
Смотрела в теме Книги по мат.анализу, подходящую почему-то не нашла. Нужна...

Интегралы/Двойные интегралы
Помогите, пожалуйста с интегралами. Все, что Вы видите нужно... по порядку с...

Производные
Нужно найти производную, и объяснить как она находится. Вот пример:

Производные dx dy
НЕLP!!!! Так не вкладывается напишите мыло отправлю

13
IIIa66uMEM6eP
заставил Бендера
842 / 308 / 16
Регистрация: 05.12.2010
Сообщений: 1,662
Записей в блоге: 6
13.12.2010, 01:28 #2
есть еще. советую прикрепить модераторам тему.
от себя добавлю в удобном виде:
http://hm.bstu.ru/shared/attachments/24248
http://hm.bstu.ru/shared/attachments/24249
0
STGE
770 / 575 / 324
Регистрация: 17.06.2009
Сообщений: 1,188
13.12.2010, 15:41  [ТС] #3
I. дифференцирование произведения: (f(x) * u(x))' = f'(x) * u(x) + f(x) * u'(x) (в частности (c * f(x))' = c' * f(x) + c * f'(x) = c * f'(x) , где c - константа)

примеры:

1) (sin(x) * 2^x)' = (sin(x))' * 2^x + sin(x) * (2^x)' = cos(x) * 2^x + sin(x) * 2^x * ln(x);

2) (x^2 * cos(x))' = (x^2)' * cos(x) + x^2 * (cos(x))' = 2 * x * cos(x) + x^2 * (-sin(x)) = 2 * x * cos(x) - x^2 * sin(x);

3) e^x * arcsin(x) * ctg(x) - в производной данного произведения также нет ничего сложного; будем действовать по принципу "производная произведения равна сумме произведений производной каждого (поочерёдно) множителя на остальные элементы произведения" (не особо доверяйте этому определению, т.к. я не очень уверен в его правильности, но тем не менее можете обратить на него определённую долю своего внимания), т.е. в нашем случае это будет выглядеть так:
пусть
e^x = f1(x); arcsin(x) = f2(x); ctg(x) = f3(x) =>
=> (f1(x) * f2(x) * f3(x))' = f1'(x) * f2(x) * f3(x) + f1(x) * f2'(x) * f3(x) + + f1(x) * f2(x) * f3'(x)

далее все вернём к исходному виду: (e^x * arcsin(x) * ctg(x))' = (e^x)' * arcsin(x) * ctg(x) +
+ e^x * (arcsin(x))' * ctg(x) + e^x * arcsin(x) * (ctg(x))' = e^x * arcsin(x) * ctg(x) +
+ (e^x * ctg(x))/sqrt(1 - x^2) - (e^x * arcsin(x))/sin(x)^2

итак, попытаемся отобразить в общем виде производную произведения множества f-й:
(f1(x) * f2(x) * ... * fn(x)) = f1'(x) * f2(x) * fn(x) + f1(x) * f2'(x) * ... * fn(x) + ... + f1(x) * f2(x) * ... * fn-1(x) * fn'(x);


II.
дифференцирование отношения: (f(x)/u(x))' = (f'(x) * u(x) - f(x) * u'(x))/(u(x))^2
(в частности (c/f(x))' = (c' * f'(x) - c * f'(x))/(f(x))^2 = ((-c) * f'(x))/(f(x))^2), где c - константа)

примеры:

1) (arctg(x)/x^3)' = (arctg'(x) * x^3 - arctg(x) * (x^3)')/(x^3)^2 = (x^3/(1 + x^2) - 2 * arctg(x) * * x^2)/x^6;

2) (sin(x)/ln(x))' = ((sin(x))' * ln(x) - sin(x) * (ln(x))')/(ln(x))^2 = (cos(x) * ln(x) - sin(x)/x)/(ln(x))^2 =
= (x * cos(x) * ln(x) - sin(x))/((ln(x))^2 * x);

3) ((e^x * log2(x))/tg(x))' = ((e^x * log2(x))' * tg(x) - e^x * log2(x) * (tg(x))')/(tg(x))^2 = (((e^x)' * * log2(x) + e^x * (log2(x))') * tg(x) - e^x * log2(x) * (tg(x))')/(tg(x))^2 = (e^x * (log2(x) + 1/(ln(2) * x)) * tg(x) - (e^x * log2(x))/(cos(x))^2)/(tg(x))^2;

Чтобы в последствии ко мне не было претензий, дам вам один совет: каждый из выше перечисленных примеров перепишите на листок бумаги в более удобном (понятном; точно отражающем суть процесса) для вас формате.


III. производная сложной функции: (f(u(x)))' = f'(u(x)) * u'(x)
но функции могут иметь и более громоздкую структуру (степень вложенности):
f1(f2(...(fn(x)))) = f1'(f2(...(fn(x)))) * f2'(...(fn(x))) * ... * fn'(x)

совокупность вложенных функций мы рассматриваем как один неизвестный параметр, т.е.:
(sin(3 * x))' = |пусть 3 * x = f| = (sin(f))' = cos(f) * f' = |делаем обратную замену: f = 3 * x| =
cos(3 * x) * (3 * x)' = cos (3 * x) * 3 (f - это и есть тот неизвестный параметр, о котором я упоминал ранее)

примеры:

1) (e^(1/2 * x))' = |1/2 * x = f| = (e^f)' * f' = e^f * f' = |обратная замена: f = 1/2 * x| = e^(1/2 * x) * (1/2 * x)' = e^(1/2 * x) * 1/2 = e^(1/2 * x)/2;

2) (ctg(ln(x)))' = |ln(x) = f| = (ctg(f))' * f' = (-1)/(sin(f))^2 * f' = |обратная замена: f = ln(x)| = = (-(ln(x))')/(sin(ln(x)))^2 = (-1)/(x * (sin(ln(x)))^2)


IV. производная суммы и разности функций: (f1(x) ± f2(x) ± ... ± fn(x))' = f1'(x) ± f2'(x) ± ... ± fn'(x)

пример:

(cos(x) + sin(x))' = (cos(x))' + (sin(x))' = -sin(x) + cos(x) = cos(x) - sin(x)

Жду ваших дополнений и вопросов (если таковые имеются).
3
kazak
3057 / 2378 / 255
Регистрация: 11.03.2009
Сообщений: 5,438
Завершенные тесты: 1
13.12.2010, 16:05 #4
Цитата Сообщение от STGE Посмотреть сообщение
(f1(x) * f2(x) * f3(x))' = f1'(x) * f2(x) * f3(x) + f1(x) * f2'(x) * f3(x) + + f1(x) * f2(x) * f3'(x)
Может я что-то не доглядел, но
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot f_3(x))}'={f_1(x)}' \cdot (f_2(x) \cdot f_3(x))+f_1(x) \cdot {(f_2(x) \cdot f_3(x))}'=<br />
={f_1(x)}' \cdot (f_2(x) \cdot f_3(x))+f_1(x) \cdot ({f_2(x)}' \cdot f_3(x)+f_2(x) \cdot {f_3(x)}')
0
STGE
770 / 575 / 324
Регистрация: 17.06.2009
Сообщений: 1,188
13.12.2010, 16:30  [ТС] #5
kazak, раскройте скобочки и результат будет таким же как у меня.
0
kazak
3057 / 2378 / 255
Регистрация: 11.03.2009
Сообщений: 5,438
Завершенные тесты: 1
13.12.2010, 16:31 #6
Цитата Сообщение от STGE Посмотреть сообщение
итак, попытаемся отобразить в общем виде производную произведения множества f-й:
(f1(x) * f2(x) * ... * fn(x)) = f1'(x) * f2(x) * fn(x) + f1(x) * f2'(x) * ... * fn(x) + ... + f1(x) * f2(x) * ... * fn-1(x) * fn'(x);
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(f_1(x) \times f_2(x) \times \cdots \times f_n(x))}'={f_1(x)}' \cdot (f_2(n) \times \cdots \times f_n(x))+f_1(x) \cdot {(f_2(x) \times \cdots \times f_n(x))}'
Далее повторяем для
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(f_2(x) \times \cdots \times f_n(x))}'
потом для
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(f_3(x) \times \cdots \times f_n(x))}'
пока не дойдем до
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(f_{n-1}(x)\times f_n(x))}'
Как будто раскладываем матрешку. Хотя порядок может быть и обратным и вообще произвольным
1
STGE
770 / 575 / 324
Регистрация: 17.06.2009
Сообщений: 1,188
13.12.2010, 16:34  [ТС] #7
Только f(x)' - это неверная запись. Правильнее будет так: (f(x))' или f'(x).
0
kazak
3057 / 2378 / 255
Регистрация: 11.03.2009
Сообщений: 5,438
Завершенные тесты: 1
13.12.2010, 16:41 #8
Цитата Сообщение от STGE Посмотреть сообщение
Правильнее будет так: (f(x))' или f'(x).
Учту
1
melanisa
5 / 5 / 0
Регистрация: 03.02.2011
Сообщений: 152
19.03.2011, 18:52 #9
У меня вопрос по итегрированию достаточно дурацкий,но задать некому . К примеру у меня формула в которой встречается In(3/1,5). Это будет 2x+C?
Это в физике. И интересует интегрирование именно применительно к формулам.
Не знаю,что делать в этом случае с x-ом.
1
STGE
770 / 575 / 324
Регистрация: 17.06.2009
Сообщений: 1,188
27.03.2011, 05:07  [ТС] #10
melanisa, если честно, то я не совсем вас понял. Но возможно это вам поможет:
- (2*x+c)'=2, т.е. интеграл 2 = 2*x+c;
- ln(3/1.5), sin(14.5), e^12 и т.д. - есть константы, при интегрировании которых мы получим выражения следующего вида: константа (ln(3/1.5), sin(14.5), e^12 и т.д.)*x+c (где c - также величина постоянная);
2
A3B5
1221 / 951 / 77
Регистрация: 20.03.2011
Сообщений: 848
28.03.2011, 11:21 #11
Цитата Сообщение от STGE Посмотреть сообщение
... просьбы по определению производных и интегралов ...
Наверное, здесь будет уместна ссылка на таблицы интегралов и производных Двайта: http://www.alleng.ru/d/math/math209.htm.
3
Anthony
0 / 0 / 0
Регистрация: 24.07.2015
30.06.2014, 17:53 #12
Онлайн вычисление интегралов с пошаговым решением на русском языке можно получить вот здесь: http://www.mathforyou.net/IndefInt.html

Добавлено через 6 часов 34 минуты

Добавлено через 1 минуту
Этот онлайн калькулятор находит производные с подробным описанием действий на русском языке, рекомендую!
0
ElenaAmosova
0 / 0 / 0
Регистрация: 15.03.2016
Сообщений: 2
15.03.2016, 08:19 #13
Я пробовала на указанном сайте вычислить и интегралы и производные. Но есть проблема: производную косинуса сайт выдал с плюсом, а должен вроде как с минусом. Возможно, я с калькулятором не разобралась. Пробовала еще на сайте https://algebra24.ru/vychislenie-proizvodnyh вычислить, там кстати все получилось. По крайней мере косинус не подвел, а другое еще и не пробовала.
0
ElenaAmosova
0 / 0 / 0
Регистрация: 15.03.2016
Сообщений: 2
16.03.2016, 21:43 #14
Я пробовала на указанном сайте вычислить и интегралы и производные. Но есть проблема: производную косинуса сайт выдал с плюсом, а должен вроде как с минусом. Возможно, я с калькулятором не разобралась. Пробовала еще на сайте https://algebra24.ru/vychislenie-proizvodnyh посчитать в разделе вычисление производных онлайн, там кстати все получилось. По крайней мере косинус не подвел, а другое еще и не пробовала.
0
16.03.2016, 21:43
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
16.03.2016, 21:43

Производные
Приветствую вас, уважаемые эксперты в области математики. Обращаюсь к вам с...

производные dx/dy
Добрый день! помогите пожалуйста с этими примерами. если есть возможность, то...

Производные Y'x
Вот такое задание. Не понимаю сути задания. Не мог бы кто нибудь расписать,...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
14
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru