Найти сумму ряда

@librain · Регистрация: 03.06.2017

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Найти сумму ряда:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{3}^{\infty} \frac{3n-5}{3n({n}^{2}-1)}$
пробовал разбивать на 2 дроби и раскладывать через метод неопределенных коэффициентов - не получилось, частичную сумму тоже записать не получается, как быть ?

@mathmichel · 25.11.2017, 20:44

Надо найти сначала "первообразную" F(n) для члена ряда: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_n=\frac{3n-5}{n(n^2-1)}$ (тройку пока уберем из знаменателя), чтобы выполнялось условие $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(n+1)-F(n)=a_n$ . Первообразную ищем в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(n)=\frac{an+b}{n(n-1)}$ методом неопределенных коэффициентов, который дает: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(n)=\frac{3n-4}{n(n-1)}$ . Теперь сумму можно подсчитать через предел разности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(N)=F(N)-F(3)$ как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{N\rightarrow \infty }S(N)=\frac {5}{6}$ . Окончательный ответ для заданной суммы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=\frac{5}{18}$

@Symon · 25.11.2017, 21:34

Сообщение от librain

разбивать на 2 дроби

Разбейте на три дроби и во всем ряду сделайте приведение подобных - соберите все дроби с одинаковыми знаменателями. Останутся только три слагаемых.

@mathmichel · 25.11.2017, 22:01

Сообщение от Symon

Останутся только три слагаемых.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(N)=\frac{1}{N-1}-\frac{4}{N}+\frac{5}{6}$

@Symon · 25.11.2017, 23:17

Сообщение от mathidiot

Останутся только три слагаемых.

Я имел в виду во всей сумме останутся такие слагаемые
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{3}(\frac{5}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3})=\frac{5}{18}$

@librain 0 / 0 / 0 Регистрация: 03.06.2017 Сообщений: 16
		1
	Найти сумму ряда 25.11.2017, 19:37. Показов 505. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Найти сумму ряда: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{3}^{\infty} \frac{3n-5}{3n({n}^{2}-1)}$ пробовал разбивать на 2 дроби и раскладывать через метод неопределенных коэффициентов - не получилось, частичную сумму тоже записать не получается, как быть ? 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10442 / 6926 / 3769 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,912
	25.11.2017, 20:44	2
	Надо найти сначала "первообразную" F(n) для члена ряда: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_n=\frac{3n-5}{n(n^2-1)}$ (тройку пока уберем из знаменателя), чтобы выполнялось условие $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(n+1)-F(n)=a_n$ . Первообразную ищем в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(n)=\frac{an+b}{n(n-1)}$ методом неопределенных коэффициентов, который дает: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(n)=\frac{3n-4}{n(n-1)}$ . Теперь сумму можно подсчитать через предел разности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(N)=F(N)-F(3)$ как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{N\rightarrow \infty }S(N)=\frac {5}{6}$ . Окончательный ответ для заданной суммы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=\frac{5}{18}$ 0

@Symon $Эксперт по математике/физике$ 2615 / 2229 / 684 Регистрация: 29.09.2012 Сообщений: 4,578 Записей в блоге: 13
	25.11.2017, 21:34	3
	Сообщение от librain разбивать на 2 дроби Разбейте на три дроби и во всем ряду сделайте приведение подобных - соберите все дроби с одинаковыми знаменателями. Останутся только три слагаемых. 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10442 / 6926 / 3769 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,912
	25.11.2017, 22:01	4
	Сообщение от Symon Останутся только три слагаемых. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(N)=\frac{1}{N-1}-\frac{4}{N}+\frac{5}{6}$ 0

@Symon $Эксперт по математике/физике$ 2615 / 2229 / 684 Регистрация: 29.09.2012 Сообщений: 4,578 Записей в блоге: 13
	25.11.2017, 23:17	5
	Сообщение от mathidiot Останутся только три слагаемых. Я имел в виду во всей сумме останутся такие слагаемые $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{3}(\frac{5}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3})=\frac{5}{18}$ 0