@Falka1

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться. На лекции дали две формулы для эпсилон-окрестности "+" (любое действительное число, которое строго больше 1/эпсилон) и "-" бесконечности (любое действительное число, которое меньше -1/эпсилон). Не могу понять ни откуда это вообще взялось, ни почему это эпсилон-окрестность. Заранее спасибо!

0

@helter

Это понятие ― просто фигура речи. Оно позволяет единообразно давать определения пределов и т. п. и доказывать теоремы как для конечных, так и для бесконечных точек.

В математике часто бывает так, что комбинация слов A и B не имеет смысла, даже если оба этих слова имеют смысл. В таком случае комбинации «A B» могут дать новое, отдельное определение.

Например, есть общее понятие ε-окрестности точки в любом пространстве с расстоянием. Это множество точек пространства, удалённых от данной точки менее, чем на ε.

В соответствии с этим определением существуют ли ε-окрестности плюс бесконечности на числовой прямой? Конечно, нет. Просто потому, что ε-окрестность определяется для точки пространства, а на числовой прямой нет никакой точки «плюс бесконечность». Кстати, на расширенной прямой бесконечности есть, и окрестности у них есть, но расстояние там другое, поэтому ε-окрестности имеют другой смысл.

Однако, если очень хочется, можно определить отдельно понятие «ε-окрестность плюс бесконечности». Как это лучше сделать?

В принципе, если представить прямую в виде интервала (-1, 1), а бесконечности ― в виде его концов, то становится понятно, что интервалы вида (A, +∞) естественно рассматривать в качестве окрестностей +∞. (Кстати, на расширенной прямой эти интервалы являются её проколотыми окрестностями.) Если теперь определить ε-окрестность именно как интервал (1/ε, +∞), то такие окрестности становятся меньше при уменьшении ε, как и обычные ε-окрестности. Поэтому и дают такое определение, и оно приемлемым образом работает.

Всё это очень аккуратно написано в «Функциях одного переменного» Шилова.

3

@Nico1

Объясняя проще:

V(x0, eps) = (x0-eps, x0+eps) - классическое определение eps-окрестности точки x0. Мы знаем, что eps обычно выбирается очень маленький - в мат анализе у нас часто встречаются такие фразы - стремится к нулю, стремится к бесконечности, бесконечно малый, бесконечно большой и т.д. . И чтобы нам исследовать функцию, например, найти предел, нам нужен очень-очень маленький участок. В математической абстракции мы говорим, что берём бесконечно маленький. Это преамбула.

Есть точка +беск. Хочется разобраться, какая у неё eps-окрестность. Eps обычно очень мал - стремится к нулю в идеале, но возьмём для конкретики eps=0.0000001. Хотим найти окрестность бесконечности при eps = 0.0000001. Нам нужна точка, очень близка к плюс бесконечности, но при этом недостигающая её. А что мы получим, если единицу разделим на очень маленький eps? Правильно, почти бесконечность! В данном случае - 1/0.0000001 = 10000000. Чем меньше эпсилон, тем больше число 1/eps, тем ближе левая граница к окрестности точки. А что насчёт правой границы? +бесконечность + невероятно маленький eps = бесконечность. Отсюда берётся правая границы.

0