Перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в двойном интеграле

@Qwka · Регистрация: 13.11.2016

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в двойном интеграле! Задание номер 9!

@slava_psk · 28.11.2018, 08:21

Qwka, в чем сложности?

@Matan! · 28.11.2018, 13:13

Приведу пример первого(дальше попробуйте сами).
Уравнение прямой: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=-x$
уравнение окружности: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x+1)^2+y^2=1$
Параметризуем:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}x=r\cdot cos(t) - 1\\y=r\cdot sin(t) \end{matrix}\right.$
В этих координатах уравнение окружности: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r=1$
уравнение прямой: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r=\frac{1}{sin(t)+cos(t)}$
Обычно задание стоит так: сначала записать интеграл в декартовых координатах, а затем в полярных. В Вашем случае проще.
Если установить часовую стрелку в центре окружности, то при обратном движении стрелка опишет угол от 0 до Pi/2. Радиус меняется от уравнения прямой до уравнения окружности. Итого:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}dt\int_{\frac{1}{sin(t)+cos(t)}}^{1}f(r, t)dr$

@slava_psk · 28.11.2018, 13:59

Matan!, элемент площади $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?rdrd\varphi$

Уравнение окружности : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r=-2cos\varphi$ Для сегмента $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi }{2}\leq \varphi \leq \frac{3\pi }{4}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{4}}d\varphi \int_{0}^{-2cos\varphi }f(r,\varphi) rdr$

Проверяем, если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f\left(r,\varphi \right)=1$ , то получим площадь сегмента.

@Qwka · 08.12.2018, 21:37 **[ТС]**

А можете остальные сделать?

@slava_psk · 08.12.2018, 21:43

да.

Добавлено через 2 минуты
Qwka, отвечайте.

@Qwka · 08.12.2018, 22:07 **[ТС]**

Жду, заранее спасибо

@Qwka · 12.12.2018, 23:46 **[ТС]**

Сообщение от slava_psk

да.

Добавлено через 2 минуты
Qwka, отвечайте.

9 задание б) и в) можете написать?

@Matan! · 13.12.2018, 07:51

Сообщение от Qwka

9 задание б) и в) можете написать?

Если Вы из запишете в редакторе формул - напишем.

@slava_psk 642 / 444 / 224 Регистрация: 10.06.2016 Сообщений: 2,039
	28.11.2018, 08:21	2
	Qwka, в чем сложности? 0

@Matan! 1437 / 1014 / 228 Регистрация: 31.05.2013 Сообщений: 6,645 Записей в блоге: 6
	28.11.2018, 13:13	3
	Приведу пример первого(дальше попробуйте сами). Уравнение прямой: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=-x$ уравнение окружности: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x+1)^2+y^2=1$ Параметризуем: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}x=r\cdot cos(t) - 1\\y=r\cdot sin(t) \end{matrix}\right.$ В этих координатах уравнение окружности: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r=1$ уравнение прямой: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r=\frac{1}{sin(t)+cos(t)}$ Обычно задание стоит так: сначала записать интеграл в декартовых координатах, а затем в полярных. В Вашем случае проще. Если установить часовую стрелку в центре окружности, то при обратном движении стрелка опишет угол от 0 до Pi/2. Радиус меняется от уравнения прямой до уравнения окружности. Итого: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}dt\int_{\frac{1}{sin(t)+cos(t)}}^{1}f(r, t)dr$ 1

@slava_psk 642 / 444 / 224 Регистрация: 10.06.2016 Сообщений: 2,039
	28.11.2018, 13:59	4
	Matan!, элемент площади $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?rdrd\varphi$ Уравнение окружности : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r=-2cos\varphi$ Для сегмента $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi }{2}\leq \varphi \leq \frac{3\pi }{4}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{4}}d\varphi \int_{0}^{-2cos\varphi }f(r,\varphi) rdr$ Проверяем, если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f\left(r,\varphi \right)=1$ , то получим площадь сегмента. 0

@Qwka 0 / 0 / 0 Регистрация: 13.11.2016 Сообщений: 16
	08.12.2018, 21:37 [ТС]	5
	А можете остальные сделать? 0

@slava_psk 642 / 444 / 224 Регистрация: 10.06.2016 Сообщений: 2,039
	08.12.2018, 21:43	6
	да. Добавлено через 2 минуты Qwka, отвечайте. 0

@Qwka 0 / 0 / 0 Регистрация: 13.11.2016 Сообщений: 16
	08.12.2018, 22:07 [ТС]	7
	Жду, заранее спасибо 0

@Qwka 0 / 0 / 0 Регистрация: 13.11.2016 Сообщений: 16
	12.12.2018, 23:46 [ТС]	8
	Сообщение от slava_psk да. Добавлено через 2 минуты Qwka, отвечайте. 9 задание б) и в) можете написать? 0

@Matan! 1437 / 1014 / 228 Регистрация: 31.05.2013 Сообщений: 6,645 Записей в блоге: 6
	13.12.2018, 07:51	9
	Сообщение от Qwka 9 задание б) и в) можете написать? Если Вы из запишете в редакторе формул - напишем. 0