Определите промежутки монотонности функции

Hi4ko

Функции f(x) и g(x) определены на отрезке [0, 1] и заданы графиками. f(0) = 0.
Определите промежутки монотонности функции f(g(x)).
Ответ:1/4, 1/2, 3/4
Интересует как делать подобные задания, я просто в таких заданиях с графиками плохо разбираюсь(

Изображения

 

гошанчик

Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) < f (x2).

Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) > f (x2).


1
Рисунок 1.3.5.1.
Промежутки возрастания и убывания функции
На показанном на рисунке графике функция y = f (x), возрастает на каждом из промежутков [a; x1) и (x2; b] и убывает на промежутке (x1; x2). Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из промежутков [a; x1) и (x2; b], но не на объединении промежутков

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Заметим, что если f – монотонная функция на промежутке D (f (x)), то уравнение f (x) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если x1 < x2 – корни этого уравнения на промежутке D (f(x)), то f (x1) = f (x2) = 0, что противоречит условию монотонности.

Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D).

Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.
Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.
Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.
Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/f убывает.
Если функция f возрастает и неотрицательна, то где , также возрастает.
Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f n также возрастает.
Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает.

Миниатюры

 

MOHCTP

В общем виде - не знаю, в данном конкретном случае все не так сложно.

Имеем функцию f(g(x)). Функция g(x) (которая идет как аргумент) на промежутке [0, 0.5] возрастает, и принимает значения от 0 до 1. Ну, фактически, тут получается, что тут g(x) = 2*х. А мы знаем, что на промежутке [0, 1] функция f(x) падает от 1 до 0 (на середине этого интервала аргумента функции), а потом опять растет до 1. Соответственно, имеем, что на промежутке [0, 0.5] у нас 2 промежутка монотонности функции f(g(x)): [0, 0.25] - функция убывает, и [0.25, 0.5] - функция возрастает.

Аналогичным образом смотрим на вторую половину интервала: [0.5, 1]. Функция g(x) на этом промежутке нагло и целенаправленно убывает, от 1 до 0. А функции f(x), собственно, по барабану, в каком направлении двигаться по промежутку от 0 до 1, ибо она симметрична относительно точки 1/2. Соответственно, имеем два абсолютно аналогичных рассмотренным промежутка монотонности функции f(g(x)): [0.5, 0.75] - функция убывает, и [0.75, 1] - функция возрастает.