неопределенный интеграл

@AmaTerazu · Регистрация: 24.11.2011

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Вот такой вот интегральчик:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\frac{2x-1}{x^2+6x+9}dx$

Хотела решить методом разложения на простейшие дроби, но получается какая-то муть...а других мыслей у меня нет (((( намекните что сделать надо... к тому же в интегралах я совсем плаваю.

@Thinker · 24.11.2011, 21:55

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=\int(\frac{2}{x+3} - \frac{7}{(x+3)^2})dx = 2ln|x+3| + \frac{7}{x+3} + C$

@AmaTerazu · 24.11.2011, 21:57 **[ТС]**

а можно узнать ход мыслей? чтобы разобраться все-таки....

@Thinker · 24.11.2011, 21:58

Сообщение от AmaTerazu

а можно узнать ход мыслей? чтобы разобраться все-таки....

Раскладываем дробь на сумму простейших:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{2x-1}{(x+3)^2} = \frac{a}{x+3} + \frac{b}{(x+3)^2}$

@AmaTerazu · 24.11.2011, 22:05 **[ТС]**

все равно не поняла... почему в первой дроби (x+3), а во второй (x+3)^2

@Thinker · 24.11.2011, 22:08

Сообщение от AmaTerazu

все равно не поняла... почему в первой дроби (x+3), а во второй (x+3)^2

Есть теорема о разложении правильных дробей на сумму простейших, например
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{P(x)}{(x-a)^n} = \frac{b_1}{x-a} + \frac{b_2}{(x-a)^2}+...+\frac{b_n}{(x-a)^n}$
В вашем случае -3 - корень кратности 2, поэтому разложение имеет такой вид.

@AmaTerazu · 24.11.2011, 22:11 **[ТС]**

спасибо что возитесь со мной

пойду посмотрю енту теорему....

@Thinker · 24.11.2011, 22:12

Сообщение от AmaTerazu

спасибо что возитесь со мной пойду посмотрю енту теорему....

Да не за что. Если что, в учебнике Кудрявцев математический анализ есть такая теорема

@AmaTerazu · 24.11.2011, 22:14 **[ТС]**

а что вы еще мне можете посоветовать почитать по теме - доступным языком... а то у меня уже мозг кипит, а результата пока нет.

LEQADA · 24.11.2011, 22:14

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{array}{l}<br /> \int {\frac{{2x - 1}}{{{x^2} + 6x + 9}}dx = \int {\frac{{2x - 1}}{{{{(x + 3)}^2}}}} } dx = \int {\left( {\frac{{2x}}{{{{(x + 3)}^2}}} - \frac{1}{{{{(x + 3)}^2}}}} \right)dx} = 2\int {\frac{x}{{{{(x + 3)}^2}}}dx} - \int {\frac{1}{{{{(x + 3)}^2}}}dx} = 2\int {\frac{{x + 3 - 3}}{{{{(x + 3)}^2}}}dx} - \int {\frac{1}{{{{(x + 3)}^2}}}dx} = \\ <br /> = 2\int {\left( {\frac{1}{{x + 3}} - \frac{3}{{{{(x + 3)}^2}}}} \right)} dx - \int {\frac{1}{{{{(x + 3)}^2}}}dx} = 2\int {\frac{1}{{x + 3}}dx} - 2\int {\frac{3}{{{{(x + 3)}^2}}}dx} - \int {\frac{1}{{{{(x + 3)}^2}}}dx} = \\ <br /> = 2\int {\frac{1}{{x + 3}}d\left( {x + 3} \right)} - 2*3\int {\frac{1}{{{{(x + 3)}^2}}}d\left( {x + 3} \right)} - \int {\frac{1}{{{{(x + 3)}^2}}}d\left( {x + 3} \right)} = 2\ln |x + 3| + \frac{7}{{x + 3}} + c \\ <br /> \end{array}$

@Thinker · 24.11.2011, 22:16

AmaTerazu, вот, учебник Кудрявцева

LEQADA, ln|x+3|

LEQADA Мастер кустарных методов 232 / 227 / 17 Регистрация: 09.11.2010 Сообщений: 680
	24.11.2011, 22:14	10
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{array}{l}<br /> \int {\frac{{2x - 1}}{{{x^2} + 6x + 9}}dx = \int {\frac{{2x - 1}}{{{{(x + 3)}^2}}}} } dx = \int {\left( {\frac{{2x}}{{{{(x + 3)}^2}}} - \frac{1}{{{{(x + 3)}^2}}}} \right)dx} = 2\int {\frac{x}{{{{(x + 3)}^2}}}dx} - \int {\frac{1}{{{{(x + 3)}^2}}}dx} = 2\int {\frac{{x + 3 - 3}}{{{{(x + 3)}^2}}}dx} - \int {\frac{1}{{{{(x + 3)}^2}}}dx} = \\ <br /> = 2\int {\left( {\frac{1}{{x + 3}} - \frac{3}{{{{(x + 3)}^2}}}} \right)} dx - \int {\frac{1}{{{{(x + 3)}^2}}}dx} = 2\int {\frac{1}{{x + 3}}dx} - 2\int {\frac{3}{{{{(x + 3)}^2}}}dx} - \int {\frac{1}{{{{(x + 3)}^2}}}dx} = \\ <br /> = 2\int {\frac{1}{{x + 3}}d\left( {x + 3} \right)} - 2*3\int {\frac{1}{{{{(x + 3)}^2}}}d\left( {x + 3} \right)} - \int {\frac{1}{{{{(x + 3)}^2}}}d\left( {x + 3} \right)} = 2\ln \|x + 3\| + \frac{7}{{x + 3}} + c \\ <br /> \end{array}$ 1

@AmaTerazu 1 / 1 / 0 Регистрация: 24.11.2011 Сообщений: 29
		1
	неопределенный интеграл 24.11.2011, 21:39. Показов 947. Ответов 10 Метки нет (Все метки) Вот такой вот интегральчик: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\frac{2x-1}{x^2+6x+9}dx$ Хотела решить методом разложения на простейшие дроби, но получается какая-то муть...а других мыслей у меня нет (((( намекните что сделать надо... к тому же в интегралах я совсем плаваю. 0

@Thinker 4267 / 2241 / 203 Регистрация: 26.08.2011 Сообщений: 3,802 Записей в блоге: 5
	24.11.2011, 21:55	2
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=\int(\frac{2}{x+3} - \frac{7}{(x+3)^2})dx = 2ln\|x+3\| + \frac{7}{x+3} + C$ 1

@AmaTerazu 1 / 1 / 0 Регистрация: 24.11.2011 Сообщений: 29
	24.11.2011, 21:57 [ТС]	3
	а можно узнать ход мыслей? чтобы разобраться все-таки.... 0

@Thinker 4267 / 2241 / 203 Регистрация: 26.08.2011 Сообщений: 3,802 Записей в блоге: 5
	24.11.2011, 21:58	4
	Сообщение от AmaTerazu а можно узнать ход мыслей? чтобы разобраться все-таки.... Раскладываем дробь на сумму простейших: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{2x-1}{(x+3)^2} = \frac{a}{x+3} + \frac{b}{(x+3)^2}$ 0

@AmaTerazu 1 / 1 / 0 Регистрация: 24.11.2011 Сообщений: 29
	24.11.2011, 22:05 [ТС]	5
	все равно не поняла... почему в первой дроби (x+3), а во второй (x+3)^2 0

@Thinker 4267 / 2241 / 203 Регистрация: 26.08.2011 Сообщений: 3,802 Записей в блоге: 5
	24.11.2011, 22:08	6
	Сообщение от AmaTerazu все равно не поняла... почему в первой дроби (x+3), а во второй (x+3)^2 Есть теорема о разложении правильных дробей на сумму простейших, например $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{P(x)}{(x-a)^n} = \frac{b_1}{x-a} + \frac{b_2}{(x-a)^2}+...+\frac{b_n}{(x-a)^n}$ В вашем случае -3 - корень кратности 2, поэтому разложение имеет такой вид. 1

@AmaTerazu 1 / 1 / 0 Регистрация: 24.11.2011 Сообщений: 29
	24.11.2011, 22:11 [ТС]	7
	спасибо что возитесь со мной пойду посмотрю енту теорему.... 0

@Thinker 4267 / 2241 / 203 Регистрация: 26.08.2011 Сообщений: 3,802 Записей в блоге: 5
	24.11.2011, 22:12	8
	Сообщение от AmaTerazu спасибо что возитесь со мной пойду посмотрю енту теорему.... Да не за что. Если что, в учебнике Кудрявцев математический анализ есть такая теорема 0

@AmaTerazu 1 / 1 / 0 Регистрация: 24.11.2011 Сообщений: 29
	24.11.2011, 22:14 [ТС]	9
	а что вы еще мне можете посоветовать почитать по теме - доступным языком... а то у меня уже мозг кипит, а результата пока нет. 0

@Thinker 4267 / 2241 / 203 Регистрация: 26.08.2011 Сообщений: 3,802 Записей в блоге: 5
	24.11.2011, 22:16	11
	AmaTerazu, вот, учебник Кудрявцева LEQADA, ln\|x+3\| 1

Опции темы