Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы

Математический анализ

Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Рейтинг: Рейтинг темы: голосов - 541, средняя оценка - 4.72
vetvet
Змеюка одышечная
9844 / 4585 / 177
Регистрация: 04.01.2011
Сообщений: 8,569
#1

Полное исследование функций. Исследование функций на непрерывность. - Математический анализ

15.12.2011, 19:44. Просмотров 71999. Ответов 1
Метки нет (Все метки)

1.
Область определения
Виды области определения некоторых возможных типов функций.
Полное исследование функций. Исследование функций на непрерывность.


2.
Непрерывность.
В особых точках, найденных в п.1 (точек, в которых значение функции не определено), ищем односторонние пределы:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=a - особая точка;

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to a+0}y(x) - правосторонний (правый) предел;

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to a-0}y(x) - левосторонний (левый) предел.

а) если данные пределы существуют, конечны и совпадают со значением функции в данной точке, то функция в проверяемой точке непрерывна;

б) если пределы существуют, конечны, равны между собой, но хотя бы один не совпадает со значением функции в проверяемой точке, то имеем разрыв первого рода, устранимый;

в) если пределы существуют, конечны, но не совпадают между собой, то имеем конечный (неустранимый) разрыв первого рода ("скачок");
модуль разности односторонних пределов
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left|\lim_{x\to a-0}y(x)-\lim_{x\to a+0}y(x)\right|
называется скачком функции;

г) если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен, то в проверяемой точке имеем разрыв второго рода.

Точка, в которой функция не определена, будет точкой разрыва функции лишь при условии, если функция определена, хотя бы с одной стороны вблизи этой точки.


3.
Чётность/Нечётность.
Для проверки функции на чётность/нечётность, подставляем в функцию вместо аргумента http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-x.

а) если можно преобразовать функцию так, что http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(-x)=y(x), то функция чётная (её график симметричен относительно оси Oy);

б) если можно преобразовать функцию так, что http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(-x)=-y(x), то функция нечётная (её график симметричен относительно начала координат);

в) если после подстановки получаем http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(-x)\ne y(x)\ne -y(x), то функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего положения).


4.
Периодичность.
Функция будет являться периодической, если существует такое число http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T, что http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x+T)=y(x). Если после преобразований получается, что равенство http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x+T)=y(x) возможно только при http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T=0, то функция не является периодической (чаще всего периодическими являются тригонометрические функции).


5.
Точки пересечения с осями.
Чтобы найти точки пересечения с осью Ox, нужно найти корни уравнения http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x)=0.
Точки пересечения будут иметь вид:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x_1;0),(x_2;0),...,(x_n;0), где http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1,x_2,...,x_n - корни уравнения http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x)=0.

Чтобы найти точки пересечения с осью Oy, нужно найти значение функции при http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=0.
Точка пересечения будет иметь вид:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(0;y(0)).


6.
Промежутки знакопостоянства.
Найденные в п.5 точки пересечения с осью Ox и особые точки функции (если они есть) наносятся на числовую ось. Из каждого из получившихся промежутков выбирается точка и подставляется в уравнение функции. Если в результате получается отрицательное значение функции, то на данном промежутке функция находится ниже оси Ox; если получается положительное значение - то функция находится выше оси Ox.


7.
Возрастание/убывание функции, точки экстремума.
По правилам дифференцирования находим первую производную функции и приравниваем её нулю. Найденные стационарные точки (нули производной) и особые точки производной (если есть) наносим на числовую ось и аналогично п.6 находим знак производной в получившихся промежутках:

- промежутки, на которых производная положительна, являются промежутками возрастания функции;

- промежутки, на которых производная отрицательна, являются промежутками убывания функции;

- если при переходе через стационарную точку производная меняет знак с плюса на минус, то стационарная точка является точкой максимума(при условии, что в ней определено значение функции);

- если при переходе через стационарную точку производная меняет знак с минуса на плюс, то стационарная точка является точкой минимума(при условии, что в ней определено значение функции).

Если производная имеет постоянный знак на всей области определения, то функция монотонна.


8.
Выпуклость/вогнутость, точки перегиба.
По правилам дифференцирования находим вторую производную функции и приравниваем её нулю. Найденные точки (нули второй производной) и особые точки второй производной (если есть) наносим на числовую ось и аналогично п.6 находим знак второй производной в получившихся промежутках:

- на промежутках, на которых вторая производная положительна, функция вогнута (выпукла вниз);

- на промежутках, на которых вторая производная отрицательна, функция выпукла (выпукла вверх);

- если при переходе через полученную точку вторая производная меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс, то точка является точкой перегиба(при условии, что в ней определено значение функции).

Если вторая производная имеет постоянный знак на всей области определения, то точек перегиба нет.


9.
Асимптоты.
Если в п. 2 получен хотя бы один бесконечный предел, то прямая http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=a является вертикальной асимптотой.

Если существуют и конечны два предела:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{y(x)}{x}

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b=\lim_{x\to\pm\infty}(y(x)-kx)
то прямая http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=kx+b является наклонной асимптотой.

В случае http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=0,b\ne\pm\infty(наклонная асимптота совпадает с горизонтальной) прямая http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=b является горизонтальной асимптотой.


10.
График функции.
На координатной плоскости отмечаются найденные особые точки, точки пересечения с осями, точки экстремума и точки перегиба. Для уточнения можно найти несколько точек функции и отметить на координатной плоскости. Проводятся асимптоты (обычно пунктиром).
Согласно полученным свойствам функции схематично рисуется график.



Пример.

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\frac{5x^3}{1-x^5}
1) Область определения: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-\infty;1)\cup(1;\infty)

2) Знаменатель обращается в 0 при x=1.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to 1+0}\frac{5x^3}{1-x^5}=-\infty

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to 1-0} \frac{5x^3}{1-x^5}=+\infty
Т.о. в точке x=1 функция терпит разрыв второго рода.
На всей числовой прямой, за исключением точки x=1, функция непрерывна.

3)
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? y(-x)=\frac{5(-x)^3}{1-(-x)^5}=-\frac{5x^3}{1+x^5}\ne y(x)\ne -y(x)\Rightarrow функция общего положения.

4)
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x+T)=\frac{5(x+T)^3}{1-(x+T)^5}=\frac{5x^3}{1-(x+T)^5}+\frac{5(3x^2T+3xT^2+t^3)}{1-(x+T)^5} очевидно, что http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x+T)=y(x) только при T=0. Следовательно, функция непериодическая.

5) Точки пересечения с осью Ox:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=0\Rightarrow \frac{5x^3}{1-x^5}=0, откуда получим x=0.
Точки пересечения с осью Oy:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(0)=\frac{5\cdot 0^3}{1-0^5}=0
Т.о., график функции пересекает оси только в начале координат.

6) Учитывая найденную в п.5 точку пересечения с осями и ноль знаменателя, методом интервалов находим:
Полное исследование функций. Исследование функций на непрерывность.
Получаем, что функция положительна на промежутке http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(0;1) и отрицательна на промежутках http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-\infty;0)\cup(1;\infty).

7)
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'=5\cdot\frac{3x^2(1-x^5)-(-5x^4)\cdot x^3}{(1-x^5)^2}=5\cdot\frac{3x^2-3x^7+5x^7}{(1-x^5)^2}=5\cdot\frac{3x^2+2x^7}{(1-x^5)^2}=5\cdot\frac{x^2(3+2x^5)}{(1-x^5)^2}
Полное исследование функций. Исследование функций на непрерывность.
Функция убывает на промежутке:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(-\infty;-\sqrt[5]{\frac{3}{2}}\right)
Функция возрастает на промежутках:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(-\sqrt[5]{\frac{3}{2}};1\right)\cup(1;\infty)
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(-\sqrt[5]{\frac{3}{2}};-\sqrt[5]{108}\right) - точка минимума.

8)
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''=5\frac{(6x+14x^6)(1-x^5)^2-2(1-x^5)(-5x^4)(3x^2+2x^7)}{(1-x^5)^4}=5\frac{2(1-x^5)(3x-3x^6+7x^6-7x^{11}+15x^6+10x^{11})}{(1-x^5)^4}=10\frac{x(3+19x^5+3x^{10})}{(1-x^5)^3}

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D=19^2-4\cdot 9=325
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1^5=\frac{-19+5\sqrt{13}}{6},x_1\approx -0,69
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_2^5=\frac{-19-5\sqrt{13}}{6},x_1\approx -1,44
Полное исследование функций. Исследование функций на непрерывность.
Функция выпукла вверх на промежутках:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-\infty;-1,4)\cup(-0,7;0)\cup(1;\infty)
Функция выпукла вниз на промежутках:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-1,4;-0,7)\cup(0;1)
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-1,4;-1,9),(-0,7;4,8),(0;0) - точки перегиба.

9)
Вертикальная асимптота x=1 (см.п.3)

Наклонная асимптота:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to\pm\infty}\frac{5x^3}{x(1-x^5)}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{5x^2}{1-x^5}=-\lim_{x\to\pm\infty}\frac{10x}{5x^3}=-\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2}{x^2}=0\Rightarrow наклонных асимптот нет.

Горизонтальная асимптота:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to\pm\infty}\frac{5x^3}{1-x^5}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{15x^2}{-5x^4}=-\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3}{x^2}=0

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=0 - горизонтальная асимптота.

10) График:
Полное исследование функций. Исследование функций на непрерывность.
51
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
15.12.2011, 19:44
Здравствуйте! Я подобрал для вас темы с ответами на вопрос Полное исследование функций. Исследование функций на непрерывность. (Математический анализ):

Исследование на непрерывность 2-х функций - Математический анализ
Во у меня 2 задачи, помогите, пожалуйста, если вам не трудно.

Полное исследование функций - Математический анализ
Здравствуйте, у меня есть трудности с анализом графиков функций, был бы благодарен. f(x)=(1/3)*x^3-x^2+1 и f(x)=(x^2+3x-9)/(x+3) ...

Провести полное исследование функций - Математический анализ
y={(x+1)}^{2/3}

Провести полное исследование функций. - Математический анализ
Помогите пожалуйста сделать полное исследование функций....первое вложение это задание,а второе по какому принципу делать!) Заранее...

Полное исследование функций и построение их графиков. - Математический анализ
первую функцию сделал, вот вторую вообще не понимаю, помогите, плиз срочно надо!)

Полное исследование функций и построение ее графика. - Математический анализ
y=x\cdot\ln^2{x} 1. Область определения 2. Непрерывность. В особых точках, найденных в п.1 (точек, в которых значение функции не...

1
vetvet
Змеюка одышечная
9844 / 4585 / 177
Регистрация: 04.01.2011
Сообщений: 8,569
11.01.2012, 22:00  [ТС] #2
Исследование функции на непрерывность проводится согласно п. 2 полного исследования функции. Если имеем кусочно-заданную функцию, то односторонние пределы ищем также и на концах данных промежутков.

Пример.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=\begin{cases}2 & \text{ if } x\lt -1  \\ 2-2x & \text{ if } -1\leq x\lt 1  \\ \ln{x} & \text{ if } x\gt 1  \end{cases}
Решение.

Функция непрерывна на каждом из интервалов http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-\infty;-1),(-1;1),(1;\infty).
Исследуем на непрерывность точки http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-1,x=1.

Пусть http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-1, тогда

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to -1-0}f(x)=\lim_{x\to -1-0}2=2

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to -1+0}f(x)=\lim_{x\to -1+0}(2-2x)=2+2=4
Пределы справа и слева конечны, но не равны, поэтому в точке http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-1 функция терпит конечный разрыв первого рода ("скачок").

Пусть http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=1, тогда

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to 1-0}f(x)=\lim_{x\to -1-0}(2-2x)=2-2=0

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to 1+0}f(x)=\lim_{x\to -1+0}\ln{x}=\ln1=0
Пределы слева и справа конечны, равны между собой и равны значению функции в точке http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=1, следовательно, функция непрерывна в точке http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=1.

График:
Полное исследование функций. Исследование функций на непрерывность.
37
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
11.01.2012, 22:00
Привет! Вот еще темы с ответами:

Провести полное исследование функций и построить их графики - Математический анализ
Добрый вечер! Помогите пожалуйста выполнить такой задание Провести полное исследование функций и построить их графики у= x2 разделить 1-x2....

Провести полное исследование функций и построить их график - Математический анализ
Провести полное исследование функций и построить их график помогите пожалуйста!!!

Провести полное исследование функций и построить их графики - Математический анализ
Выручайте, я в этом слабо разбираюсь, а сделать это нужно в кратчайшие сроки. y = (2x - 3) / (x-1)^2. y = (5-2x) * e^(3x) - 1. Буду...

Полное исследование функции.Исследование функции на непрерывность и график - Математический анализ
Помогите решить. Препод прикалывается с такими уравнениями y=3е^arctgx


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
2
Закрытая тема Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru