Интегралы от тригонометрических функций.

@Proskurina · Регистрация: 16.12.2011

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Название: 1.JPG
Просмотров: 128

Размер: 8.2 Кб

Интегралы от тригонометрических функций.

@Proskurina · 15.02.2012, 18:05 **[ТС]**

решите пожалуйста!!!

@Lady_In_Dreams · 15.02.2012, 18:08

Proskurina, что именно?

vetvet · 15.02.2012, 18:09

Не по теме:

Lady_In_Dreams, в какой цвет перекраситься. :D

@Lady_In_Dreams · 15.02.2012, 18:20

Не по теме:

vetvet, :D

А ТС Маткад или ВольфрамАльфа в помощь

LEQADA · 15.02.2012, 18:30

Proskurina, в первом задании разбейте синус в произведение синуса и синуса в квадрате. К квадрату синуса примените основное тригонометрическое тождество. Затем сделайте замену u=cosx. Вычисляйте.

Almiqui · 15.02.2012, 18:31

Комментарий модератора

Proskurina, а если ты еще "нечаянно" темы будешь в разных разделах выставлять с одним заданием -
я тебя навеки забаню. (Мамой клянусь(с) ) Надоело подтирать за тобою.

LEQADA · 15.02.2012, 18:45

Для второго задания всё аналогично. Разбиваете на произведение синуса, синуса в квадрате и ещё одного синуса в квадрате. К синусам в квадрате применяете основное тригонометрическое тождество. Делаете замену u=cosx. Вычисляете.

Добавлено через 10 минут
Almiqui, она хоть видит то, что я пишу или дальше решать нет смысла?

vetvet · 15.02.2012, 19:15

LEQADA, конкретно для мадемуазель Proskurina, дальше писать рекомендации не имеет смысла, ибо написано ею:

Сообщение от Proskurina

решите пожалуйста!!!

т.е. для неё ваши "разбейте и сделайте замену", скорее всего, как китайская грамота.

А вообще, другим может пригодиться.

LEQADA · 15.02.2012, 19:18

Сообщение от vetvet

А вообще, другим может пригодиться.

когда вы видели, чтобы кто-то рылся на форуме, в надежде найти ответ ? Это очень неудобно. Никто (да и я сам) не ставит меток.

vetvet · 15.02.2012, 19:24

LEQADA, исключения бывают всегда.

Almiqui · 15.02.2012, 19:29

Сообщение от LEQADA

Almiqui, она хоть видит то, что я пишу или дальше решать нет смысла?

А Вы гляньте на её темы - она их только постит, вроде даже ни разу никого не отблагодарила словом.

@Proskurina · 15.02.2012, 20:16 **[ТС]**

Спасибо.

LEQADA · 15.02.2012, 20:26

Proskurina, вам ещё нужны решения? В каких условиях вы находитесь?

vetvet · 15.02.2012, 20:50

Тряхну что ли ... чем-нибудь.

172.174.178 Одинаковая замена:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\cos{x},dt=-\sin{x}dx\Rightarrow \sin{x}dx=-dt$

Получаем:
172.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\sin^3{x}dx=\int\sin^2{x}\cdot\sin{x}dx=\int(1-\cos^2{x})\cdot\sin{x}dx=-\int(1-t^2)dt=-t+\frac{t^3}{3}=\frac{1}{3}\cos^3{x}-\cos{x}+C$

174. Аналогично предыдущему получим
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\sin^5{x}dx=\int(1-\cos^2{x})^2\cdot\sin{x}dx=-\int(1-2t^2+t^4)dt=-t+\frac{2t^3}{3}-\frac{t^5}{5}=$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=-\frac{1}{5}\cos^5{x}+\frac{2}{3}\cos^3{x}-\cos{x}+C$

178.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\cos^3{x}\sin^5{x}dx=\int\cos^3{x}(1-\cos^2{x})^2\sin{x}dx=-\int t^3-2t^5+t^7dt=-\frac{t^4}{4}+\frac{2t^6}{6}-\frac{t^8}{8}=$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=-\frac{1}{8}\cos^8{x}+\frac{1}{3}\cos^6{x}-\frac{1}{4}\cos^4{x}+C$

176.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\cos^2{x}\sin^2{x}dx=\frac{1}{4}\int\sin^2{2x}dx=\frac{1}{8}\int(1-\cos{4x})dx=\frac{1}{8}x-\frac{1}{32}\sin{4x}+C$

180-182. Табличные:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\frac{dx}{\sin{2x}}=\ln{\left|\operatorname{tg}\frac{2x}{2}\right|}+C=\ln{\left|\operatorname{tg}x\right|}+C$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\frac{dx}{\sin{9x}}=\ln{\left|\operatorname{tg}\frac{9x}{2}\right|}+C$

184-186. Используем формулу:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin{x}\cos{y}=\frac{1}{2}\left(\sin{(x-y)}+\sin{(x+y)}\right)$

Получаем:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\sin{3x}\cos{x}dx=\frac{1}{2}\int\left(\sin{(3x-x)}+\sin{(3x+x)}\right)dx=\frac{1}{2}\int\left(\sin{2x}+\sin{4x}\right)dx=$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cos{2x}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\cos{4x}+C=-\frac{1}{4}\cos{2x}-\frac{1}{8}\cos{4x}+C$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\sin{\left(5x-\frac{\pi}{4}\right)}\cos{x}dx=\frac{1}{2}\int\left(\sin{\left(5x-\frac{\pi}{4}-x\right)}+\sin{\left(5x-\frac{\pi}{4}+x\right)}\right)dx=\frac{1}{2}\int\left(\sin{\left(4x-\frac{\pi}{4}\right)}+\sin{\left(6x-\frac{\pi}{4}\right)}\right)dx=$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\cos{\left(4x-\frac{\pi}{4}\right)}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}\cos{\left(6x-\frac{\pi}{4}\right)}+C=-\frac{1}{8}\cos{\left(4x-\frac{\pi}{4}\right)}-\frac{1}{12}\cos{\left(6x-\frac{\pi}{4}\right)}+C$

LEQADA · 15.02.2012, 20:50

Сообщение от vetvet

172.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int {{{\sin }^2}xdx}$

очепятка... $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int {{{\sin }^3}xdx}$

vetvet · 15.02.2012, 21:10

188. Замена:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin{x}=t,\cos{x}dx=dt$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\frac{\cos^3{x}}{\sin^2{x}}dx=\int\frac{\cos^2{x}\cos{x}}{\sin^2{x}}dx=\int\frac{1-\sin^2{x}}{\sin^2{x}}\cos{x}dx=\int\frac{1-t^2}{t^2}dt=\int\left(\frac{1}{t^2}-1\right)dt=-\frac{1}{t}-t=-\frac{1}{\sin{x}}-\sin{x}+C$

190. Замена:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\operatorname{tg}x,dt=\frac{dx}{\cos^2{x}}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\frac{\cos^3{x}}{\sin^5{x}}dx=\int\frac{\cos^3{x}\cdot\cos^2{x}}{\sin^5{x}}\cdot\frac{dx}{\cos^2{x}}=\int\frac{\cos^5{x}}{\sin^5{x}}\cdot\frac{dx}{\cos^2{x}}=\int\frac{1}{\operatorname{tg}^5x}\cdot\frac{dx}{\cos^2{x}}=\int\frac{1}{t^5}dt=-\frac{1}{4}\frac{1}{t^4}=-\frac{1}{4}\frac{1}{\operatorname{tg}^4x}+C$

Добавлено через 36 секунд
LEQADA, спасибо. Исправила.

Добавлено через 8 минут
192. Замена:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\operatorname{tg}x,dt=\frac{dx}{\cos^2{x}}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\operatorname{tg}^4xdx=\int\operatorname{tg}^4x\cdot\cos^2{x}\cdot\frac{dx}{\cos^2{x}}=\int\operatorname{tg}^4x\cdot\frac{1}{1+\operatorname{tg}^2x}\cdot\frac{dx}{\cos^2{x}}=\int\frac{t^4}{1+t^2}dt=$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=\int \left(t^2-1+\frac{1}{1+t^2}\right)dt=\frac{t^3}{3}-t+\operatorname{arctg}t=\frac{\operatorname{tg}^3x}{3}-\operatorname{tg}x+\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}x)+C=\frac{\operatorname{tg}^3x}{3}-\operatorname{tg}x+x+C$

Байт · 16.02.2012, 00:00

Ну, коль пошел такой базар, могу предложить неплохой метод решения первых четырех примеров.
sin x = -i/2(e^ix - e^-ix)
cos x = 1/2(e^ix + e^-i)
Возведение в степень и взятие интегралов от e^kx не составит большого труда старательному школьнику.
Большой плюс этого подхода - если в итоге остались мнимые члены, значит где-то ошибка в вычислениях

Не по теме:

Отдельное спасибо Eugeney, он не дает нам забыть о формуле Эйлера:)

LEQADA · 16.02.2012, 00:12

Байт, раз так, то за одно объясните девушке как нужно интегрировать комплекснозначную функцию

Байт · 16.02.2012, 00:27

Сообщение от LEQADA

Байт, раз так, то за одно объясните девушке как нужно интегрировать комплекснозначную функцию

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int {e}^{kx} = \frac{1}{k}{e}^{kx}$
А уж кто есть k, кому какое дело

Да я не девушке объясняю, просто компания интересная, и мне захотелось повыпендриваться вместе со всеми

@Proskurina 9 / 2 / 0 Регистрация: 16.12.2011 Сообщений: 106
	15.02.2012, 20:16 [ТС]	13
	Спасибо. 0

LEQADA Мастер кустарных методов 232 / 227 / 17 Регистрация: 09.11.2010 Сообщений: 680
	15.02.2012, 20:26	14
	Proskurina, вам ещё нужны решения? В каких условиях вы находитесь? 1

@Proskurina 9 / 2 / 0 Регистрация: 16.12.2011 Сообщений: 106
	15.02.2012, 18:05 [ТС]	2
	решите пожалуйста!!! 0

@Lady_In_Dreams 1 / 1 / 0 Регистрация: 15.02.2012 Сообщений: 16
	15.02.2012, 18:08	3
	Proskurina, что именно? 0

vetvet
	15.02.2012, 18:09 #4
	Не по теме: Lady_In_Dreams, в какой цвет перекраситься. :D 0

@Lady_In_Dreams 1 / 1 / 0 Регистрация: 15.02.2012 Сообщений: 16
	15.02.2012, 18:20	5
	Не по теме: vetvet, :D А ТС Маткад или ВольфрамАльфа в помощь 0

LEQADA Мастер кустарных методов 232 / 227 / 17 Регистрация: 09.11.2010 Сообщений: 680
	15.02.2012, 18:30	6
	Proskurina, в первом задании разбейте синус в произведение синуса и синуса в квадрате. К квадрату синуса примените основное тригонометрическое тождество. Затем сделайте замену u=cosx. Вычисляйте. 0

LEQADA Мастер кустарных методов 232 / 227 / 17 Регистрация: 09.11.2010 Сообщений: 680
	15.02.2012, 18:45	8
	Для второго задания всё аналогично. Разбиваете на произведение синуса, синуса в квадрате и ещё одного синуса в квадрате. К синусам в квадрате применяете основное тригонометрическое тождество. Делаете замену u=cosx. Вычисляете. Добавлено через 10 минут Almiqui, она хоть видит то, что я пишу или дальше решать нет смысла? 0

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,556
	15.02.2012, 19:15	9
	LEQADA, конкретно для мадемуазель Proskurina, дальше писать рекомендации не имеет смысла, ибо написано ею: Сообщение от Proskurina решите пожалуйста!!! т.е. для неё ваши "разбейте и сделайте замену", скорее всего, как китайская грамота. А вообще, другим может пригодиться. 0

LEQADA Мастер кустарных методов 232 / 227 / 17 Регистрация: 09.11.2010 Сообщений: 680
	15.02.2012, 19:18	10
	Сообщение от vetvet А вообще, другим может пригодиться. когда вы видели, чтобы кто-то рылся на форуме, в надежде найти ответ ? Это очень неудобно. Никто (да и я сам) не ставит меток. 0

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,556
	15.02.2012, 19:24	11
	LEQADA, исключения бывают всегда. 0

Almiqui Почетный модератор 14018 / 3624 / 87 Регистрация: 11.06.2009 Сообщений: 11,783
	15.02.2012, 19:29	12
	Сообщение от LEQADA Almiqui, она хоть видит то, что я пишу или дальше решать нет смысла? А Вы гляньте на её темы - она их только постит, вроде даже ни разу никого не отблагодарила словом. 1

	16.02.2012, 00:27

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,556
	15.02.2012, 20:50	15
	Тряхну что ли ... чем-нибудь. 172.174.178 Одинаковая замена: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\cos{x},dt=-\sin{x}dx\Rightarrow \sin{x}dx=-dt$ Получаем: 172. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\sin^3{x}dx=\int\sin^2{x}\cdot\sin{x}dx=\int(1-\cos^2{x})\cdot\sin{x}dx=-\int(1-t^2)dt=-t+\frac{t^3}{3}=\frac{1}{3}\cos^3{x}-\cos{x}+C$ 174. Аналогично предыдущему получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\sin^5{x}dx=\int(1-\cos^2{x})^2\cdot\sin{x}dx=-\int(1-2t^2+t^4)dt=-t+\frac{2t^3}{3}-\frac{t^5}{5}=$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=-\frac{1}{5}\cos^5{x}+\frac{2}{3}\cos^3{x}-\cos{x}+C$ 178. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\cos^3{x}\sin^5{x}dx=\int\cos^3{x}(1-\cos^2{x})^2\sin{x}dx=-\int t^3-2t^5+t^7dt=-\frac{t^4}{4}+\frac{2t^6}{6}-\frac{t^8}{8}=$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=-\frac{1}{8}\cos^8{x}+\frac{1}{3}\cos^6{x}-\frac{1}{4}\cos^4{x}+C$ 176. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\cos^2{x}\sin^2{x}dx=\frac{1}{4}\int\sin^2{2x}dx=\frac{1}{8}\int(1-\cos{4x})dx=\frac{1}{8}x-\frac{1}{32}\sin{4x}+C$ 180-182. Табличные: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\frac{dx}{\sin{2x}}=\ln{\left\|\operatorname{tg}\frac{2x}{2}\right\|}+C=\ln{\left\|\operatorname{tg}x\right\|}+C$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\frac{dx}{\sin{9x}}=\ln{\left\|\operatorname{tg}\frac{9x}{2}\right\|}+C$ 184-186. Используем формулу: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin{x}\cos{y}=\frac{1}{2}\left(\sin{(x-y)}+\sin{(x+y)}\right)$ Получаем: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\sin{3x}\cos{x}dx=\frac{1}{2}\int\left(\sin{(3x-x)}+\sin{(3x+x)}\right)dx=\frac{1}{2}\int\left(\sin{2x}+\sin{4x}\right)dx=$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cos{2x}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\cos{4x}+C=-\frac{1}{4}\cos{2x}-\frac{1}{8}\cos{4x}+C$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\sin{\left(5x-\frac{\pi}{4}\right)}\cos{x}dx=\frac{1}{2}\int\left(\sin{\left(5x-\frac{\pi}{4}-x\right)}+\sin{\left(5x-\frac{\pi}{4}+x\right)}\right)dx=\frac{1}{2}\int\left(\sin{\left(4x-\frac{\pi}{4}\right)}+\sin{\left(6x-\frac{\pi}{4}\right)}\right)dx=$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\cos{\left(4x-\frac{\pi}{4}\right)}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}\cos{\left(6x-\frac{\pi}{4}\right)}+C=-\frac{1}{8}\cos{\left(4x-\frac{\pi}{4}\right)}-\frac{1}{12}\cos{\left(6x-\frac{\pi}{4}\right)}+C$ 2

LEQADA Мастер кустарных методов 232 / 227 / 17 Регистрация: 09.11.2010 Сообщений: 680
	15.02.2012, 20:50	16
	Сообщение от vetvet 172. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int {{{\sin }^2}xdx}$ очепятка... $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int {{{\sin }^3}xdx}$ 0

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,556
	15.02.2012, 21:10	17
	188. Замена: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin{x}=t,\cos{x}dx=dt$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\frac{\cos^3{x}}{\sin^2{x}}dx=\int\frac{\cos^2{x}\cos{x}}{\sin^2{x}}dx=\int\frac{1-\sin^2{x}}{\sin^2{x}}\cos{x}dx=\int\frac{1-t^2}{t^2}dt=\int\left(\frac{1}{t^2}-1\right)dt=-\frac{1}{t}-t=-\frac{1}{\sin{x}}-\sin{x}+C$ 190. Замена: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\operatorname{tg}x,dt=\frac{dx}{\cos^2{x}}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\frac{\cos^3{x}}{\sin^5{x}}dx=\int\frac{\cos^3{x}\cdot\cos^2{x}}{\sin^5{x}}\cdot\frac{dx}{\cos^2{x}}=\int\frac{\cos^5{x}}{\sin^5{x}}\cdot\frac{dx}{\cos^2{x}}=\int\frac{1}{\operatorname{tg}^5x}\cdot\frac{dx}{\cos^2{x}}=\int\frac{1}{t^5}dt=-\frac{1}{4}\frac{1}{t^4}=-\frac{1}{4}\frac{1}{\operatorname{tg}^4x}+C$ Добавлено через 36 секунд LEQADA, спасибо. Исправила. Добавлено через 8 минут 192. Замена: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\operatorname{tg}x,dt=\frac{dx}{\cos^2{x}}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\operatorname{tg}^4xdx=\int\operatorname{tg}^4x\cdot\cos^2{x}\cdot\frac{dx}{\cos^2{x}}=\int\operatorname{tg}^4x\cdot\frac{1}{1+\operatorname{tg}^2x}\cdot\frac{dx}{\cos^2{x}}=\int\frac{t^4}{1+t^2}dt=$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=\int \left(t^2-1+\frac{1}{1+t^2}\right)dt=\frac{t^3}{3}-t+\operatorname{arctg}t=\frac{\operatorname{tg}^3x}{3}-\operatorname{tg}x+\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}x)+C=\frac{\operatorname{tg}^3x}{3}-\operatorname{tg}x+x+C$ 1

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	16.02.2012, 00:00	18
	Ну, коль пошел такой базар, могу предложить неплохой метод решения первых четырех примеров. sin x = -i/2(e^ix - e^-ix) cos x = 1/2(e^ix + e^-i) Возведение в степень и взятие интегралов от e^kx не составит большого труда старательному школьнику. Большой плюс этого подхода - если в итоге остались мнимые члены, значит где-то ошибка в вычислениях Не по теме: Отдельное спасибо Eugeney, он не дает нам забыть о формуле Эйлера:) 2

LEQADA Мастер кустарных методов 232 / 227 / 17 Регистрация: 09.11.2010 Сообщений: 680
	16.02.2012, 00:12	19
	Байт, раз так, то за одно объясните девушке как нужно интегрировать комплекснозначную функцию 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	16.02.2012, 00:27	20
	Сообщение от LEQADA Байт, раз так, то за одно объясните девушке как нужно интегрировать комплекснозначную функцию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int {e}^{kx} = \frac{1}{k}{e}^{kx}$ А уж кто есть k, кому какое дело Да я не девушке объясняю, просто компания интересная, и мне захотелось повыпендриваться вместе со всеми 0